Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП(МТУСИ)2012г

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

300.5 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

5. Варианты контрольных заданий по теории функций комплексного переменного и операционному исчислению

ВАРИАНТ 1

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 - 2iz - 5 = 0 .

2.Вычислить комплексное число z = (1 + i)11 (1 - i )-11 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = cos(1 + i) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = z2 + z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или
	мнимой части: Re f (z) = x2 - y2 + xy ; f (0) = i .
	(2,3)
6.	Вычислить интеграл по ò (z + Im z )dz , по прямой, соединяющей точки.
	(0,1 )
	1+i
7.	Вычислить интеграл ò (z3 +1)dz по отрезку прямой.
	0

8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )=	ez
		.
	(z2 + p 2 )2

9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных

высших порядков

ÑòL

ez dz

, где

L – окружность

= 2 .

2pi

z (1 - z )3

¥ cos3x

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного -ò¥

(x2 +1)

z+1

11.Разложить функцию f (z )= z2 - z - 20 в ряд Лорана в области 4 < z < 5 .

12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = z2 ;

L : x = C .

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t ) = sh (at )×cos(bt )

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + x¢ - 2x = et , при x (0) = -1, x¢(0) = 0 .

б) x¢¢¢ - x¢¢ = et , при x(0) =1, x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 2

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - 4iz - 29 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 3-8i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = (1 + i)z .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = z3 +1.
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или
	мнимой части: Re f (z) = x3 + 6x2 y - 3xy2 - 2 y3 ;	f (0) = 0 .
6.	Вычислить интеграл по заданному пути интегрирования òIm zdz ,
		L
	где L - дуга параболы y = 4 - x2 от точки (0; 4)	до точки (2;0).
		i
7.	Вычислить интеграл от аналитической функции òzez dz .
		0

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )=	shz
		.
	(z2 + p 2 )2

высших порядков

ÑòL

ez dz

, где

L – окружность

= 3.

z (z - 2i )

10.Вычислить интеграл от функции действительного переменного

ò0

(

x2 +1

2 x2 + 4

)

(

11. Разложить функцию f (z )=

×sin 2

в ряд Лорана в окрестности

z0 = 0 .

12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = z2 ; L :

= a

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )=

(

p2 -1

)

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ + 2x¢ + x = e-t

, при x(0) =1, x¢(0) = 0 .

б)

xIV - x = sht , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 , x¢¢¢(0) =1.

	ВАРИАНТ 3
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение z2 - 4z + 5 = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = (2 + i)3 (2 -11i).

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z2 + 2iz -1.

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = ez + i .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или
	мнимой части: Im f (z) =			x		f (i) = 0 .
					;
				x2 + y2	;
		(1,1)					ìx = cost
		ò
6.	Вычислить интеграл		Re z × zdz по четверти окружности
6.	Вычислить интеграл		Re z × zdz по четверти окружности				í	.
		(0,0	)				îy -1	= sin t
		1
7.	Вычислить интеграл	ò(iz3 - 2z )dz				по отрезку прямой.

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )=	sin z
		.
	(z2 - p 2 )2

высших порядков Ñò

z3dz

, где L - окружность

z - 2i

= 2 .

z - i

-ò¥

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

x2 + 4

11.

Разложить функцию f (z )=

z - 3

> 5 .

в ряд Лорана в области

z2 - 2z -15

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w =

;

L : z - 2 =1.

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t )= shtt .

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 2x¢ + 2x = sin t , при x(0) = 0 , x¢(0) =1.

б) x¢¢¢ + 3x¢¢ + 3x¢ + x = te-t , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 4

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 + 2iz + 3 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = -6 + 63i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z + 1 .

			z
4.	Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
	найти производную функции f (z) = cos(2z) .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z) = e2 x cos 2 y - 3xy ; f (0) =1.
6.	Вычислить интеграл ò	z	2 dz , где L - прямолинейный отрезок от точки z1 = 0


	L
	ip
	до точки z2 = Re 4 .
	1+i
7.	Вычислить интеграл ò z cos zdz по отрезку прямой.
	i

chz

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )= .

(z2 + p 2 )3

высших порядков Ñò

cos z

dz , где L - окружность

z + i

= 2 .

z + 2i

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò

-¥

11.Разложить функцию f (z )= sin

2z - 7

в ряд Лорана в окрестности

z0 = -2 .

z + 2

12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где

w = z + 1

;

L :

= R .

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )=

p2 +1

p ( p +1)( p + 2)( p + 3)

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ + 3x¢ = et , при x(0) = 0 , x¢(0) = -1.

б)

x¢¢¢ + x¢ =1, при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 5

Теория функций комплексного переменного

Решить уравнение z2 + 5iz - 4 = 0 .

Вычислить комплексное число

z = i9 + (3 - 2i)(1 - 4i)-1 .

Найти мнимую и действительную части функции f (z) = 4

(

2 - z2 )

Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции

f (z) = sin(z -1) .

Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной

или мнимой части: Re f (z) = -x3 + 3xy2 - 3x2 y + y3 ;

f (i) =1.

Вычислить интеграл ò

dz , где L - полуокружность

=1, 0 £ arg z £ p .

Вычислить интеграл ò(z2 - 2)dz по отрезку прямой.

cos z

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = (z2 -p 2 )3 .

высших порядков Ñò

eiz dz

, где L - окружность z = p

2 .

2 1

L sin

z -

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

¥ cos mxdx

ò0

при a > 0 , m > 0 .

(x2 + a2 )

f (z )=

z + 2

z - 4

>1.

11.

Разложить функцию

в ряд Лорана в области

z2 - 9z + 20

12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = ez ; L : x = C

Операционное исчисление

	t cht - cost
13.	Найти изображение: f (t )= ò		dt
		t
	0
14.	Решить дифференциальные уравнения операторным методом:
а)	x¢¢ + 2x¢ - 3x = e-t , при x(0) = 0 ,	x¢(0) =1.
б)	x¢¢¢ - x¢¢ = sin t , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 6

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 + 3iz + 4 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 3125i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = iz + 2z2 .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = sh(z - i) .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Im f (z) = 2ch y cos x ; f (0) = 2i .
6.	Вычислить интеграл ò	z	dz , где L - окружность	z	=1, 0 £ arg z £	p	.



	L z				2

	i
7.	Вычислить интеграл ò(iz2 - 3)dz по отрезку прямой.
	1

z2 + 4

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = (z2 + 3z + 2)2 .

высших порядков			ÑòL	dz	, где L - окружность	z -1 - i	=1.
				dz
				z3 +1
				z3 +1
10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного
¥	x2dx
ò0	x2dx
		.
	(x2 +1)(x2 + 4)	.

11. Разложить функцию f (z ) =			z - sin z				в ряд Лорана в окрестности	z0 = 0 .
				z	3

12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = ez + z ;
	L : x = 5 ; 0 £ y £ p .
	Операционное исчисление
13. Найти оригинал: F ( p )=						p2 + 4
		p4 - 7 p3 +12 p2 + 4 p -16
14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:
а)	x¢¢ + 2x¢ + x = sin t , при x(0) = 0 ,			x¢(0) = -1.
б)	x¢¢¢ + x¢ = t , при x(0) = 0 , x¢(0) =1,					x¢¢(0) = 0 .

	ВАРИАНТ 7
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение 2z2 - 5iz - 2 = 0 .		+ 3i			- 3i
2.	Вычислить комплексное число z =	1		+	1		.

	1		- 3i 1			+ 3i

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = 2i - z + iz2 .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции f (z) = ch(3z) .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Im f (z) = 2ch xsin y - 2xy ; f (0) = 0 .

6. Вычислить интеграл òIm zdz , где L - радиус-вектор точки z = 2 + i .

i+1

7. Вычислить интеграл ò (i - 3z )dz по отрезку прямой.

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	(z +1)2
		.
	(z2 - 3z + 2)2

высших порядков

ÑòL

z4dz

, где L - окружность

z -1

=1.

(z -1)3

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

xdx

+ 2x + 2)

-¥ (x

Разложить функцию f (z )

<1.

11.

в ряд Лорана в области

(z + 2) ×(1 + z2 )

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где

w = z -

;

L :

= R .

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t ) = t cost

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + x¢ - 2x = 8sin 2t , при x(0) = x¢(0) = -2 .

б) x¢¢¢ + 2x¢¢ + 5x¢ = 0 , при x (0) = -1, x¢(0) = 2 , x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 8

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение 5z2 + 6z + 5 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 4-8 - 83i .

3.	Найти мнимую и действительную части функции f (z) =			z + i		.

				i -	z
4.	Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
	найти производную функции f (z) = z2 +	z	2 .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Re f (z) = ey sin x + 2x -1; f (0) = -1.

6.	Вычислить интеграл ò	z	dz , где L - окружность	z	= R .

	L
	i+2
7.	Вычислить интеграл ò (z2 + 3iz )dz по отрезку прямой.
	0

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	eiz
		.
	(z2 -p 2 )2

ÑòL

z - 3i

высших порядков

, где L - окружность

= 5 .

(z +1)2 (z2 + 9)

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò0

(x2 + a2 )4

при a > 0 .

11.

Разложить функцию f (z ) =

в ряд Лорана в окрестности

z0 = 0 .

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w =

;

L : y = C .

Операционное исчисление

p+ 3 p + 4

13.Найти оригинал: F ( p )= p ( p -1)( p - 2)

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:2

а) x¢¢ + x¢ - 6x = te2t , при x(0) = 0 , x¢(0) = - 125 . б) x¢¢¢ + x¢¢ = sin t , при x(0) = x¢(0) =1, x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 9

Теория функций комплексного переменного

Решить уравнение z2 + 4z +13 = 0 .

æ 1

Вычислить комплексное число z = 2i ×ç

×ç

÷ .

2 ø

è 2

Найти мнимую и действительную части функции f (z) =

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти производную функции f (z) = z .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной

	или мнимой части: Im f (z) = -2x2 + 2 y2 - 2xy ; f (0) = 5 .
6.	Вычислить интеграл òRe zdz , где L - полуокружность			z	=1,0 £ arg z £ p .
6.

	L
		p	+i
	2		+i
	2
7.	Вычислить интеграл ò sin 2zdz по отрезку прямой.
	-1

- 1

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = z3 ×e z2 .

ÑòL

ez dz

высших порядков

, где L - окружность

= 3.

(z + 2)4

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

cos lxdx

ò0

при l > 0 .

(x2 +1)(x2 + 9)

Разложить функцию f (z ) =

2z + 3

1 <

< 2 .

11.

в ряд Лорана в области

z2 + 3z + 2

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = z2 ;

L : arg z = a

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t ) = t2 cos(t / 2)

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + x¢ = cost , при x(0) = 2 , x¢(0) = 0 .

б) x¢¢¢ + x¢¢ = t , при x(0) = -3 , x¢(0) =1, x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 10

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 + iz + 6 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 3i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z2 - i .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции f (z) = z Re z .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Im f (z) = x2 - y2 - 2xy + y ; f (i) = 0 .

6.	Вычислить интеграл òIm zdz , где L - полуокружность		z	= 3,0 £ arg z £ p .
	Вычислить интеграл òIm zdz , где L - полуокружность		z	= 3,0 £ arg z £ p .
	L
		pi
		2
7.	Вычислить интеграл ò zez dz = по отрезку прямой.
	0

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = z3 ×cos 1 . z2

высших порядков Ñò

sin (p z

4 )dz

, где L - окружность

z +1 = 1

2 .

(

)

-1

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò

a - cos x

при a >1.

11. Разложить функцию

f (z ) = z × e

в ряд Лорана в окрестности z0 = -i .

z+i

12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где

w = ez ;

L : y = C .

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )=

4 p2 - 6 p + 4

p ( p -1)2

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ + x¢ = sin2 t , при x(0) = x¢(0) = 0 .

б)

xIV - x¢¢ = cos t , при x¢(0) = -1, x(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = 0 .

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
03.05.2015952.83 Кб31Задачи ТФКП.doc
#
03.05.2015164.35 Кб22Комплексные числа - копия.doc
#
03.05.201572.19 Кб34Комплексныечисла.doc
#
03.05.201572.19 Кб34Примерные вопросы и задачи по курсу ТФКП.doc
#
03.05.2015300.5 Кб100ТФКП(МТУСИ)2012г.pdf
#
03.05.2015770.56 Кб88ТФКП.pdf