Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП(МТУСИ)2012г

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

300.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

ВАРИАНТ 11

Теория функций комплексного переменного

1.	Решить уравнение z2 - (2i +1) z + i -1 = 0 .
	13		-	14
2.	Вычислить комплексное число z =	i		i	+ i10 .
		1 + i		15

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z - iz2 .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции f (z) = z2 - 3z + 2 .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Re f (z) = x3 - 3xy2 - 3x2 + 3y2 -1; f (0) = -1.

6.	Вычислить интеграл ò	z	dz , где L - радиус-вектор точки z = 2 + i .

	L
		i
7.	Вычислить интеграл òz sin zdz по отрезку прямой.
	0

8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = z5 ×sin 1 . z2

9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных

ÑòL

zez dz

z - i

высших порядков

, где L - окружность

=1.

2pi

(z - i )2

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

sin xdx

- 2x +10)

-¥ (x

Разложить функцию f (z ) =

11.

в ряд Лорана в области 1 <

< 2 .

(z2 - 4) ×(z2 -1)

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где

w =

;

L : x2 + y2 = 2x .

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t ) = t cos(2t )ch (2t )

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + 2x¢ + 5x = 3, при x(0) =1, x¢(0) = 0 .

б) x¢¢¢ + x¢ = et , при x(0) = 0 , x¢(0) = 2 , x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 12

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - (2i -1) z - i -1 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 4-i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z + i .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции f (z) = cos 3z - 2i .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Re f (z) = x3 - 3xy2 + x ; f (0) = i .

6. Вычислить интеграл òRe zdz , где L - радиус-вектор точки z = 2 + i .

1+i

7. Вычислить интеграл ò z cos 2zdz по отрезку прямой.

	1
ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	e	z	.

1 - z

высших порядков

ÑòL

sin zdz

, где L - окружность

z -1

=1.

(z -1)(z + 2i)

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

ò0

при 0 < a <1.

1 - 2a cos x + a2

11.

Разложить функцию f (z )=

ez2 -1

в ряд Лорана в окрестности z

= 0 .

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где

w =

;

L : x2 + y2 = 4 y .

Операционное исчисление

3 - 2 p

13. Найти оригинал: F ( p )= ( p -1)( p +1)2

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 2x¢ + 5x = et cos(2t ), при x(0) = x¢(0) = 0 . б) x¢¢¢ + x¢¢ = cost , при x(0) = -2 , x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

	ВАРИАНТ 13
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение z2 - 2z + 2 = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = (3 + 4i )(-1 + 3i ) .
	6 - 8i

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = i - z3 .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции	f (z) = e(5iz+2) .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Im f (z) =	2x	+ y +1; f (i) = 2(1 + i) .
	или мнимой части: Im f (z) =	x2 + y2	+ y +1; f (i) = 2(1 + i) .
		x2 + y2
6.	Вычислить интеграл òRe zdz , где L - дуга параболы y = 2x2 от точки z1 = 0
	L
	до точки z2 =1 + 2i .
	i
7.	Вычислить интеграл òz sin zdz по отрезку прямой.
	1

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	1	×sin	1	.

1 - z			z

высших порядков ÑòL

sin 2zdz

, где L - окружность

z +1

=1.

(z +1)3

¥ x sin axdx

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

+ b

при a > 0,b > 0 .

11.

Разложить функцию f (z ) =

в ряд Лорана в области

4 <

z + 2

< +¥ .

(z2 - 4)2

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где

w =

;

L :

=1.

-1

Операционное исчисление

13. Найти изображение: f (t )= 1 - cost e-t t

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 7x¢ +12x = -e4t , при x(0) = x¢(0) =1.

б) xIV - x¢¢ =1, при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 14

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 + 2iz - 5 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 3-1 + i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = 1 .

4. Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти производную функции f (z) = e(7-3 z ) .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Re f (z) = ln x2 + y2 ; f (i) = 0 .

6.	Вычислить интеграл ò	dz		, где L - полуокружность	z	=1, y ³ 0,		=1.
							1


	L		z

		2+i
7.	Вычислить интеграл	ò (3z2 + 2z )dz по отрезку прямой.
		1-i

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	1	×sh	1	.

1 + z			z

высших порядков ÑòL

, где L – окружность

z -1 = 3

2 .

(z -1)3 (z +1)3

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного

x3 sin axdx

при a > 0 .

(1 + x

)

-¥

11. Разложить функцию f (z )=

sin z2

в ряд Лорана в окрестности

= 0 .

12. Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где

w = z2 + z ;

L : x = C .

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )=

( p + 2)

(

p2 +1

)

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 2x¢ = t2 -1, при x(0) = 2 , x¢(0) = 9

б) x¢¢¢ + x¢ = cost , при x(0) = 0 ,

x¢(0) = -2 , x¢¢(0) = 0 .

	ВАРИАНТ 15
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение z2 - iz + 6 = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = (3 + 2i)3 - (3 - 2i )3 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = iz +1 .

1+ z

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти производную функции f (z) = z .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной

	или мнимой части: Im f (z) = -	y	+ 2x2 - 2 y2 - x ; f (i) = 2 + i .
	или мнимой части: Im f (z) = -	x2 + y2	+ 2x2 - 2 y2 - x ; f (i) = 2 + i .
		x2 + y2
6.	Вычислить интеграл ò(z - z0 )n dz , где L - окружность			z - z0	= R .
6.

	L
	i
7.	Вычислить интеграл òz cos zdz по отрезку прямой.
	0

1 1

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = (1 - z )2 × e z .

высших порядков ÑòL

ez dz

, где L - замкнутый контур, охватывающий

z (z +1)2

точку z = -1, но не охватывающий точку z = 0 .

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

xsin axdx .

-ò¥

x2 + 4x + 20

Разложить функцию f (z ) =

z - 4

3 <

< 5 .

11.

в ряд Лорана в области

z2 - 8z +15

12.

Найти образ линии L при отображении w = f (z ), где w = ez + z ;

L : y = -1; 0 £ x £ 2 .

Операционное исчисление

13. Найти изображение: f (t )= cos 2t - cos 3t t

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 2x¢ + 5x =1 - t , при x(0) = x¢(0) = 0 .

б) x¢¢¢ - x¢¢ - 4x = sin t , при x(0) = x¢(0) = 0 , x¢¢(0) =1.

ВАРИАНТ 16

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 + 6z +18 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: z = 2 - 23i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z .

4. Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения найти производную функции f (z) = Re z .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Re f (z) = x3 - 3xy2 + 3x2 - 3y2 -1; f (0) = -1.

6.	Вычислить интеграл ò	dz	, где L - полуокружность	z	= 2 , проходимая от


	L	z

	точки z1 = 2 до точки z2 = -2 против часовой стрелки.
		-1-i
7.	Вычислить интеграл	ò (2z +1)dz по отрезку прямой.
		1+i

1 1

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) = 1 - z2 ×e z .

высших порядков ÑòL

e2 z dz

z - 2i

, где L - окружность

= 2 .

(z2 + p 2 )

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного

x2dx

ò0

при a > 0 .

(a2 + x2 )2

11. Разложить функцию f (z )=

1 - cos z3

в ряд Лорана в окрестности z0 = 0 .

(z ), где w = z

;

12. Найти прообраз линии L при отображении w = f

L : u = C (C = 0, C ¹ 0).

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )=

( p +1)

(

p2 +1

)

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ - x¢ = tet , при x(0) = x¢(0) = 0 .

б)

xIV - 2x¢¢¢ + x¢¢ = et , при x(0) = 4 ,

x¢(0) = 2 , x¢¢(0) = x¢¢¢(0) =1.

	ВАРИАНТ 17
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение z2 + 2z + 2 = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = i + i2 + i3 + .. + i15 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z + z2 .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции

f (z) = z2

Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной

или мнимой части: Re f (z) = -

; f (1) = 0 .

x2 + y2

Вычислить интеграл ò

zdz , где L - замкнутый контур, состоящий из

верхней полуокружности

=1 и отрезка прямой y = 0, -1 £ x £1.

i+1

Вычислить интеграл

ò z3dz

по отрезку прямой.

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	1	×sin	1	.
	z2 +1
			z

	z4dz
высших порядков	ÑòL (z +1)3	, где L - окружность	z = 2 .

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного

¥					dx
ò					dx					, a > 0;b > 0 .
ò	(x	2	+ a	2	)(x	2	+ b	2	)	, a > 0;b > 0 .
-¥	(x		+ a		)(x		+ b		)

11. Разложить функцию f (z )= в ряд Лорана в области 4 < z - 2 < ¥.

(z2 - 4)2

	°		w = f (z ), где w =1/ z ;
12. Найти прообраз линии L при отображении			w = f (z ), где w =1/ z ;
°	(C = 0, C ¹ 0).
L : v = C	(C = 0, C ¹ 0).
	Операционное исчисление
	t	ch(at )- ch(bt )
13. Найти изображение: f (t )= ò				dt
13. Найти изображение: f (t )= ò		t		dt
	0

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + x = e-t + 2 , при x(0) = x¢(0) = 0 .

б) xIV - 2x¢¢¢ + x¢¢ = t3 , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 18

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 + (1 - 2i)z - 3 - i = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: 4256 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = z / z .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = ze2 z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Im f (z) = 3 + x2 - y2 -				y	;	f (i) =	3	i .
	или мнимой части: Im f (z) = 3 + x2 - y2 -				2(x2 + y2 )	;	f (i) =		i .
					2(x2 + y2 )		2
6.	Вычислить интеграл	1ò+i (1 - 2		)dz по параболе y = x2 .
6.	Вычислить интеграл	1ò+i (1 - 2	z	)dz по параболе y = x2 .
		0
		i
7.	Вычислить интеграл	ò(3z4 - 2z3 )dz по отрезку прямой.
		1

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	z	×ch	1	.
	1 - z2
			z

Ñò

sin zdz

высших порядков

2 æ

, где L -

окружность z + i = 3

ç z

x2 cos

xdx

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного

(x +1)

11.

Разложить функцию

f (z )=

2 + cos 4z

в ряд Лорана в окрестности

z0 = 0 .

12.

;

Найти прообраз линии L при отображении w = f (z ), где w = e

L° : r =q (0 <q < ¥).

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )=

( p +1)3 (p + 3)3

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 2x¢ + x = 4 , при x(0) = 4 , x¢(0) = 2 .

б) x¢¢¢ - x = t3 -1, при x (0) = -1, x¢(0) = x¢¢(0) =1.

ВАРИАНТ 19

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - (4i + 2) z + 4i - 3 = 0 .

2.Вычислите комплексное число z = (1 + 3i)7 - (1 - 3i)7 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = sin(z) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) =						z	z	.
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z) = -3x2 y + y3 + 2x ; f (i) =1 + i .
6.	Вычислить интеграл (0,4ò ) Im ((z + i)2 )dz по дуге параболы y = 4 - x2 .
						(2,0 )
7.	Вычислить интеграл òcos zdz , где L - отрезок прямой, соединяющий
			p			L
	точки z	=	p	, z		= p + i .
	точки z	=		, z	2	= p + i .
	1	2			2
		2

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	z	×cos	1	.
	z2 +1
			z

высших порядков ÑòL

zez dz

, если точка z = a лежит внутри контура L .

(z - a)3

-ò¥

10.Вычислить интеграл от функции действительного переменного

(x4 + x2 +1)

11. Разложить функцию f (z) =

в ряд Лорана в области 1 <

< 2 .

(z -1)(z2 + 4)

1 z

;

12. Найти прообраз линии L при отображении w = f (z ), где w = e

= R .

L :

Операционное исчисление

t e-t +t -1

13. Найти изображение: f (t )= ò

t 2

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ - x¢ - 6x = 2e3t , при x(0) =1,

x¢(0) = -1.

б)

xIV + x¢¢¢ = cos (4t ), при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 20

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 + 2z +10 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: 3-8 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = e-z .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции				f (z) = sin 2z + i .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z) = -x2 + y2 + 3x -1; f (0) = -1.
		(1,3)
6.	Вычислить интеграл	ò		Im zdz по прямой, соединяющей точки.
			z
		(-1,1)
		2i				z2
7.	Вычислить интеграл	ò (z3 - z )e					dz по отрезку прямой.
						2
		1+i

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	1	×sh	1	.
	- z)2
(1			z

высших порядков òL

sin zdz

, где L - контур треугольника с вершина-

(z2 +1)(z2 + 9)

ми O(0,0); A(4, 4); B(-4;4)

(

10.

Вычислить интеграл

от функции действительного переменного ò

)

(

)

11.

Разложить функцию

f (z )=

1 - e-2 z

в ряд Лорана в окрестности

= 0 .

12.

;

Найти прообраз линии L при отображении w = f (z ), где w = z

L° : v = C (C = 0, C ¹ 0).

Операционное исчисление

p+1

13.Найти оригинал: F ( p )= p ( p -1)( p - 2)( p - 3)

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 9x = 2 - t , при x(0) =1, x¢(0) = -1.

б) x¢¢¢ - 3x¢ - 2x = 9e2t , при x(0) = 0 , x¢(0) = -3, x¢¢(0) = 3 .

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
03.05.2015952.83 Кб31Задачи ТФКП.doc
#
03.05.2015164.35 Кб22Комплексные числа - копия.doc
#
03.05.201572.19 Кб34Комплексныечисла.doc
#
03.05.201572.19 Кб34Примерные вопросы и задачи по курсу ТФКП.doc
#
03.05.2015300.5 Кб100ТФКП(МТУСИ)2012г.pdf
#
03.05.2015770.56 Кб88ТФКП.pdf