Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП(МТУСИ)2012г

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

300.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

	ВАРИАНТ 21
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение 5z2 - 6z + 5 = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = (1 + i)5 (1 - i )-3 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = ez 2 .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = sin 3z -1.
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z) = ex cos y + ey sin x ; f (0) =1.
		(1,1)
6.	Вычислить интеграл	ò	z	dz вдоль линии y =	x	.
6.	Вычислить интеграл	ò	z	dz вдоль линии y =	x	.
		(-1,1)
		i
7.	Вычислить интеграл	ò(z - i)e-z dz по отрезку прямой.
		0

8.Найти все особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно уда-

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	1	× cos	1	.
	(1 + z )2
			z

9.Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных

высших порядков òL

zdz

+ y

, где L -

эллипс

=1.

(z2 +16)(z2 - 2)

10.

Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò0

(5 + 4cos x)2

11.

Разложить функцию f (z) = (z -1)2 sin2

ряд

Лорана в област

z -1

0 <

z -1

< ¥ .

w = f (z ), где w = z +

12.

Найти прообраз линии L при отображении

;

L° : u = C .

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t ) = ch(t )×sin2 (t )

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - x¢ = 2 - 2t , при x(0) = x¢(0) =1.

б) x¢¢¢ + x¢¢ + x¢ + x = tet , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 22

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - (2i + 2) z + 2i = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: -8 + 6i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = 1 .

				z
4.	Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения
	найти производную функции			f (z) = i - cos z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Im f (z) = ex cos y + 2 y -1; f (0) =1.
		(-a,0)		ìx = a cost,
6.	Вычислить интеграл	ò	(z +	ìx = a cost,
6.	Вычислить интеграл	ò	(z +	2 Re z )dz по верхней части эллипса í
		(a,0	)	îy = bsin t.
		1+i
7.	Вычислить интеграл	ò sin z cos zdz по отрезку прямой.
		0

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z) =	1	×sin	1	.
	(1 - z )2
			z

высших порядков òL

ez dz

, где L - контур треугольника с вершинами

z3 + 9z

z1 = i, z2 = -1 - i, z3 =1 - i .

x cos xdx

10. Вычислить интеграл

от функции действительного переменного -ò¥

x2 + x +1

11. Разложить функцию

f (z )= z3 cos2

в ряд Лорана в окрестности

z0 = 0 .

при отображении w = f (z ), где w =

12. Найти прообраз линии L

;

L : u = C .

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )=

( p -1)(p2 - 4)

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ + 4x¢ + 3x = e-t , при x(0) =1, x¢(0) = -1.

б)

x¢¢¢ + 2x¢¢ + 2x¢ + x = t , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 23

Теория функций комплексного переменного

1. Решить уравнение z2 - (2 - 2i) z - 2i + 4 = 0 .

(1 + i)7

2. Вычислить комплексное число z = .

(1 - i 5)

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = ch(z - i) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции					f (z) =	z	Re z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z) = x2 - y2 + x ; f (1 + i) =1 + i .
				iz				ì2 £ Re z £ 3,
			ze dz					ì2 £ Re z £ 3,
6.	Вычислить интеграл		ze dz		, где L - контур прямоугольника í
6.	Вычислить интеграл				, где L - контур прямоугольника í
		òL z3 + 8				î-1			£ Imz £ 2.
			i
7.	Вычислить интеграл	ò zez2 dz по отрезку прямой.

-i

ленная точка, и найти вычеты в ней	f (z) =	1	1		.
			× cos
		z (1 - z2 )		z

высших порядков ò

(

-1

ì-1 £ Re z £1,

)

, где L - контур квадрата

2z - i

î-1 £ Imz £

xsin xdx

10.Вычислить интеграл от функции действительного переменного -ò¥

x4 + 5x2 + 4

11. Разложить функцию

f (z )= ç

- 2z +

÷cos

ряд Лорана в области

z - 2

è 2

0 <

z - 2

< ¥ .

= f (z ), где w = z +

12. Найти прообраз линии L при отображении w

;

L° : v = C .

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t ) = e-4t sin (3t )cos (2t )

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 3x¢ = t + cost , при x(0) = x¢(0) = 0 .

б) x¢¢¢ + 2x¢¢ + x¢ = -2e-2t , при x(0) = 2 , x¢(0) =1, x¢¢(0) =1.

ВАРИАНТ 24

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - (4 + 4i) z + 8i + 9 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: 15 - 8i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = e1-z .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции	f (z) = sin z - z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Im f (z) = 3x2 y - 3x2 +1 + 3y2 - 3y - y3 ; f (0) = i .
6.	Вычислить интеграл ò(Imz - Re z )dz , где L - контур прямоугольника
	L
	{-2 £ Re z £ 2, -1 £ Imz £1}
	1+i
7.	Вычислить интеграл ò zez dz	по отрезку прямой.
	i

ленная точка, и найти вычеты в ней		1	1		.
	f (z) =		× c h
		z (1 + z2 )		z

высших порядков	ÑòL	ez dz	, где L - окружность		z - 3i	= 2 .

		z (z - 2i )					(	x4 +1 dx
				¥

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò								x	6	) .
				-¥						+1

z-1

11.Разложить функцию f (z ) = z2 - 7z +12 , в ряд Лорана в области 0 < z - 4 <1.

	°
12. Найти прообраз линии L при отображении w = f (z ), где w = z / (z -1);
	°	w	= 4 .
	°
	L :
			Операционное исчисление
	1
13. Найти оригинал: F ( p )=
13. Найти оригинал: F ( p )=				p ( p4 - 5 p2 + 4)
14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:
а)	x¢¢ - 2x¢ = e2t + t 2 -1, при x(0) = 18 , x¢(0) =1.
б)	x¢¢¢ - x¢ = 3(2 - t2 ), при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) =1.

	ВАРИАНТ 25
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение z2 - 4z +13 = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = (2 - i)3 (3 + 4i )-1 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = sh(2z) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции f (z) = z Im z .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Im f (z) = 2ex cos y + 2xy -1; f (0) = i .


6.	Вычислить интеграл ò(4z +			)dz по дуге L - параболы y = 2x2 , соединяющей
			z
		L
	точки z1	= 0; z2 =1 + 2i .
7.	Вычислить интеграл òez dz , по дуге L - параболы y = x2 , соединяющей
		L
	точки z1	= 0; z2 =1 + i .

1 1

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )= 1 + z2 sh z .

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных

высших порядков Ñò e1-z dz , где L - окружность z = 2 .

¥ (x -1)dx

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного ò .

-¥ (x2 +1)2

11. Разложить функцию f (z) =

в ряд Лорана в области

>1.

+1)(z + 2)3

z + 2

12. Найти прообраз линии L при отображении w = f (z ), где w =

;

=1.

L :

Операционное исчисление

-t

13. Найти изображение: f (t )= ò

1 - e

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ - 4x = e2t sin (2t ), при x(0) = x¢(0) = 0 .

б)

xV + x¢¢¢ = t 2 -1, при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = xIV (0) = 0 .

ВАРИАНТ 26

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - (4 - 2i) z +12 - 4i = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: 3 + 4i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = i ×sin(3 - iz) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

найти производную функции f (z) = z Im z .

5.Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной или мнимой части: Re f (z) = x2 - y2 + x ; f (0) = 0 .

6.	Вычислить интеграл òRe(z2 )dz , где L -		ì0	£ Re z £ 4,
6.	Вычислить интеграл òRe(z2 )dz , где L -		граница множества í	£ Imz £ 8.
	L		î0	£ Imz £ 8.
	i	2i
7.	Вычислить интеграл òsin zdz + òcos 2zdz .
	0	0

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )=	z	sin	1	.
	- z
1			z

высших порядков

Ñò

z sin

= 2pi , где L - контур прямоугольника с

вершинами 1 + i,

-1 + i, 1 - 2i,

-1 - 2i .

10. Вычислить интеграл

от функции действительного переменного ò

a + b cos x

при a > b > 0 .

f (z )= cos(z

1 - z ) в ряд Лорана в окрестности z0 =1.

11. Разложить функцию

z +1

12. Найти прообраз линии L при отображении w = f (z ), где w =

;

L : arg z =

4 .

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )= p2 ( p + 3)2

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ - 2x¢ + 5x = et sin (2t ), при x(0) = x¢(0) = 0 .

б) xIV + x¢¢ = 2cos t , при x(0) = -2 , x¢(0) =1, x¢¢(0) = x¢¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 27

Теория функций комплексного переменного

1.	Решить уравнение z2 - (2 + i) z + 3 + i = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = (1 - 2i )3	+ 4i16 .
	i

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = sin(z - i) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = ez sin z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z ) = e- y cos x + x ;				f (0) =1.
6.	Вычислить интеграл	1+ò2i (3		- 5)dz по дуге параболы y = x2 +1.
			z
		i
		3i
7.	Вычислить интеграл	ò(cos z + i sin 2z )dz			по отрезку прямой.
		0

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )=	1	cos	1	.
	z (1 + z)
			z

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах или интегральную теорему Коши, или формулу для производных

высших порядков Ñò (z2 +1)e z dz , где L - окружность z =1.

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного

¥	dx
-ò¥
		.
	(x2 +1)(x2 + 4)(x2 + 9)

11. Разложить функцию f (z) = в ряд Лорана в области z +1 >1.

(z2 -1)3

12. Выяснить, во что преобразуется указанная область z - плоскости при заданной отображающей функции w = f (z ): Квадрант x > 0 , y > 0 ;

w = z - i . z + i

Операционное исчисление

13.Найти изображение: f (t ) = ch(t )cos(t )

14.Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + 4x = 2sin 2t - 3cos 2t +1, при x(0) = x¢(0) = 0 .

б) x¢¢¢ - x¢ = t , при x(0) = 0 , x¢(0) =1, x¢¢(0) = 0 .

ВАРИАНТ 28

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - 4iz +12 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: 5 +12i .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = sh(z + 2i) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = ez cos z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Im f (z) = ex (y cos y + x sin y); f (0) = 0 .
		(2,1)
6.	Вычислить интеграл	ò	z -1	dz вдоль линии y =	x -1	.
6.	Вычислить интеграл	ò	z -1	dz вдоль линии y =	x -1	.
		(0,1 )
		3+i
7.	Вычислить интеграл	ò (2iz - z2 )dz по отрезку прямой.

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )=	1	ch	1	.
	+ z
1			z

			æ p	ö
			cosç	z ÷dz
			cosç	z ÷dz
	è 2			ø
	è 2			ø
высших порядков òL					, где L - окружность		z -1	= 5 .
			(z -1)(z + 3)3		, где L - окружность		z -1	= 5 .
			(z -1)(z + 3)3
10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного
¥	dx
-ò¥	dx
		.
	(x2 + 4)(x2 + 9)	.
11. Разложить функцию f (z )= z sin					1	в ряд Лорана в окрестности			z0 = 2 .
11. Разложить функцию f (z )= z sin					z - 2	в ряд Лорана в окрестности			z0 = 2 .
					z - 2

12. Выяснить, во что преобразуется указанная область z - плоскости при заданной отображающей функции w = f (z ): Полукруг z <1, Im z > 0 ;

w = 2z - i . 2 + iz

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )= p2 ( p2 + 9)

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + 2x¢ + 5x = e-t cost , при x(0) = x¢(0) = 0 . б) x¢¢¢ - x¢ = et , при x(0) =1, x¢(0) = x¢¢(0) = 0 .

	ВАРИАНТ 29
	Теория функций комплексного переменного
1.	Решить уравнение z2 - 3iz + 4 = 0 .
2.	Вычислить комплексное число z = (1 - 2i)3 ×i-1 + 4i16 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = cos(iz +1) .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции	f (z) = cos z - z .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z) = x2 - y2 - 2 y ; f (0) = 0 .
	(0,1)	ìx = 2cos t,
6.		ìx = 2cos t,
6.	Вычислить интеграл ò z Re zdz по дуге эллипса í
	(-2,0)	îy	= sin t.
	1+i
7.	Вычислить интеграл ò z sin zdz	по отрезку прямой.
	i

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )=	1	sh	1	.
	z (1 - z )
			z

высших порядков ÑòL

, где L - окружность

z (1 - e2 z )

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного

cos xdx

- 2x +10)

-¥

в ряд Лорана в области 1 <

< 2 .

11. Разложить функцию f (z) =

(z +1)(z2 - 4)

z - плоскости при

12. Выяснить, во что преобразуется указанная область

заданной отображающей функции w = f (z ): Полоса 1 < Im z < 2 ; w =

z - i

z - 2i

Операционное исчисление

13. Найти изображение: f (t )= ò

t - sint

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а)

x¢¢ + x¢ -12x = 6t2 +11t +10 , при x(0) = 4 , x¢(0) = 8 .

б)

xIV - x¢¢ = sh(t ), при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 , x¢¢¢(0) =1.

ВАРИАНТ 30

Теория функций комплексного переменного

1.Решить уравнение z2 - 5iz - 4 = 0 .

2.Извлечь корень соответствующей степени из данного числа: 6-1 .

3.Найти мнимую и действительную части функции f (z) = e2 z-3i .

4.Проверить выполнение условий Коши-Римана и в случае их выполнения

	найти производную функции f (z) = 2ez + 2i .
5.	Восстановить аналитическую функцию по заданной её действительной
	или мнимой части: Re f (z) =		e2 x +1	cos y ; f (0) = 2 .

	(1,1)		ex
6.	Вычислить интеграл ò	(2z + Re z )dz по параболе x = y2 .
	(0,0	)
	(1,2)
7.	Вычислить интеграл	ò (2z - 3z2 )dz по отрезку прямой.

(-1,1)

z -1

ленная точка, и найти вычеты в ней f (z )= 1 + z e z .

высших порядков	Ñò	sin 3zdz			, где L - окружность	z	= p .
	Ñò	sin 3zdz
		(z -p 3 )(z - p	2 )	2
	L	(z -p 3 )(z - p	2 )

10. Вычислить интеграл от функции действительного переменного

2p	cos 2xdx
	cos 2xdx
ò0 1 - 2a cos x + a2		при a >1.

11.Разложить функцию f (z ) = z sin (z / (z +1)) в ряд Лорана в окрестности z0 = -1.

12. Выяснить, во что преобразуется указанная область z - плоскости при заданной отображающей функции w = f (z ): Полоса 0 < Re z <1;

w = z -1 . z

Операционное исчисление

13. Найти оригинал: F ( p )= p ( p2 - 2 p + 2)

14. Решить дифференциальные уравнения операторным методом:

а) x¢¢ + 4x¢ + 4x = sin t , при x(0) = -2 , x¢(0) = 3.

б) xIV - x¢¢¢ = et , при x(0) = x¢(0) = x¢¢(0) = 0 , x¢¢¢(0) =1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
03.05.2015952.83 Кб31Задачи ТФКП.doc
#
03.05.2015164.35 Кб22Комплексные числа - копия.doc
#
03.05.201572.19 Кб34Комплексныечисла.doc
#
03.05.201572.19 Кб34Примерные вопросы и задачи по курсу ТФКП.doc
#
03.05.2015300.5 Кб100ТФКП(МТУСИ)2012г.pdf
#
03.05.2015770.56 Кб88ТФКП.pdf