Если заданы два сигнала с известными спектральными плотностями, то их скалярное произведение равно:

. (2.6) Физический смысл этого равенства заключается в том, что энергию сигнала можно

определить по спектральной плотности. Поэтому, если сравнить спектральные плотности сигнала до обработки и после можно судить об энергетических искажениях при обработке

2.1. Спектральная плотность сингулярных сигналов

Элементарные сигналы (функции) часто используются для описания более сложных, например, цифровых сигналов. Это позволяет производить с ними различные операции по правилам непрерывных сигналов, что существенно облегчает анализ. Наибольший интерес представляют элементарные сингулярные сигналы, т.е. сигналы, имеющие разрывы непрерывности. Рассмотрим основные из них.

Единичная функция. (рис. 2.2)

Рис. 2.2

Аналитическое описание единичной функции, которая еще называется функцией Хевисайда или функцией включения, имеет следующий вид:

8

Прямое определение спектральной плотности единичной функции невозможно, поскольку она не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Однако, можно найти ее спектральную плотность, воспользовавшись предельным переходом и линейностью преобразования Фурье. Находим:

Единичный прямоугольный импульс определяется аналитической записью следующего вида:

rect t, 1, и 2 t и 2;

и 0, при других t ,

è

где – длительность импульса.

Рис.2.3

Спектральная плотность прямоугольного импульса находится непосредственно из прямого преобразования Фурье. Получим:

9

При описании сигналов иногда используют, так называемый, единичный импульс r(t), имеющий единичную амплитуду и бесконечно малую длительность. Единичный импульс связан с прямоугольным импульсом следующим соотношением:

Дельта–функция (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Дельта-функция связана с единичной функцией очевидным соотношением:

(t)

-функция обладает двумя важными свойствами:

10

Используя выражение (2.7) и свойство линейности преобразования Фурье легко найти спектральную плотность постоянного во времени сигнала, т.е. когда s(t) = 1 при

t

. Находим:

,

постольку спектральную плотность единичной функции иногда представляют в следующем виде:

Таким образом, особенность спектральной плотности единичной функции подчеркивается отдельным слагаемым.

Тема 2. Теория электрических фильтров

Лекция 3 Синтез фильтров по рабочим параметрам. Фильтры Баттерворта и

Чебышева

11

Электрическим фильтром называют четырехполюсник, пропускающий электрические колебания в определенной полосе частот, называемой полосой пропускания (ПП) и не пропускающий электрические колебания в другой полосе частот, называемой полосой задерживания (ПЗ). Фильтры являются частным случаем четырехполюсников. Поэтому они также описываются характеристическими либо, что чаще, рабочими параметрами. Рабочие параметры предусматривают обеспечение ослабления в полосе пропускания ниже определенного уровня, а в полосе задерживания – выше определенного уровня. Это лучше соответствует основному назначению фильтров.

По характеру зависимости модуля их комплексной передаточной функции (АЧХ) от частоты Н(f) электрические фильтры подразделяются на фильтры: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ). На рис. 29.1 приведены идеальные амплитудно-частотные характеристики соответствующих фильтров.

Рис.3.1 Показанные на рис. 3.1 АЧХ потому являются идеальными, что фильтры с такими

характеристиками идеально соответствуют своему назначению. Однако характеристики реальных фильтров могут значительно отличаться от приведенных на рисунке. Граничные частоты fГ определяют границы полос пропускания и задерживания.

Структурное обозначение ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ представлено на рис. 3.2

Рис. 3.2 Перечеркнутая волнистая линия обозначает своим расположением тот диапазон

частот, который задерживается фильтром. Например, у ФНЧ задерживаются верхние частоты и так далее.

Одним из основных параметров фильтра является зависимость его рабочего ослабления от частоты. Рабочее ослабление фильтра показывает, на сколько децибелл полная мощность, выделяемая в нагрузке на его выходе, меньше полной максимальной

12

мощности, которую может отдать источник в согласованную нагрузку. Рабочее ослабление оценивается в децибелах и определяется следующей формулой

Большинство фильтров относятся к линейным цепям с сосредоточенными параметрами, поэтому их передаточные функции являются дробно-рациональными. Используя различные методы аппроксимации идеальных передаточных функций дробнорациональными функциями (например, по Тейлору, по Чебышеву, метод наименьших квадратов и другие), можно получить разнообразные полиномиальные функции фильтрации. В зависимости от аппроксимирующей функции (функции фильтрации) фильтры делятся на фильтры Баттерворта, Чебышева, Золотарева, Кауэра, Гаусса и другие.

На рис. 29.3 для примера показан график функции фильтрации идеального ФНЧ

13

Рис. 3.3 При изменении нормированной частоты от 0 до 1 функция фильтрации равна нулю, а для

частот больших 1 функция фильтрации стремится к бесконечности. Если подставить эту функцию в выражение (3.1), то в результате получим АЧХ идеального ФНЧ, показанную на рис. 3.1.

При расчете фильтров используют результаты синтеза для нормированных сопротивлений и частот. Такой подход при синтезе делает эти результаты универсальными, т.е. их можно использовать для самых разнообразных исходных данных. Нормирование - деление исходной величины на эталон. В качестве эталонного (нормирующего) сопротивления R0 выбирают сопротивление нагрузки, т.е. R0=RН. Тогда, например, некоторое нормированное операторное сопротивление будет определяться следующим соотношением.

Z p Z p R0

В качестве эталонной (нормирующей) частоты 0 выбирают граничную частоту полосы пропускания или среднегеометрическое значение двух таких частот, т.е. нормированной частотой будет

0 f f0

На рис. 3.4 показаны графики рабочего ослабления для ФНЧ и ПФ.

Рис. 3.4 Для ФНЧ нормирующей частотой будет полоса пропускания, а для ПФ

среднегеометрическое значение нижней и верхней полос пропускания, как показано на рис. 3.4

3.1. Фильтры Баттерворта и Чебышева

14

Если в качестве функции фильтрации использовать полином Баттерворта

2 2n

,

то получатся фильтры Баттерворта. При использовании в качестве функции фильтрации полиномов Чебышева

фильтрам Чебышева. Соответствующие графики ослабления для таких ФНЧ приведены на рис. 3.5

На рис. 3.5,а показано изменение ослабления для двух ФНЧ Баттерворта, порядок которых равен 2 и 4. Чем больше порядок ФНЧ, тем круче кривая ослабления, которая определяется как

АР 10lg(1 2 2n)

При n стремящемся к бесконечности приходим к ослаблению идеального ФНЧ. На рис. 3.5,б показано изменение ослабления для ФНЧ Чебышева шестого порядка. Ослабление в полосе пропускания последовательно изменяется n раз от нуля до Aр макс.

Рабочее ослабление ФНЧ Чебышева определяется следующей формулой

АР 10lg[1 2Tn2( )]

При расчете требования к фильтрам задают с помощью рабочих параметров в следующем составе:

Aр макс - максимально допустимое ослабление в ПП,

Aр мин - минимально допустимое ослабление в ПЗ,

fп - граничная частота ПП (для РФ ПФ задаются fп1 и fп2),

15

fз - граничная частота ПЗ (для ПФ и РФ задаются fз1 и fз2).

На рис. 3.6 приведена общая схема нагруженного фильтра. Однако при синтезе фильтра считают, что сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление источника (генератора) являются резистивными, т.е. ZН = RН, ZГ = RИ. Такой подход не уменьшает общности результатов, поскольку фильтр является реактивным четырехполюсником и реактивность нагрузки и источника можно отнести к фильтру.

Рис. 3.6 Со стороны входных зажимов нагруженный фильтр рис. 30.1 при синтезе

рассматривают как двухполюсник, обладающий некоторым входным комплексным сопротивлением. На таком подходе основан метод синтеза, который носит название метода Дарлингтона.

типу фильтра: ФВЧ, ПФ, РФ, как это показано на рис. 3.7. Таким образом, при синтезе разнообразных фильтров можно ограничится лишь синтезом ФНЧ – прототипа, а затем путем простой замены переменной получить нужный фильтр. Такой способ называется преобразованием шкалы частот.

16

Метод преобразования шкалы частот позволяет проводить расчет любого фильтра по следующим этапам:

-по заданным требованиям к фильтру определяют требования к ФНЧ-прототипу,

-решают задачу синтеза (нахождения схемы) для ФНЧ-прототипа,

-схему ФНЧ-прототипа преобразуют в схему заданного фильтра (с помощью таблицы перехода),

-производят денормирование элементов фильтра по соответствующим формулам.

В качестве примера решения тестового задания определим соответствие между типом ФНЧ и его АЧХ (см. рис. 3.8):

1.Баттерворта

2.Чебышёва

3.Золотарева

а

б

в

Рис. 3.8

АЧХ фильтра обратно-пропорциональна рабочему ослаблению (см. рис. 3.5). Тогда можно найти правильный ответ на задание, а именно (1-б, 2-а, 3-в).

Лекция 4 Схемная реализация полиномиальных фильтров

17

Синтез ФНЧ-прототипа ставит своей задачей найти схему фильтра и параметры всех его элементов. Схема включения нагруженного ФНЧ-прототипа, который необходимо синтезировать, показана на рис. 4.1

Рис. 4.1

Исходными данными для синтеза ФНЧ являются: fп, кГц - граничная частота ПП; f3, кГц - граничная частота ПЗ; Aр макс, дБ - неравномерность ослабления в ПП; Aр мин, дБ - минимальное ослабление в ПЗ; RИ=RH, Ом - сопротивление источника (генератора) и нагрузки. Синтез фильтра основан на методе Дарлингтона.

,

где Для ФНЧ Чебышёва получим

,

Далее округляем n в формулах до ближайшего целого числа большего n, поскольку число элементов не может быть дробным. Например, если n=3,1 , то выбираем n=4.

18

4. Для определения передаточной функции ФНЧ – прототипа находятся полюсы передаточной функции в соответствии со следующими формулами:

5.Определяется рабочая передаточная функция ФНЧ – прототипа НР(р) путем представления знаменателя в виде произведения постоянной и n линейных множителей, поскольку ее полюсы (корни знаменателя) определены. Далее знаменатель передаточной функции, который является полиномом Гурвица, можно представить в виде полинома степени n.

6.Находится входное операторное сопротивление нагруженного ФНЧ в виде дробнорациональной функции следующего вида

.

7. Формула входного операторного сопротивления раскладывается в цепную дробь. Причем, если первым элементом фильтра является индуктивность, то

Если первым элементом фильтра является емкость, то раскладываем её в цепную дробь следующего вида

19

При ускоренном синтезе вместо ZBX(p) строят операторное входное сопротивление только половины фильтра ZBX2(p).

8. В зависимости от четности или нечетности n получают схему фильтра с нормированными параметрами. На рис. 31.2 показана схема ФНЧ с четным числом элементов, например, шестого порядка

Рис. 4.2 На рис. 4.3 приведена схема ФНЧ с нечетным числом элементов, например, пятого

порядка.

Рис. 4.3 Нормированные величины на приведенных схемах, обозначены штрихом сверху. 9. Производится денормирование элементов фильтра.

Только в случае чётного порядка ФНЧ Чебышёва при разложении в цепную дробь может получиться, что R’Н 1. Это означает, что сопротивление R0 не может быть равным RH. Пусть, например, получено R’Н= 1. Для того, чтобы сопротивление нагрузки оказалось равно заданному, денормирование следует проводить по следующим формулам (вместо RH следует подставлять RH / )

20

10. Строится график функции рабочего ослабления Ap( ), по которому проверяется выполнение данных, заданных для синтеза

Нормирование сопротивления и частоты приводит к нормированию индуктивности и емкости в схеме фильтра. Нормированные величины, обозначенные штрихом сверху, будут безразмерными. Для перехода к реальным значениям величин используют операцию денормирования, т.е. денормирование это переход от нормированной к исходной величине по следующей общей формуле

p

Z p Z R00

,

Соответственно для элементов фильтра получим следующие формулы перехода

Коэффициенты денормирования совпадают по размерности с исходными величинами.

Нормирование позволяет получить расчетные формулы в общем виде, пригодном для различных значений граничных частот и сопротивлений нагрузки.

Пусть в результате синтеза ФНЧ – прототипа получена схема рис. 4.4

Рис. 4.4 На этой схеме представлен ФНЧ пятого порядка с нормированными параметрами.

21

Преобразование схемы ФНЧ – прототипа в схему необходимого фильтра при преобразовании шкалы частот производится путем интерпретации каждого элемента прототипа в новое схемное качество в соответствии с таблицей 4.1.

22

Лекция 5. Синтез активных RC-фильтров и С-фильтров

5.1. Основные схемы включения операционных усилителей

На низких и очень низких частотах вместо LC-фильтров используют ARC-фильтры. Название фильтра определяется составляющими элементами А – операционный усилитель (активный элемент) , R – сопротивление, C – емкость. Таким образом, фильтр содержит только технологичные элементы микроэлектроники. В зависимости от схемы включения операционный усилитель (ОУ) может выполнять разнообразные операции над входным сигналом. Такие широкие функциональные возможности ОУ объясняются его высоким коэффициентом усиления (106 - 107) и большим входным сопротивлением (до 107 Ом и более).

Первой основной схемой включения операционного усилителя является инвертирующая схема, показанная на рис. 5.1, где комплексные сопротивления Z1 и Z2 могут быть по характеру какими угодно.

Рис. 5.1 В структурном обозначении ОУ отражены его свойства по усилению и входному

сопротивлению. Входной сигнал подается на инвертирующий вход, обозначенный кружком. Отсюда следует название этой схемы включения. Комплексная передаточная

23

функция по напряжению инвертирующей схемы, показанной на рис. 5.1, будет определяться следующим выражением

Hис(jω)=−Z2 / Z1.

Таким образом, используя разнообразные сопротивления, можно получить самые различные передаточные функции этой схемы.

Другой основной схемой включения ОУ является неинвертирующая схема, приведенная на рис. 5.2.

Рис. 5.2 В этой схеме сигнал подается на неинвертирующий вход ОУ. Отсюда и название

схемы.

Комплексная передаточная функция по напряжению неинвертирующей схемы будет определяться следующим выражением

Hнс(jω)=1+Z2 / Z1.

Использование различных комплексных сопротивлений в приведенной схеме позволяет получить устройства с самыми различными свойствами. Так, например, если оба сопротивления в неинвертирующей схеме резистивные, то приходим к схеме повторителя сигнала с коэффициентом усиления (1+R2/R1). При R2=0, R1=∞, получим схему идеального повторителя входного сигнала, показанную на рис.33.3

Рис. 5.3 Если оба сопротивления в инвертирующей схеме резистивные, то приходим к схеме

инвертора с коэффициентом усиления −R2/R1.

Если в инвертирующей схеме будет Z1=R1, а Z2=jωC2, т.е. на месте второго сопротивления включена емкость, то приходим к схеме интегратора. Если емкость и сопротивление поменять местами, то получим схему дифференциатора. Эти схемы имеют вид, показанный на рис. 5.4

24

Комплексная передаточная функция интегратора, схема рис. 5.4,а, будет

Дифференциатор рис. 5.4,б имеет комплексную передаточную функцию следующего вида

H ( j ) j RC

где постоянная времени τ = RC. и схемы дифференциатора

Рассмотрим пример решения тестового задания (ТЗ).

Необходимо определить амплитуду сигнала на выходе данной схемы (см. рис. 5.5) в милливольтах, если сигнал на входе 5|sin(30t)| мВ.

Рис. 5.5

25