Landsberg-1985-T1

§ 145. МембраииыЙ-маиоме:r:jl. к,ак И3Мff'IdТЬ i!ЗВil-eиtle :жид'..

кости на поверхность твердого' тела, ш.nр.и.мер ,даВiJеJi!:йе

воды на дно стакана? Конечно, дно стакана дЕ:'фЩ*щэу.ется под действием сил давления, и, заа-я деформац!ию,:мЫ могли

бы определить вызвавшую ее GИJIУ и рассчит.ап. дав;nение;

но эта деформация настоль-к<> ~JI-а. ч'Ю иамери'fЬ ее .непос­

редственно практически невоаможно. ТакJUI!К Ч'ДИТЬ по

деформации данного тела о давлении, оказываемом на него

жидкостью, удобно лишь в том случае, когда деформации

манометра

ся около оси О. При погружении при-

бора в жидкость мембрана прогибает­ ся под действием сил давления, и ее прогиб передается в

увеличенном виде указателю, передвигающемуся по шкале.

Каждому положению указателя соответствует определенный прогиб мембраны, а следовательно,· 11 определенная сила

давления на мембрану. Зная площадь мембраны, можно

от сил давления перейти к самим давлениям. .можно непо­

средственно измерять давление, если заранее проградуирЬ­

вать манометр, т. .с. определить, какому давлению соответ­

ствует то или иное положение указателя на шкале. Для это­

го нужно подвергнуть манометр действию известных да:е­

лении и, замечая положение стрелки указателя, проставить

соответственные цифры на шкале прибора. В дальнейшем

мы познакомимся и с другими типами манометров.

§ 146. Независимость давления от ориентации площадки. :Манометр, погруженный в ЖИДкость, показывает давление в той области жидкости, где расположена его мембрана. Что­

бы по показаниям манометра можно было судить о давле-

.) с помощью таких .маИОМе1'!>оВ'язмеряют и давление газов. (Прu-

.меч. ред.) .

282

нии в избранном месте, размеры мембраны ДМЖRЫ быть до­ статочно малыми. Иначе, если. даЕлеи!Ие в разных точках

мембраны различно, показания манометра дадут лишь не-

Поместив Maнoмe'Ip с дос'[аточно малой мембраЩ>А

_внутрь жидкости, мы увидим, ч.то при поворачивании ма­

нометра его показания не меняются. Таким образом. IIIЫ обнаруживаем, что давление в данном месте жидкости lUl зависит от ориентации площадки, на коmoрой оно измеря­ ется. Вспомним, что по самому своему определению давле­

ние не зависит и от размеров площадки, на которую оно

действует. так как оно всегда относится к единице площади

поверхности. Та,ким образом.. введенное нами понятие дав­

ления представляет собой такую характеристику состоя­

ния жидкости в данном месте. которая не зависит ни от раз­

меров, ни от ориеитации площадки, по которой давление

измеряется. давлениезависит лиш-ь-от степени сжатия жид­

кости в данном месте.

П.одчер-кнем,_ Ч'F.О гибкая мембрана манометра служит

лишь. для удобного обнаружения и и-змерения сил давле­

ния жидкости. а силы эти обусловлены. упругимисвойства­ _ми самон жидкости. Те же самые силы давления действо­

вали бы со стороны жидкости на поверхность любого.дру­

гога тела,- например сплошного. куска металла, помещенно­

го на место мембраны.

Мы можем также мысленно выделнть внутри жидкости какой-либо, объем. Во всех точках поверхности, ограничи­ вающей этот объем. будут существовать некоторые давле­ ния, совершенно такие же, какие существовали бы на по­

верхности 1.'вердого тела, имеющего тот же объем. Это же

давление действует и на мемб{J'ВНУ измеряющего манометра,

погруженного в жидкость.

§ 1-47. Единицы давленИ1Г. Единицей давления называют

_такое давление, при котором на единицу площади дейст­

вует сила, равная единице. В СИ единицей давления

служит давление, при котором на один квадратный метр

прИХОДИТСJlf сила, равная одному ньютону. Эта единица наевана в честь Б. Паскаля (§ 150) паскалем (Па):

1 Па'=1 H/M1'.

Шир-око при-меняется внесистемная единица давления.

иазьmаемaJt atIUI.{)CфероЙ. Ои~ равиа! ДJaвлению-, оказываемо-­ му столбом ртути высоты 760 мм ~или во:цяным стon6ом

283

§ i48. определение сил давления по даВJIению. Зная давле­

ние в каждой точке данной поверхности, нетрудно опреде­ JIИТЬ равнодействующую сил давления на всю эту поверх­

ность. Рассмотрим сначала плоскую поверхность. Если давление р одно и то же по всей поверхности, то равнодейст­

вующая сила

F=pS,

где S - ПJIощадь поверхности. Эта равнодействующая име­

еТ', как следует из § 143, направление, перпендикулярное

кповерхности.

Если давление различно в разных точках плоской по­ верхности, то для вычисления равнодействующей силы по­ ступают следующим образом: Поверхность разбивают на

столь малые участки, чтобы во всех точках участка можно

было считать давление практически одинаковым (хотя и различным для разных участков). Силу давления на от­

дельный участок выIисляютT как произведение давления на

данном участке на его площадь; равнодействующая сил

давления на всю поверхность равна сумме найденных та­ ким образом сил, приходящих~я на отдельные участки. и

на криволинейную погруженную

поверхность судна.

Если поверхность не плоская, ее раз.бивают на столь

малые участки, что каждый из них практически можно счи-

..) это - так называемая фU.3uческая аtn.4/осфера (обозначается

атм), которую мы будем называть просто атмосферой. Кроме физической, существует техническая атмосфера (обозначается ат),. равная давле­ нию, оказываемому водяным столбом высоты 10,000 м. Техническая

атмосфера равна 0,968 физической атмосферы. В дальнейшем в этоА кнн­

ге техническая атмосфера не используется.

284

иымп силами. Мы покажем, что при дейcrБИИ !.~~KO по­

верхностных сил давление во всех точках жидкМти оди­

наково.

Поместим жидкость в произвольной формы замкнутый

сосуд, к которому прис6едииен цnmrндр с поршнем (рис. 225). Вдвигая поршень в цилиндр. создадим внутри

ЖИДКОNИ давление, обуслов­

А и В, должны быть равны между собой. Для этого мыслен­

но выделим внутри жидкости тонкий ЦИiIИНДР, осью кото­

рого служит линия АВ и основания которого, имеющие площадь S, перпендикулярны к линии АВ. Выделенный объем составляет часть покоящейся жидкости, и, следова­

тельно, сам находится в покое, хотя на его поверхность

действуют силы давления. Другие силы на ЦИJ:IИНДР не дейст­

вуют (силой тяжести мы пренебрегли). Для равновесия

необходимо, чтобы сумма проекций всех сил давления на

любое направление равнялась нулю (§ 74). Рассмотрим сумму проекций сил давления на ось АВ.

Силы давления, действующие на боковую поверхность

цилиндра, перпендикулярны к оси АВ, и, следовательно,

их проеКЦИИ на ось равны нулю. Остаются лишь силы, дейст­ вующие на основания цилиндра. Они равны соответственно

рлS и PBS, где Рл И РВ - давления в точках А и В. Так !{ак

эти СШIЫ перпендикулярны к основаниям, то они направ­

лены вдоль АВ, и ПРИТО\1 В противоположные стороны. По­

скольку цилиндр находится в равновесии, эти силы ДОJJЖ­

НЬ1 уравновешивать друг друга, т. е. должно быть Р.л.S=

=Р nS ; отсюда

РА=РВ'

т. е. давления в точ]<ах А и В равны между собой.

Это рассуждение можно повторить для любых двух точек

внутри жидкости. Если ]<акие-нибудь две точки нельзя

соединить' прямой, не задевая стенок сосуда, как, напри­

мер, точки А и D, то доказательство!!едется последователь-

286

но для'ря·да промежутачных" точек (например, точек В и С):

дoxa3ыавм;; что РА =Рв-. з~', чтQ' Р'В-:-Рt, затем, что

~ РС=Рй, Отсюда следует доказываемое равенстlЮ РА =Рй•

Итак, при действии лишъ поверхностных сил давление 80 всех точках· внутри жuдкостu одинаnооо; Этот закон был

,уст<nнш,лен французским фJl3иком и математиком: Блэзом Паскалем (1623-1662) и ноеит его имя.

Рассматривая цилиндры, одно из оснований которых

лежит на стенке сосуда (например, цилиндр LM), убедимся,

что давление на стенки равно давлению внутри жидкости.

-Это же давление будет и на поверхности поршня. Таким

образом, если давление поршня на поверхность жидкости равно р, то это же давление р будет существовать в каждой

точке внутри жидкости и на стенках сосуда. Поэтому иног­ да формулируют закон Паскаля следующим образом:

давление, создаваемое поверхностными силами, передается

без изменения в каждую точку жидкости.

Вэтой формулировке закон Паскаля остается верным

иДЛЯ общего случая, т. е. для случая, когда мы учитыва­

ем и силу тяжести. Если сила тяжести создает внутри

покоящеися жидкости определенное давление (вообще'

говоря, разли"ное в различных точках), то приложенные

поверхностные силы увеличивают давление в каждой точке

жидкости на одну и ту же величину.

§ 151. Гидравлический пресс. Закон Паскаля позволяет

объяснит&- действие распространенного в технике устрой­ ства - гuдРШJли'ЮСкого nресса. Гидравлический' пр,есс со­ стоит ЮJ двух цилиндров разных диаметров, снабженных

поршнями И соединенных трубкой (рис. 22б-)~ Пространство под поршнями И трубка заполняются жидкостью. Обозна­ ЧИМ площадь малого поршня через 81.. а большого-поршня - через 82' Пусть ~ малому поршню ПРИJIожена сила F1 ;

287

нандем, какую силу FНlеобходимо приложить ко второму

поршню, чтобы сохранить равновесие, т. е. для того, чтобы

жидкость не была вытеснена из' первого цилиндра во второй. или обратно через соединяющую их трубку.

Будем пренебрегать силой тяжести, действующей на

жидкость; тогда давление во всех точках жидкости должно

быть одним и тем же. Но давление под первым поршнем рав­

но F11Si • а под ВТОРЫМ - F 2/S 2 ; следовательнО, Fi/Sl= =F2 /S'z., откуда находим

F 2=F1S 2/Sf,

Т. е. сила Fi во столько раз больше силы Fi • ВО сколько раз площадь второго поршня больше площади первого. Таким

образом, при помощи гидравлического пресса можно ма­

лой силой уравновесить большую силу.

Предположим теперь, что первый поршень переместился (например, опустился) на расстояние hf (рис. 227); тогда

часть жидкости поступает из первого цилиндра во второй

и поднимет второй поршень на расстояние hi. Поскольку

сжимаемость жидкостей незначительна, объем жидкости, вытесненный из первого ЦШJИндра, можно считать равным

объему, поступившему во второй, т. е. h1S 1 =h 2Si, откуда

находим

h2 =h1S 1/S 2•

Сравнивая эту фоJ$мулу с формулой, полученной нами

для силы F2, видим, что путь, проходимый большим порш­

нем, во столько раз меньше пути, проходимого меньшим

поршнем, во сколько раз сила, действующая на большой

поршень, больше силы, действующей на меньший. Итак,

при пеnемещении поршней гидравлического пресса имеется

полная аналогия с соотношением между путями, проходи­

мыми концами рычага, и силами, !{ ним приложенными.

И здесь соблюдается «золотое правило» механики (§ 86),

т. е. «сколько выигрывается в силе, столько теряется в пу­

тю>. Требование, чтобы жидкость не изменяла свой объем,

соответствует условию, чтобы рычаг не сгибалея.

Гидравлический пресс является преобразователем силы,

подобно рассмотренным ранее простым машинам; его мож­ но назвать гидравлической простой машиной.

Для получения больших сил гидравлический пресс конструктивно удобнее рычаЖflОГО или винтового преs:са. Поэтому МОЩIlые прессы (на­

пример, для штамповки металла, для выжимаIlИЯ масла !!з семяи рас­

тений и пр.) делаются гидравлическими. В качестве жидкости употреб­

ляются вода или масло,

288

· Гидравлический пресс с горизонтально расположенным большим поршнем применяют ДЛЯ сдвигания с места (сqобщени·я начального толч­

ка) судна, спускаемого·со стапелей в воду.

§ 152. ЖИДКОСТЬ под действием силы тяжести. Рассмотрим

теперь равновесие жидкости с учетом действия силы ТЯ­

)}{ести. Повторяя рассуждения § 150, убедимся, что давле­

ние во всех точках горизонтальной плоскости одно и то же,

но возрастает при переходе от одной горизонтальной плос­ кости к другой, лежащей ниже.

Дейстпительно, если точки А и В (рис. 228) лежат в одной горизонтальной плоскости, то ось АВ мысленно вы­

деленного тонкого цилиндра горизонтальна. Условие рав­ новесия цилиндра вдоль оси будет, !{ак и прежде, PAS=PBS,.

посколы{у проекция силы тяжести на горизонтальное на­

правление равна нулю, так что вдоль горизонтальной оси действуют ТОЛЬКО силы .давления на осноrзания цилиндра. Итак, РА=РВ, т. е. для всех точек одной и той же горизон­ тальной ПЛОСКОСТИ давления равны между собой; горизон­

тальные плоскости - это поверхности равного давления.

Их иногда называю)' поверхностями уровня. Свободная по­

верхность ЖИДКОСТИ есть одна из поверхностей уровня. Дав­

ление во всех ее точках одинаково. В открытом сосуде оно

равно атмосферному давлению.

Сказанное выше легко проверяется при помощи маномет­

ра: передвигая внутри жидкости манометр так, чтобы мем­ брана его все время оставалась в одной горизонтальной плос­

кости,. т. е. на одной и той же поверхности уровня, мы уви­

дю,I, что его показание не изменяется. При из~!енении же

глубины погружения манометра (при переходе на другие поверхности. уровня) обнаруживается изменение давления:

при погружении' на большую' глубину давление' увеличи­

вается. Например, в море давление растет от поверхности ко дну. Эго объясняется тем, что на большей глубине' вода оказывается ,сжатой силой давления на нее более толстого

слоя вышележащей жидкоети.

Для расчета изменения давления с, глубиной найдем

разность давлений в точках А и В, лежащих на одной вер­ тикали (рис. 229-). Выделив мысленно тонкий вертикальный

цилиндр с сечением S, рассмотрим условия равновесия его вдоль вертикали. Силы давления, действующие на боковую

поверхность, дают вдоль вертикали проекцию, равную

нулю. Вдоль вертикали действуют три силы: сила давления

на верхнее основание, равная pAS и направленная вниз, сил~ давления на нижнее основание, равная РBS и направ­

ленная вверх, и сила тяжести, действующая на жидкость

в объеме цилиндра, направленная вниз. Если расстояние между точками А и В равно Il, то объем цилиндра равен Sh и его вес равен pgSh, где р - плотность жидкости,g - ускорение свободного падения. Условие равновесия ци­ линдра выразится равенством pAS+pgSh=PBS, откуда на-

ходим .

РВ-РА =pgh.

Ве.ТIИчина pgh равна' весу столба жидкости ВЫСОТЫ h

с поперечным сечением, равным единице. Таким, образом,

найденная формула говорит, что разность давлений в двух точках жидкости равна весу столба жидкости с площадью

поперечного сечения, равной единице, и с высотой, равной

разности глубин nогружения точек.

Если давление на свободной поверхности жидкости рав­

но нулю, то, рассматривая вертикальный цилиндр DC, верх­

нее основание которого лежит на поверхности, найдем тем же способом, что и выше, что давление Р в точке, лежащей на глубине под поверхностью жидкости, определяется фор­

мулой

p=pgh. (152.1)

Если давление на свободной поверхности не равно нулю, то величина pgh даст разность давлений на глубине h и на

свободной поверхности.

. Давление, вызванное силой тяжести, действующей на жидкость, называют гидростатическим давлением. Таким обр'Э.зом, гидростатическое давление равноnроизведенuю плотности жидкости на ускорение свободного,nаден,ия tl на

'. глубину nогружения.

290