Курсовая_интегралы_1
.pdfВАРИАНТ 11
I. Вычислить определенные интегралы:
1. |
∫e |
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
1 −ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. ∫3 |
x arcsin |
x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
a,b >0 |
|
|
|
|
|
|||||||
a2 sin2 x +b2 cos2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
2/5 |
|
dx |
||||
1. |
e∫2 |
|
|
|
; 2. ∫0 |
|
|
; |
3. |
1/5∫ |
|
|
. |
|||||||||
|
x ln3 x |
|
(3 − x) |
1 − x |
x |
25x2 −1 |
||||||||||||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
3x2 |
+ 7x −1 |
|
|
2 ln sin x |
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
5. ∫ |
|
dx . |
|
|
|||||||
15 |
|
|
|
10 |
−8 |
x |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
15x |
− x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
|
2 |
+ y |
2 |
+6x −2 y +8 |
= 0, |
x |
|
|
|||
y = x2 +6x +10, |
(x ≥ −3) , |
||||
x = −3. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить длину дуги кривой:
y = |
x |
(x −1)2 |
, 0 ≤ x ≤1. |
|
3 |
||||
|
|
|
11
ВАРИАНТ 12
I.Вычислить определенные интегралы:
−π
1.∫4 cos3 sin3 xdxx ;
−2π
2. |
∫3 xarctg |
x |
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. ∫a x2 a2 − x2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
8 |
x3dx |
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
||||||
1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2. ∫ |
|
|
; |
3. ∫ |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
2 |
+ x |
4 |
64 − x |
2 |
x |
2 |
+ 4x +13 |
|||||||||||
|
1 x 1 + x |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
x2 |
+ x +3 |
|
|
|
∞ arctgx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
5. ∫ |
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|||||
5 |
x |
20 |
|
10 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
+ x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
III.1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
x2 − 4 y2 =1,
1.y =0,x = 4 y.
2.Вычислить длину дуги кривой:
y = 13 (x2 + 2)3 , 2 ≤ x ≤ 7 .
12
ВАРИАНТ 13
I.Вычислить определенные интегралы:
1.∫e sin (lnx x)dx ;
1
π
2 |
dx |
|
|
2. ∫0 |
; |
||
1 + a2 sin2 x |
3. ∫1 x15 1 +3x8 dx
0
II. Вычислить несобственные интегралы:
∞ |
dx |
|
∞ |
dx |
|||
1. ∫1 |
|
3. ∫2 |
|||||
|
|
; |
|
. |
|||
x 3x2 − 2x −1 |
x2 + x −1 |
||||||
2. ∫1 |
xdx |
|
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
0 |
x + |
5x |
|
|
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов:
2 |
|
( |
|
) |
|
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
cos 1 / x2 |
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||
4. ∫ |
|
|
|
|
; 5. ∫ |
|
|
|
|
. |
||
x |
3 |
|
|
x |
4 |
−1 |
||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
III. 1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = x, |
x [0;π]. |
|
|
y = x +sin2 |
x. |
2. Вычислить длину дуги кривой:
y = |
2 |
x3 − |
1 |
x, 1 ≤ x ≤ 4 . |
|
3 |
|
2 |
|
13
ВАРИАНТ 14
I. Вычислить определенные интегралы: |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
∫0 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x8 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
∫0 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
6 −5sin x + sin2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. ∫e (1 −ln x)2 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1. |
∞∫ |
|
|
|
dx |
; |
2. ∫6 |
dx |
|
; |
3. e∫ |
dx |
. |
|||
|
|
2 |
− 6x +12 |
|
2 |
|
||||||||||
|
−∞ x |
|
|
|
2 3 (4 − x) |
|
|
1 |
x ln x |
Определить сходимость несобственных интегралов:
|
|
|
π |
|
∞ xdx |
|
4 |
sin xdx |
|
4. ∫0 |
|
; |
5. ∫0 |
x x . |
ex −1 |
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
x(y − ex )=sin x,
2xy = 2sin x + x3 ,
x = 0,x =1.
2. Вычислить длину дуги кривой:
y = |
5 5 |
x6 |
− |
|
5 |
5 |
x4 , 1 ≤ x ≤32 . |
6 |
16 |
|
|||||
|
|
|
|
|
14
ВАРИАНТ 15
I. Вычислить определенные интегралы:
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
π∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x sin4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ∫3 xarctgxdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
1/4∫ arcsin |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1/8 |
|
|
x(1 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
||||||||||||||
|
4 |
|
x2 dx |
|
|
∞ |
dx |
∞ |
|
dx |
||||
1. −∫4 |
|
|
; 2. ∫1 |
|
|
; |
3. −∞∫ |
|
|
|||||
16 − x2 |
x2 (1 + x) |
x2 +5x +11 |
|
|||||||||||
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||
|
1 |
|
xn dx |
|
|
|
∞ x3 + x2 +1 |
|
|
|||||
4. ∫0 |
|
|
, n N ; 5. ∫1 |
|
|
dx . |
||||||||
|
1 − x4 |
x4 + 2x2 −1 |
|
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = x2 +4x +5,x = 0,
y = const (прямая проходит через точку минимума функции
y = x2 +4x +5).
2.Вычислить длину дуги кривой: y = 14 x4 + 18 x−2 , 1 ≤ x ≤ 2 .
15
ВАРИАНТ 16
I. Вычислить определенные интегралы:
1. |
∫4 |
xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
π∫ex cos2 xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫0 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
a2 cos2 x + b2 sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|||||||||||||
|
5 |
5 + x |
∞ 1 + 2x |
) |
dx |
|
|
∞ |
dx |
||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|||||
1. ∫0 |
5 − x dx 2. |
∫1 x(1 + x)2 |
; |
3. |
−∞∫ |
|
|||||||
x2 +8x + 25 |
Определить сходимость несобственных интегралов:
4. |
∞∫xsin xdx ; |
|
5. |
∞∫ |
sin (1 / x) |
dx . |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 + x x |
|||||
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
− |
2x |
3 |
+ x |
2 |
+ 3 |
|
|||||
|
y = x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
и прямой, проходящей через точку минимума функции |
||||||||||||||
|
y = x |
4 |
− 2x |
3 |
|
+ x |
2 |
+ 3. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. |
Вычислить длину дуги кривой: |
|||||||||||||
|
|
y = ∫x |
|
|
t +1dt, 1 ≤ x ≤ 4 . |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
ВАРИАНТ 17
I. Вычислить определенные интегралы:
1.∫ ex dx ;
1ex −1
2.∫e (x ln x)2 dx ;2
1
π
2dx
3.∫0 5 + 2cos x
II. Вычислить несобственные интегралы:
1. |
∞∫ |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
; 2. |
∫1 |
|
dx |
|
; |
3. |
∞∫e−2 x cos xdx . |
||||||
( |
4x |
2 |
|
|
) |
3 |
|
x(1 − x) |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
ln 1 + |
3 |
x |
2 |
) |
|
|
|
∞ |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x +1 |
|
||||||||||
4. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; 5. ∫ |
dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
e |
x |
−1 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
+3x +1 |
||||||||||
III. |
|
1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|||||||||||||||||||||
|
|
y |
= x2 |
− 2x + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2x + 2 в точке (3;5). |
|||
|
|
и касательной к кривой y = x |
|
2. Вычислить длину дуги кривой: |
x = cos 2t, |
0 ≤t ≤ |
π |
. |
|
|
|
||||
24 |
|||||
|
y =sin 2t. |
|
|
17
ВАРИАНТ 18
I. Вычислить определенные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. ln∫3 ex |
e |
xex +1 dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
2∫π |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 −3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. ∫1 |
x3e2 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1. |
∞∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
2. |
2/3∫ |
|
|
dx |
|
|
; 3. |
∞∫ |
xdx |
|
|
. |
||||||
|
|
2 |
− 4x + 24 |
|
|
2 |
|
|
(x2 + |
5) |
3 |
||||||||||||||||
|
−∞ x |
|
|
|
|
1/3 x |
9x |
−1 |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
|||||||||||||||||||||||||
4. |
∞∫ |
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
5. |
∞∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
+ x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
x + x |
|
|
|
|
0 (1 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
y = −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
и касательными, проведенными к кривой в точках (0,0) и (3;−3). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2. Вычислить длину дуги кривой: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
(cost +sin t ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤t |
≤π . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cost −sin t ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y =et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
ВАРИАНТ 19
I. Вычислить определенные интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. ∫6 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. ∫2 |
|
|
dx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 5 + cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. ∫1 arcsin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
1 + 2x |
) |
dx |
|
|
|
2 |
x −1 |
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
1. ∫ |
( |
|
|
|
|
|
|
; |
|
2. ∫x |
dx; 3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
2 |
(1 + x) |
|
|
|
|
2 |
+ 3x − 2x |
2 |
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
2 − x |
3/4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
∞ (3 + sin x)dx |
|
|
|
|||||||||
4. ∫ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 ; |
5. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
x +1 |
3 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
y = x21 x ,x = 4,
y =0.
2. Вычислить длину дуги кривой:
x = 2 |
(cost +t sin t ), |
|
|
|
0 ≤t ≤π . |
y = 2 |
(sin t −t cost ). |
|
|
|
|
19
ВАРИАНТ 20
I. Вычислить определенные интегралы:
π
1. ∫3 π3 2sin2 xdx3cos2 x ;
π +
4
3(7x +1)dx
2.∫2 6x2 + x −1 ;
3.∫1 x arcsin xdx ;
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
x |
3 |
dx |
|
∞ |
|
dx |
|
|
1 |
( |
3x2 |
+ 2 |
dx |
||||
1. ∫ |
|
|
; 2. ∫ |
|
|
|
|
; 3. ∫ |
|
|
2 ) |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
+ 6x +17 |
|
3 |
x |
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
4 − x |
|
−∞ x |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Определить сходимость несобственных интегралов: |
||||||||||||||||||
4. |
∞∫ |
sin (1 / x) |
dx ; |
5. ∫1 |
|
xdx |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
1 − x |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
4 + x |
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
III. 1. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:
|
a |
3 |
(a >0) |
|
y = |
|
|||
a2 + x2 |
||||
|
|
и асимптотой
2. Вычислить длину дуги кривой:
|
t |
sin t, |
|
|
π |
|
x = e |
|
0 |
≤t ≤ |
. |
||
|
t |
|
2 |
|||
y =e |
cost. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
20