Построение бифуркационной диаграммы Ферхюльста в системе Matlab

clc

N = 1500; %Количество точек (Точность)

x = zeros(N, 1); %Массив из N нулей, в будущем - наши F(n) - итерации

x(1) = 0.5; %Начальная точка

hold on

for r = 3.5 : 0.001 : 4 %Цикл от начала до конца диаграммы

for c = 2 : N

x(c) = r * x(c-1) * ( 1-x(c-1) ); %Итерация каждой функции

end

x(1 : N-120) = [];

t(:, 1) = r;

plot( t, x,'k.','MarkerSize', 3 ); %Поточечный вывод графика

end

hold off

xlabel('r'); ylabel('x'); %подпись осей

title('Bifurcation diagramm'); %подпись диаграммы

Задание

1. Построить график бифуркационной диаграммы для моделей Рикера и Ферхюльста, в зависимости от варианта.

   1. Модель Рикера (Чётные номера вариантов)

2. Модель Ферхюльста (Для нечётных вариантов)

c – положительный параметр, указывающий скорость увеличения популяции;

x – численность популяции.

2. Написать программу для построения графиков, отражающих поведение численности популяции (рис. 1) для r = 4, r = 3.55 а так же еще двух разных параметров, в зависимости от варианта. x₀ брать равным 0.5 при всех r 4. Дляr = 4 x₀ положим равным 0.707.

№	c	r	№	c	r
1	1,0	[ 0.05, 1.1 ]	11	2,8	[ 0.55, 2.1 ]
2	1,2	[ 0.1, 1.2 ]	12	2,9	[ 0.6,2.2 ]
3	1,4	[ 0.15, 1.3 ]	13	3,0	[ 0.65, 2.3 ]
4	1,6	[ 0.2, 1.4 ]	14	3,1	[ 0.7, 2.4 ]
5	1,8	[ 0.25, 1.5 ]	15	3,2	[ 0.75, 2.5 ]
6	2,0	[ 0.3, 1.6 ]	16	3,3	[ 0.8, 2.6 ]
7	2,2	[ 0.35, 1.7 ]	17	3,4	[ 0.85, 2.7 ]
8	2,4	[ 0.4, 1.8 ]	18	3,5	[ 0.9, 2.8 ]
9	2,6	[ 0.45, 1.9 ]	19	3,6	[ 0.95, 2.9 ]
10	2,7	[ 0.5, 2.0 ]	20	3,7	[ 0.99, 2.95 ]

Для модели Риккера выбранную константу умножить на 6,2 (c’ = 6,2 * c).

Контрольные вопросы

1. Почему последовательные бифуркации в системе влекут за собой хаотичное поведение?

2. Какие существуют константы Фейгенбаума и чем они характирезуются (Их смысл)

3. Почему точка периода 3 влечёт хаос?

Лабораторная работа № 4. Фрактальное броуновское движение

Цель работы

Ознакомление с броуновским движением, в частности с математической моделью броуновского движения – винеровским процессом. Построение фрактального броуновского движения.

Методические указания

Броуновское движение

Броуновское движение происходит из-за того, что все жидкости и газы состоят из атомов или молекул — мельчайших частиц, которые находятся в постоянном хаотическомтепловом движении, и потому непрерывно толкают броуновскую частицу с разных сторон.

Когда в среду погружено крупное тело, то толчки, происходящие в огромном количестве, усредняются и формируют постоянное давление. Если крупное тело окружено средой со всех сторон, то давление практически уравновешивается, остаётся только подъёмнаясила Архимеда— такое тело плавно всплывает или тонет.

Если же тело мелкое, как броуновская частица, то становятся заметны флуктуациидавления, которые создают заметную случайно изменяющуюсясилу, приводящую к колебаниям частицы. Броуновские частицы обычно не тонут и не всплывают, а находятся в среде во взвешенном состоянии.

Приведем пример построения двумерного броуновского движения в среде MatLab. В MatLab элементы распределения получаются с помощью командыrandn.

N=10000; % количество шагов

T=70; % максимальное время

h=T/N; % интервал времени

t=(0:h:T); % вектор [0 1h 2h 3h ... Nh]

sigma = 1.0; % сила шума

x=zeros(size(t)); % выделение массива для x

y=zeros(size(t)); % выделение массива для y

x(1)=0.0; % начальное положение x

y(1)=0.0; % начальное положение y

for i=1:N

x(i+1)=x(i)+sigma*sqrt(h)*randn;

y(i+1)=y(i)+sigma*sqrt(h)*randn;

end;

plot(x,y);

grid on % добавление сетки для осей

После запуска программы получим график вида:

Рис. 4 Броуновское движение частицы