Множество Жюлиа

Определение. Множество Жюлиа функции f, обозначаемое J(f), определяет­ся как

Таким образом, множество Жюлиа функции f есть граница множе­ства точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании f(z). Простейшее множество Жюлиа соответствует случаю f(z) = z². Так как тотогда и только тогда, когда. Границей этого множества, то есть множеством Жюлиа, является единичная окружность .

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции z² + с. Каждая точка в множестве Мандельброта представляет зна­чение с, для которого множество Жюлиа J(f_c) связно (для любых двух точек множества можно построить кривую, все точки, которой принадлежат рассматриваемому множеству). Каждая точка из дополнения к множеству Мандельброта представляет значение с, для которого J(f_c) вполне несвязно.

Определение. Множество Мандельброта это:

Можно дать другое определение множества Мандельброта.

Определение. М для полинома опре­деляется как множество всех, для которых орбита точки0 ограничена, то есть:

Теорема о множествах Мандельброта и Жюлиа

Определение мно­жества Мандельброта М, приведенное выше, является рабочим, то есть оно может быть прямо использовано для написания программы, определяющей принадлежность точки множеству Мандельброта. За­дача проверки орбит на ограниченность упрощается при использо­вании следующей теоремы.

Теорема 1. Если и, то орбитаz устремляется к . В частности, из этого следует, что точкас не принадлежит .

Доказательство.

Положим , где.Тогда

В частности, и при итерировании получаем:

…

Вследствие этого, при.

Программа построения 3Dмодели множества Мандельброта вMatlab

xpmin=-2; ypmin=-1; % начальные координаты

xpmax=1; ypmax=1; % конечные координаты

p=600; % кол-во точек по осям(изображение 600х600 точек)

it=100; % кол-во итераций

Z=0;

X=[xpmin:(xpmax-xpmin)/(p-1):xpmax]; % массив координат по Х

Y=[ypmin:(ypmax-ypmin)/(p-1):ypmax]; % массив координат по Y

for m=1:p

c=1i*(ypmin+(ypmax-ypmin)*m/p); % мнимая часть числа

for n=1:p

c=xpmin+(xpmax-xpmin)*n/p + 1i*imag(c); % все число

z=c;

for k=0:it %цикл с проверкой принадлежности множеству Мандельброта

z=z^2+c; % итерация

if abs(z)>=2 break % проверка условия ухода в

end

end

Z(m,n)=k; % кол-во успешных итераций для точки

end

end

figure(1);

mesh(X,Y,Z) % рисуем наше множество

%figure(2);

%contour(X,Y,Z); % рисуем контур нашего множества

Задание

1. Пользуясь приведенной программой построить множество Мандельброта.

2. На её основе создать программу построения множества Жюлиа.

3. Выбрать индивидуальный вариант задания из таблицы 1 и построить на экране множество Жюлиа.

4. Ответить на контрольные вопросы.

№	Действительная часть С	Мнимая часть С
1	0.31	0.04
2	-0.11	0.6557
3	-0.12	0.74
4	0	1
5	-0.194	0.6557
6	-0.74543	0.11301
7	-1.25	0
8	-0.481762	-0.531657
9	-0.39054	-0.58679
10	-0.15652	-1.03225
11	0.110301	-0.67037
12	0.27334	0.00742
13	-0.3	0.6
14	0.4	0.5
15	0.1721	0.031
16	-0.685	0.012
17	0.029734	1.0193
18	-0.52	0.6561
19	0.3	0.46
20	0.003	0.68