Задание

1. Ознакомиться с программой для построения РСИФ.

2. Выполнить задание соответствующее своему варианту.

3. Переделать имеющийся рандомизированный алгоритм под детерминированный.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Что такое СИФ?

2. Чем отличаются РСИФ от ДСИФ?

3. Напишите аффинные преобразования для треугольника Серпинского.

4. Даны следующие аффинные преобразования: a1 = -0.25; b1 = 0.75; c1 = 0.25; d1 = 0.25; e1 = -3.452670; f1 = 5.797905;

a2 = -0.25; b2 = 0.75; c2 = 0.25; d2 = 0.25; e2 = -6.957598; f2= 2.292977;

a3 = -0.25; b3 = 0.75; c3 = 0.25; d3 = 0.25; e3 = 0.052258; f3 = 2.292977; Изобразите получившийся аттрактор.

Лабораторная работа №3. Бифуркационные диаграммы.

Цель работы

Изучить причины появления хаоса внутри динамических систем. Построить графики логистического отображения и модели Рикера.

Методические указания

Динамическая система

Простейшая дискретная динамическая система состоит из начальной точки x₀ и итерируемой функции f(x) выглядит следующим образом:

x₀ = начальная точка

x₁ = f(x₀)

x₂ = f(x₁)

x_n

Определение. Последовательность - называетсяорбитой начальной точки x₀

Будем рассматривать нелинейные (неаффинные) функции, которые нельзя представить в виде f(x) = ax + b, т.к. в аффинном случае хаотического поведения не наблюдается.

Определение. Неподвижная точка отображения f определяется, как такое x, удовлетворяющее условию f(x) = x. Неподвижная точка притягивающая, если орбиты всех точек из некоторой её окрестности сходятся к ней. Неподвижная точка отталкивающая, если орбиты всех достаточно близких к ней точек удаляются от неё.

Способ определения типа неподвижной точки заключается в рассмотрении |f '(x)|, если она существует. Пусть х – неподвижная точка и |f ' (x)| < 1, то точка притягивающая, а при |f '(x)|>1, х – отталкивающая.

Орбита периодическая с периодом p, если x_n+p = x_n для n = 0, 1, 2,… под p подразумевается наименьший период. Если уравнение x_n+p = x_n становится справедливым только после некоторого конечного числа шагов, например n ≥ n₀, то орбита в конечном итоге периодическая. (Пример функции и разных орбит можно посмотреть в [1])

Поведение численности популяций

Остановимся на отображении вида x_i+1 = rx_i(1 - x_i). Наглядный пример состоит в следующем. Представим себе остров, населённый насекомыми; летом они выводятся и кладут яйца, а потомство появляется лишь в следующем году. Тогда r будет отвечать за рост численности популяции, а x_i будет отношением численности истинной летней популяции в i-ом году к предыдущему. Задача состоит в изучении поведения решения этого уравнения, т.е. нахождении численности популяции для больших значений i.

Заметим, что при малом r < 1 популяция убывает, например, при r = ½ x₀ = ½ условия настолько неблагоприятные, что с каждым годом их численность уменьшается, так x₁ = 1/8 и каждое x_i будет заведомо убывать. В 1 < r < 3 будет так же простое поведение другого типа, которое можно описать асимптотическим приближением к постоянному значению, отличному от нуля. Найти его можно, подставив в нашу функцию предельное значение x^*, x^*=rx^*(1 - x^*). Это уравнение имеет два решения x^*=0 и x^*=, в свою очередь значениеx является неподвижной точкой. В итоге поведение функции в области r < 3 легко объясняется. При r = 4 на (рис. 1-г), когда x₀ = 0.707 мы наблюдаем, что численность популяции x_i принимает все значения в интервале между нулём и единицей, несмотря на то, что x_i+n вполне определено, для n зависимость выглядит хаотичной. Хаосом в данном случае мы будем называть существенную зависимость от начальных условий.

Рис. 1
а) 0 < r < 1, популяция исчезает.	б) 1 < r < 3, численность популяции достигает стационарного значения.
в) r = 3.3, двухстадийный цикл.	г) r = 4, полный хаос.

Хаос

Строгое определение хаоса дополняет вышесказанное наличием транзитивности и условием регулярности, называемым плотностью периодических точек. Допустим, мы имеем метрическое пространство (X, d). Будем называть отображение f: X X хаотическим, если выполняются следующие условия:

• f обладает существенной зависимостью от начальных условий. То есть ошибки накапливаются по экспоненциальной зависимости и с небольшим изменением начальных условий, мы получим существенное изменение в конце.

• f - транзитивно.

• Периодические точки плотны в X.

Определение. Пусть x X, а U – открытое множество, содержащее x. Отображение f обладает существенной зависимостью от начальных условий, если для некоторого δ > 0 существует такое целое n > 0 и такая точка y U, что d(f ⁽ⁿ⁾(x), f ⁽ⁿ⁾(y)) > δ.

Свойство плотности периодических точек означает, что в любой окрестности любой точки в Х существует, по крайней мере, одна периодическая точка (и, следовательно, бесконечно много периодических точек).

Рис. 2 Графическая иллюстрация зависимости от начальных условий