Федеральное агенство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования.

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра теории вероятностей и прикладной математики

Методические указания

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине

СЖАТИЕ СИГНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ

Москва 2014

План УМД на 2014/2015 уч.г.

Методические указания

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине

СЖАТИЕ СИГНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ

Составители Т. Э. Кренкель, доцент

Баранова В. А., аспирант

Лабораторная работа №1: Крысанов Д. В.

Лабораторная работа №2: Сёмин Е. А.

Лабораторная работа №3: Неронов М. М.

Лабораторная работа №4: Ботт А. В.

Приложение №1: Новикова М.

Приложение №2: Акимов Д. Е.

Приложение №3: Сёмин Е. А.

Издание утверждено советом ОТФ-1. Протокол № от . .2014

Рецензент А. Г. Кюркчан, д.ф-м.н. профессор

Оглавление

Введение

Данное пособие содержит практикум лабораторных работ по курсу «Сжатие сигналов с помощью теории фракталов».

Нормальное семейство функций

Определение. Семейство функций, голоморфных внутри области D, нормально в этой области, если из всякой бесконечной последователь­ности функций этого семейства можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри D к предельной функции, которая может быть тождественной бесконечностью.

Теорема Монтеля (принцип компактности)

Пусть ― бесконечное семейство голоморфных функций в областиD комплексной плоскости; тогда для того чтобы это семейство было компактным, то есть чтобы из любой последовательности можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутриD, необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено внутри D.

Лабораторная работа №1. Построение множеств Жюлиа и Мандельброта

Цель работы

Ознакомиться с краткой историко-теоритической справкой. Рассмотреть программу компьютерного построения множества Мандельброта. Построить с её помощью множество Жюлиа. Построить изображение данного множества для заданного варианта параметра (вариант соответствует номеру в журнале).

Методические указания

История конформной динамики

Рассматриваемые нами множества Мандельброта и Жюлиа относятся к разделу кон­формной динамики, т.е. к исследованию итераций аналитических функций в области комплексного переменного. Фазовым пространством здесь служит некоторая область D на плоскости комплексного переменного (причём очень интересными оказываются уже те случаи, когда D есть вся плоскость C или плоскость, расширенная до сферы Римана) и речь идёт об определённой в D динамической системе с дискретным временем , где f— аналитическая функция. Это направление не является новым — оно восходит к классическим работам французских математиков начала 20 века. Г.Жюлиа и П.Фату написали основополагающие статьи по итерированию функций комплексного переменного. В 1918 году за свою статью «Записка о приближении рациональных функций» Г.Жюлиа получил главную премию Французской академии наук. П.Фату со своей работой занял второе место. Но с течением времени систематическая работа в конформ­ной динамике прекратилась, и это направление впало в длительную «спячку» (необходимые для построения множеств вычисления невозможно было провести вручную), от которой около 1980 г. его пробудило развитие вычислительной техники. Ведущую роль в возрождении сыграл профессор Б. Мандельброт. Из воспоминаний Мандельброта:

«Затем мы довольно беззаботно стали забавляться, строя один за другим примеры фигур, известных как «множества Жюлиа». Они возникли в рам­ках так называемой «теории итераций рациональных отображений ком­плексной плоскости». Тогда, в 1979 году, эта теория пребывала в спячке, пройдя пик своего расцвета где-то в 1918 году, когда появились знаменитые работы Ж. Жюлиа и П. Фату. Что же заставило нас вернуться к этим рабо­там? В 20 лет я прочел или просмотрел их по совету моего дяди — извест­ного «чистого» математика, специалиста по комплексному анализу, и это здорово повлияло на мою дальнейшую жизнь. Еще тогда, в 1945 г., мне удалось благодаря этим работам отойти от шаблона, которому обычно следуют при изучении математики. А благодаря тому, что Жюлиа был одним из моих учителей в Политехнической школе, мой образ мыслей не изменился. Через 35 лет мне довелось сыграть ведущую роль в возрожде­нии теории итераций, и это, хотя и очень поздно, приблизило меня к основ­ному руслу современной математики, причем настолько, что я и сам этого не ожидал»