7.2. Определенный интеграл.
Вычислить определенный интеграл
7.2.1.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.2.
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.3.
1)
;
#2)
;
3) 0;
4)
;
5)
7.2.4.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.5.
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.6.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.7.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5) 2
7.2.8.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.9.
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.10.
1)
;
#2)
;
3)
;
4) 0;
5)
7.2.11.
1)
;
#2) 1;
3)
;
4)
;
5)
7.2.12.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.13.
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.2.14.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.2.15.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.2.16.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.2.17.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.18.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.19.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.20.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
.
7.2.21.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.22.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.2.23.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.24.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.2.25.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.26.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
.
7.2.27.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.28.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
#5)
7.2.29.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
#5)
.
7.2.30.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.31.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
#5)
7.2.32.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.33.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.34.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.35.
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.36.
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.37.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.38.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.39.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.40.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
#5)
7.2.41.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.42.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
.
7.2.43.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.44.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.45.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.46.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.47.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.48.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.49.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.50.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
#5)
7.2.51.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.52.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.53.
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.54.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.2.55.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.56.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.57.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.2.58.
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
7.2.59.
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
.
7.2.60.
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
7.3 Дифференциальное исчисление
7.3.1.
Если предел
не существует, то это означает, что:
Варианты ответа:
#1) не имеет производной в точке x0;
2) неограничена в точке x0;
3) имеет разрыв в точке x0;
4) не имеет обратной функции в точке x0;
5) имеет обратную функцию в точке x0.
7.3.2.
выражает
Варианты ответа:
1) среднюю скорость изменения функции f на отрезке [x0; x0 + Dx];
2) ординату пересечения кривой y = f(x) с осью 0y;
#3) мгновенную (или предельную) скорость изменения функции f(x) в точке x0;
4) угловой коэффициент касательной к кривой y = f(x) в точке с абсциссой x0;
5) абсциссу пересечения y = f(x) с осью 0х.
7.3.3. Если f(x) всюду дифференцируемая нечетная функция, тогда
Варианты ответа:
1) функция f (x) является нечетной;
#2) функция f (x) является четной;
3) f (x) = f (x);
4) функция f (x) является периодической;
5) имеет обратную функцию в точке x0 .
7.3.4. Если f(x) всюду дифференцируемая периодическая функция, тогда
Варианты ответа:
1) функция f (x) является нечетной;
2) f (x) = f (x);
3) функция f (x) является четной;
#4) функция f (x) является периодической;
5) имеет обратную функцию в точке x0 .
7.3.5. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 , то угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 равен
Варианты ответа:
1) f(x0);
2) f (x0)x;
3)
;
4)
;
#5)
.
7.3.6. Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0 имеет вид:
Варианты ответа:
1) y = f (0)(x x0) + f(0);
#2) y = f (x0)(x x0) + f(x0);
3) y f(x0) = f (x0)(x y0);
4) y + f(x0) = f (x0);
5) y = x f (x0) + f(x0) .
7.3.7. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0, то
Варианты ответа:
#1) частное этих функций также дифференцируемо в точке x0 (при условии
v(x0) 0),
причем в этой точке справедливо равенство
;
2) частное этих функций также дифференцируемо в точке x0 (при условии
v(x0) 0),
причем в этой точке справедливо равенство
;
3) частное этих функций также дифференцируемо в точке x0 (при условии
v(x0) 0),
причем в этой точке справедливо равенство
;
4) частное этих функций также дифференцируемо в точке x0 (при условии
v(x0) 0),
причем в этой точке справедливо равенство
;
5) частное этих функций может быть не дифференцируемым в точке x0.
7.3.8. Если функция x = (t) дифференцируема в точке t0, а функция f(x) дифференцируема в точке x0 = (t0), то
Варианты ответа:
1)
сложная функция y(t) = f((t))
дифференцируема в точке t0,
при этом
;
2)
сложная функция y(t) = f((t))
дифференцируема в точке t0,
при этом
;
3) сложная функция y(t) = f((t)) может быть не дифференцируемой в точке t0.
#4)
сложная функция y(t) = f((t))
дифференцируема в точке t0,
при этом
;
5)
сложная функция y(t) = f((t))
дифференцируема в точке t0,
при этом
.
7.3.9. Пусть функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке X и имеет отличную от нуля производную в точке x0 из этого промежутка. Тогда обратная ей функция x = f 1(y)
Варианты ответа:
1)
имеет производную в точке y0 = f(x0),
причем эта производная равна
;
2) может не иметь производной в точке y0 = f(x0).
3)
имеет производную в точке y0 = f(x0),
причем эта производная равна
;
4)
имеет производную в точке y0 = f(x0),
причем эта производная равна
;
#5)
имеет производную в точке y0 = f(x0),
причем эта производная равна
.
7.3.10.
Если функции u(x),
r(x)
и v(x)
дифференцируемы в точке x0,
то и функция
дифференцируема в точкеx0
(при условии r(x0) 0),
причем в этой точке справедливо равенство
Варианты ответа:
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.3.11.
Если функции u(x),
r(x)
и v(x)
дифференцируемы в точке x0,
то и функция
дифференцируема в точкеx0,
причем в этой точке справедливо равенство
Варианты ответа:
#1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.3.12.
Если функции u(x),
r(x)
и v(x)
дифференцируемы в точке x0,
то и функция
дифференцируема в точкеx0
(при условии r(x0) 0),
причем в этой точке справедливо равенство
Варианты ответа:
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
.
7.3.13.
Дифференциал
отношения
двух функций равен
Варианты ответа:
1)
;
#2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
7.3.14. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке a; b и дифференцируема на интервале (a; b), причем f(a) = f(b). Этих условий достаточно, чтобы утверждать, что на интервале (a; b)
Варианты ответа:
1) существует ровно две стационарные точки функции f(x);
2) существует ровно одна стационарная точка функции f(x);
3) не существует стационарной точки функции f(x);
#4) существует хотя бы одна стационарная точка функции f(x);
5) существует не более одной стационарной точки функции f(x).
7.3.15. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке a; b и дифференцируемы на интервале (a; b), причем g(x) 0 в каждой точке x этого интервала. Тогда существует точка c (a; b) такая, что
Варианты ответа:
1)
;
2)
;
#3)
;
4)
;
5)
7.3.16. Известно, что функция f(x) непрерывна на отрезке a; b и дифференцируема на интервале (a; b). Этих условий достаточно, чтобы утверждать
Варианты ответа:
1) в этом интервале не существует стационарная точка функции f(x);
#2)
в этом интервале существует такая точка
c,
что
;
3) внутри отрезка a; b найдется точка, в которой касательная, проведенная к графику функции y = f(x), будет перпендикулярна прямой, проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b));
4) внутри этого отрезка всегда найдется точка, в которой касательная, проведенная к графику функции y = f(x), будет параллельна оси Ox;
5) внутри этого отрезка всегда найдется точка, в которой касательная, проведенная к графику функции y = f(x), будет параллельна оси Oy.
7.3.17. Функция f(x) возрастающая функция на промежутке X, если f(x) непрерывна на промежутке X и
Варианты ответа:
1) имеет нулевую производную во всех внутренних точках этого промежутка;
2) имеет неположительную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;
#3) имеет неотрицательную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;
4) имеет отрицательную производную во всех внутренних точках этого промежутка;
5)
не существует производной функции
во всех внутренних точках этого
промежутка.
7.3.18. Функция f(x) убывающая функция на промежутке X, если f(x) непрерывна на промежутке X и
Варианты ответа:
#1) имеет неположительную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;
2) имеет нулевую производную во всех внутренних точках этого промежутка;
3) имеет неотрицательную производную во всех внутренних точках этого промежутка, причем внутри промежутка X нет такого интервала, в каждой точке которого производная равнялась бы нулю;
4) имеет положительную производную во всех внутренних точках этого промежутка;
5)
не существует производной функции
во всех внутренних точках этого
промежутка.
7.3.19. Многочлен Тейлора Tn(x) n-го порядка для функции f(x) в точке x0 имеет вид
Варианты ответа:
1)
;
2)
;
3)
#4)
;
5)
.
7.3.20. Формула Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x0 с остатком n-го порядка в форме Пеано имеет вид
Варианты ответа:
1)
,
гдес (x0; x);
2) f(x) = Tn(x) + Rn(x), Rn(x) = o((x x0)n + 1) при x x0 ;
#3) f(x) = Tn(x) + Rn(x), Rn(x) = o((x x0)n) при x x0;
4)
,
гдес (x0; x).
5)
,
гдес (x0; x).
7.3.21. Формула Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x0 с остатком n-го порядка в форме Лагранжа имеет вид
Варианты ответа:
1) f(x) = Tn(x) + Rn(x), Rn(x) = o((x x0)n) при x x0 ;
2)
,
гдес (x0; x).
3) f(x) = Tn(x) + Rn(x), Rn(x) = o((x x0)n + 1) при x x0;
4) f(x) = Tn(x) + Rn(x), Rn(x) = o((x x0)n + 1) при x x0 ;
#5)
,
гдес (x0; x).
7.3.22. Какое из ниже перечисленных предложений определяет производную функции (когда приращение аргумента стремится к нулю)?
Варианты ответа:
1) Отношение приращения функции к приращению аргумента;
#2) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента.
3) Отношение предела функции к аргументу;
4) Отношение функции к пределу аргумента;
5) Предел отношения функции к приращению аргумента;
7.3.23. Первая производная функции показывает
Варианты ответа:
1) направление функции;
2) приращение функции;
3) приращение аргумента функции;
#4) скорость изменения функции;
5) направление аргумента функции.
7.3.24. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке, равен
Варианты ответа:
1) отношению значения функции к значению аргумента в этой точке;
#2) значению производной функции в этой точке;
3) значению дифференциала функции в этой точке;
4) значению функции в этой точке;
5) значению тангенса производной функции в этой точке.
7.3.25.
На рисунке
изображен график функции
.
Тогда производная
это ...
Варианты ответа:
#1) NK/МК;
2) NК;
3) TK/МК;
4) MK/ТК;
5) MN/МК.
7.3.26.
На рисунке
изображен графикфункции
.
Какой отрезок на этом рисунке соответствует
дифференциалу dy?
Варианты ответа:
1) TK;
2) NT;
#3) NK;
4) MK;
5) MN;
7.3.27. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие убывания:
Варианты ответа:
1)
;
2)
;
3)
;
#4)
;
5)
;
7.3.28. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите достаточное условие выпуклости (выпуклости вверх):
Варианты ответа:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
#5)
.
7.3.29. Для дифференцируемой функции f(x) из приведенных условий выберите необходимое условие точки перегиба:
Варианты ответа:
1)
;
2)
;
#3)
.
4)
;
5)
;
7.3.30. Какому условию удовлетворяет функция, график которой изображен на
рисунке
?
Варианты ответа:
#1)
и
;
2)
и
;
3)
и
;
4)
и
;
5)
и
.