АППРОК~1
.DOCСпецглавы информатики
Методические указания к курсовой работе
Тема 1
Аппроксимация зашумленных сигналов полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов
(одномерная полиномиальная регрессия)
Исходные данные.
Задана таблица
отсчетов зашумленного дискретизированного
сигнала (дискретная функция
).
|
k |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n – количество отсчетов сигнала (значений X i и Yi ).
Цель работы: Создать приложение для аппроксимации зашумленных сигналов полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов (реализации одномерная полиномиальная регрессия). При этом аппроксимирующая функция определяется в виде полиномиальной функции
,
(1),
где m – степень полинома FQ(X),
- коэффициенты
искомого полинома,
которая будет
наиболее близкой к исходной функции
заданной табличными значениями, т.е.
необходимо определить вектор коэффициентов
полинома
,
при котором полиномиальная функция
FQ(X)
будет наиболее близкой к заданным в
таблице точкам.
В качестве критерия близости используем квадратичный функционал
,
(2)
где
- искомый вектор коэффициентов полинома.
Методика решения задачи.
Для реализации метода наименьших квадратов в качестве критерия близости используем квадратичный функционал (2).
Квадратичный
функционал (2) имеет один экстремум
(минимум). Минимум рассматриваемого
квадратичного функционала находится
из условия равенства нуль всех частных
производных функционала
,
т.е.
при
.
(3)
Частные производные определяются как:
.
.
(4)
Приравняв нулю частные производные
,
,
(5)
получаем систему линейных уравнений в виде
,
(6)
где
матрица коэффициентов уравнения (матрица
Грамма),
- вектор правых
частей системы уравнений.
(7)
Искомые коэффициенты
аппроксимирующего полинома (вектор
)
получаем путем решения системы линейных
уравнений (6). В матричном виде вектор
определяется как:
(8)
Для поиска параметров аппроксимирующего полинома можно использовать функции Excel. В Excel есть матричные функции:
МОБР – обратная матрица
МУМНОЖ – умножение матриц.
Для решения системы уравнений в Excel в ячейки листа вводятся элементы матрицы А и вектора G. Затем мышкой выделяется диапазон ячеек, где располагается вектор параметров аппроксимации, и вводится формула =МУМНОЖ(МОБР(Диапазон А);Диапазон G).
Затем нажимается комбинация клавиш [<Ctrl>+<Shift>+<Enter>].
В диапазоне ячеек, куда была введена формула, появятся искомые значения параметров аппроксимации.
Качество аппроксимации будем оценивать квадратичным критерием близости. При этом будем оценивать среднеквадратичным значением σρ отклонения значений полинома в заданных точках Xi от заданных в таблице значений Yi .
.
(9)
Порядок выполнения курсовой работы
Исходными данными для выполнения курсовой работы являются:
Mm – максимальная степень аппроксимирующего полинома,
n - количество отсчетов зашумленного сигнала,
Таблица отсчетов зашумленного дискретизированного сигнала.
|
i |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выполнении
работы необходимо по заданным значениям
(Xi
, Yi
) определить коэффициенты аппроксимирующего
полинома
для степеней аппроксимирующего полинома
m
= 1, 2, Mm.
Полученные наборы коэффициентов
аппроксимирующего полинома
при m
= 1, 2, Mm
записать в таблицу коэффициентов.
|
m |
C0 |
C1 |
C2 |
|
CMm |
|
1 |
C0,1 |
C1,1 |
|
|
|
|
2 |
C0,2 |
C1,2 |
C2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mm |
C0,Mm |
C1.Mm |
C2,Mm |
|
CMm,Mm |
Для каждого значения
m
= 1, 2, Mm
построить графики (Mm
графиков) аппроксимирующих полиномов
при
X
изменяющемся от
до
с задаваемым шагом dX.
На графиках изобразить также заданные
точки (X i
, Yi
).
Для каждого значения m = 1, 2, Mm вычислить погрешности аппроксимации
Полученные значения занести в таблицу.
|
m |
1 |
2 |
|
Mm |
|
σ |
σ1 |
σ2 |
|
σMm |
Результатом курсовой работы является получение зависимости параметров аппроксимации (коэффициентов аппроксимирующего полинома и погрешности аппроксимации) от степени аппроксимирующего полинома для заданного набора отсчетов (X i , Yi ) и определения минимальной степени полинома Mmin, после которой параметры аппроксимации практически не изменяются ,т.е. при m>Mmin параметры аппроксимируюшего полинома (вид функции регрессии) практически не изменяются.
Курсовая работа должна быть реализована в виде приложения на Visual Basic (либо на другом языке программирования). Курсовая работа может быть также выполнена в системе Mathcad (Matlab).
По курсовой представляется отчет на бумаге с титульным листом и описанием выполнения работы. В отчете должны быть приведены описания численных методов , объектов графического интерфейса и исходные тексты процедур программного приложения. К отчету прилагается программное приложение на CD – диске.
Варианты заданий по курсовой работе
Аппроксимация зашумленных сигналов полиномиальными функциями
Вариант задания – последняя цифра номера зачетки
Таблица параметров заданий
|
Вариант |
n |
m |
Xmin |
Xmax |
|
0 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
1 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
2 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
3 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
4 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
5 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
6 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
7 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
8 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
|
9 |
20 |
4 |
-1 |
1 |
Продолжение таблицы параметров заданий
Массивы отсчетов
|
Вариант |
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
0 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y0(k) |
0,01 |
-0,09 |
-0,15 |
-0,22 |
-0,25 |
-0,23 |
-0,27 |
-0,19 |
-0,14 |
-0,08 |
-0,03 |
|
1 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y1(k) |
0,02 |
-0,03 |
0,03 |
0,04 |
0,07 |
0,13 |
0,19 |
0,23 |
0,30 |
0,43 |
0,52 |
|
2 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y2(k) |
-0,99 |
-0,85 |
-0,67 |
-0,58 |
-0,48 |
-0,35 |
-0,32 |
-0,27 |
-0,18 |
-0,10 |
-0,01 |
|
3 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y3(k) |
0,79 |
0,70 |
0,57 |
0,48 |
0,44 |
0,36 |
0,35 |
0,37 |
0,32 |
0,38 |
0,39 |
|
4 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y4(k) |
1,77 |
1,69 |
1,58 |
1,42 |
1,29 |
1,14 |
1,00 |
0,86 |
0,72 |
0,60 |
0,48 |
|
5 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y5(k) |
1,41 |
1,05 |
0,77 |
0,64 |
0,49 |
0,40 |
0,35 |
0,31 |
0,36 |
0,36 |
0,42 |
|
6 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y6(k) |
-1,99 |
-1,47 |
-1,06 |
-0,82 |
-0,61 |
-0,43 |
-0,33 |
-0,26 |
-0,19 |
-0,08 |
0,03 |
|
7 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y7(k) |
3,98 |
3,12 |
2,33 |
1,77 |
1,29 |
0,96 |
0,67 |
0,41 |
0,26 |
0,09 |
-0,03 |
|
8 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y8(k) |
-0,02 |
-0,14 |
-0,26 |
-0,30 |
-0,30 |
-0,32 |
-0,28 |
-0,26 |
-0,16 |
-0,10 |
0,03 |
|
9 |
X(k) |
-1,00 |
-0,90 |
-0,80 |
-0,70 |
-0,60 |
-0,50 |
-0,40 |
-0,30 |
-0,20 |
-0,10 |
0,00 |
|
|
Y9(k) |
-2,51 |
-2,11 |
-1,72 |
-1,41 |
-1,12 |
-0,82 |
-0,59 |
-0,40 |
-0,23 |
-0,08 |
-0,01 |
Продолжение таблицы параметров заданий
Продолжение массивов отсчетов
|
Вариант |
k |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
0 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y0(k) |
0,10 |
0,27 |
0,41 |
0,55 |
0,78 |
0,99 |
1,16 |
1,47 |
1,70 |
2,00 |
|
1 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y1(k) |
0,61 |
0,75 |
0,87 |
0,96 |
1,14 |
1,31 |
1,43 |
1,62 |
1,78 |
2,03 |
|
2 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y2(k) |
0,14 |
0,28 |
0,41 |
0,61 |
0,85 |
1,15 |
1,54 |
1,95 |
2,43 |
3,01 |
|
3 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y3(k) |
0,45 |
0,57 |
0,65 |
0,78 |
0,91 |
1,05 |
1,28 |
1,50 |
1,76 |
2,02 |
|
4 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y4(k) |
0,38 |
0,32 |
0,32 |
0,23 |
0,25 |
0,29 |
0,36 |
0,44 |
0,61 |
0,78 |
|
5 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y5(k) |
0,47 |
0,57 |
0,63 |
0,80 |
1,00 |
1,27 |
1,64 |
2,08 |
2,65 |
3,40 |
|
6 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y6(k) |
0,11 |
0,22 |
0,43 |
0,59 |
0,81 |
1,05 |
1,27 |
1,53 |
1,75 |
2,01 |
|
7 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y7(k) |
-0,12 |
-0,18 |
-0,21 |
-0,29 |
-0,33 |
-0,33 |
-0,33 |
-0,27 |
-0,19 |
0,00 |
|
8 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y8(k) |
0,08 |
0,28 |
0,43 |
0,64 |
0,91 |
1,30 |
1,75 |
2,40 |
3,07 |
3,97 |
|
9 |
X(k) |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
|
|
Y9(k) |
0,09 |
0,16 |
0,25 |
0,29 |
0,40 |
0,52 |
0,69 |
0,88 |
1,14 |
1,50 |