КЗ по АиГ

Вариант 1

1. Какая кривая определена уравнением ?

Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с фокусами , и директрисой .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ;

3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и . Найдите матрицу оператора в базисе , если .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 2

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с фокусами и , угол между асимптотами которой равен .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и . Найдите матрицу оператора в базисе , если .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 3

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение параболы с фокусом и директрисой, совпадающей с осью ординат.

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ;

3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и . Найдите матрицу оператора в базисе , если .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 4

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с директрисами , и эксцентриситетом , если центр эллипса лежит на прямой .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и . Найдите матрицу оператора в базисе , если .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 5

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы, асимптоты которой заданы уравнениями и , а один из фокусов расположен в точке .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и . Найдите матрицу оператора в базисе , если .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 6

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, один из фокусов которого расположен в точке , а соответствующая этому фокусу директриса задана уравнением , если точка является вершиной этого эллипса.

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, и . Найдите матрицу оператора в базисе , если .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 7

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены в точках и , а одна из директрис удалена от центра гиперболы на расстояние, равное 1.

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .