КЗ по АиГ

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , . (Здесь означает транспонирование матрицы .)

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 14

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с центром , фокусом и эксцентриситетом .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 15

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с фокусами , и директрисой .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , . Здесь – транспонированная матрица .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 16

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и фокусом .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где – точка пересечения медиан .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , . (Здесь – транспонированная матрица .)

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 17

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с вершинами и , если известно, что оси эллипса параллельны координатным осям. Чему равен эксцентриситет эллипса?

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Линейный оператор каждой квадратной матрице второго порядка ставит в соответствие матрицу . Найдите матрицу оператора в базисе , , , .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 18

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с вершиной в точке и асимптотами и .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространство геометрических векторов с базисом . Линейный оператор каждому вектору ставит в соответствие вектор , где и . Найдите матрицу оператора .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 19

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, если он касается оси ординат в точке , а его центр расположен в точке . Эксцентриситет эллипса равен .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .