КЗ по АиГ

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространство геометрических векторов с базисом . Линейный оператор каждому вектору ставит в соответствие вектор , где и . Найдите матрицу оператора .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 20

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с центром в точке и одним из фокусов, расположенном в начале координат, если гипербола отсекает от оси ординат хорду длиной .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространство геометрических векторов с базисом . Линейный оператор каждому вектору ставит в соответствие вектор , где и . Найдите матрицу оператора .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 21

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат, если он касается оси ординат в точке и пересекает ось абсцисс в точках и .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространство геометрических векторов с базисом . Найдите матрицу оператора ортогонального проектирования на плоскость . (Оператор ортогонального проектирования на плоскость задается формулой , где – единичная нормаль плоскости.)

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 22

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси абсцисс, если ее вершина расположена в точке , а на оси ординат она отсекает хорду, длина которой равна 32.

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространство геометрических векторов с базисом . Найдите матрицу оператора ортогонального проектирования на плоскость . (Оператор ортогонального проектирования на плоскость задается формулой , где – единичная нормаль плоскости.)

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 23

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса с центром в точке , если его малая ось равна 4, а одна из директрис задана уравнением .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространство геометрических векторов плоскости с базисом . Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Дана матрица линейного преобразования в некотором базисе. Укажите матрицу перехода к новому базису, в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид. Сделайте проверку, вычислив матрицу .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 24

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение гиперболы с одним из фокусов, расположенном в начале координат, и соответствующей директрисой, заданной уравнением , если угол между асимптотами гиперболы равен .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространство геометрических векторов плоскости с базисом . Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой .

8. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

9. Матрица линейного преобразования задана в базисе . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , где , , .

10. Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Укажите преобразование координат, тип кривой и координаты ее фокусов.

Вариант 25

1. Какая кривая определена уравнением ? Найдите координаты фокусов, уравнения директрис, уравнения асимптот (для гиперболы), координаты центра, вершин и постройте эту кривую.

2. Составьте каноническое уравнение эллипса, эксцентриситет которого равен , директрисы задаются уравнениями и , зная, что этот эллипс проходит через точку .

3. Заданы точки , , и . Найдите:

1) скалярное произведение и угол ; 2) векторное произведение ; 3) смешанное произведение и объем пирамиды ; 4) проекцию точки на прямую ; 5) уравнения плоскостей , и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника ; 7) расстояние от точки до плоскости ; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость , и проекцию точки на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой , где — точка пересечения медиан треугольника .

4. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип поверхности, заданной этим уравнением.

5. Исследуйте на совместность систему

Если система совместна, найдите ее общее решение методом Гаусса. Укажите фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

6. Решите матричное уравнение .

7. Пусть – пространству геометрических векторов плоскости с базисом . Найдите матрицу оператора , где – оператор поворота на угол , а – оператор проектирования на ось .