29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3
.pdfпозиции произвольно выбранного момента времени. Напомним, что в ситуации простых процентов эти утверждения не всегда имеют место.
Так как с позиции текущего момента (формула (65)):
Я = |
= 8,780 тыс. руб., Р2 |
|
г = 8,260 тыс. руб., |
|
(1 + 0,35) |
(1 + 035) |
|
то выгоднее получить 16 тыс. руб. через 2 |
года. |
||
Конечно, можно было проводить все |
сравнения с позиции |
||
будущего: через 6 лет. Тогда определяем наращенную сумму за 4 года капитала в размере 16 тыс. руб.: F+ = 16(1 + 0,35)4 = = 53Д44тыс. руб. и, сравнивая с 50 тыс. руб., приходим к тому
же выводу (кстати, выполнив меньшее количество вычислений). Пример 2.1.14. Определите современную ценность 20 тыс.
руб., если: а) эта сумма будет получена через 4 года 9 месяцев; б) эта сумма была получена 2 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 30% годовых.
Решение, а) Для того чтобы оценить современную ценность суммы денег, необходимо осуществить приведение этой суммы на настоящий момент времени, учитывая возможность инвестирования денег под сложную процентную ставку 30%, т.е. необходимо определить приведенную стоимость 20 тыс. руб. В данном случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сумме, которая при начислении сложных процентов по ставке 30% станет равной 20 тыс. руб. через 4 года 9 месяцев. Полагая в формуле (65) п = 4,75, /4 75 = 20 тыс. руб., г = 0,3, получим:
Р |
= 5,752 тыс. руб. |
(1 + 03)4'75 б) В этом случае современная ценность 20 тыс. руб. равна
такой сумме, которая получится при наращении сложных процентов на 20 тыс. руб. в течение 2 лет 6 месяцев по ставке 30%. Воспользовавшись формулой (55) при л = 2,5, Р = 20, /- = 03, получим:
Flt5 = 20(1 + 03)2,5 =38,538 тыс. руб.
11-»* |
161 |
в) Поскольку в этой ситуации 20 тыс. руб. получены в настоящий момент времени, то их современная ценность составляет 20 тыс. руб.
Пример 2Л Л5. Господин N поместил в банк 40 тыс. руб. на условиях начисления кавдые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 34%. Через полтора года господин N снял со счета 18 тыс. руб., а через 3 года после этого закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.
Решение. Обозначим через х величину суммы, полученной при закрытии счета. Для наглядности изобразим ситуацию, описанную в задаче, на оси времени, причем одно деление оси времени будет соответствовать одному периоду начисления процентов, т.е. одному полугодию. Сумму, помещенную в банк, изобразим над осью времени, а все изъятия - под осью:
4 0 |
I |
! |
I |
|
I |
1 |
I |
|
! |
I I |
, |
• |
_ 1 |
|
|
||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
л |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
Полагая |
Р = 40 тыс. руб., п = 1,5, т = 2, /2 ) =0,34, по фор- |
|||||||||||
муле (58) получим сумму на счете через полтора года: |
|
|
||||||||||
|
|
|
Fh5 = 40^1 + ^ |
j |
^ |
тыс. руб. |
|
|
||||
Поскольку в это время 18 тыс. руб. изымаются, то дальнейшее |
||||||||||||
наращение |
осуществляется |
на |
сумму |
[4011 + -—-1 |
-18] |
тыс. |
||||||
руб., и, таким образом, через 3 года (л = 3) при закрытии счета господин N получит:
х = [40^1 j * - 1 8 ] + = 40(1 + 0 Д 7 ) 9 - 1 8 ( 1 + ОД7)6 =
= 118Д62 тыс. руб.
Заметим, что такое же равенство для нахождения х можно получить, и используя понятие приведенной стоимости, что позволяет единообразно решать многие задачи. Для изложения
162
нового подхода к решению сформулируем задачу в общем виде. Пусть в банк в конце некоторых периодов начисления сложных процентов помещаются на счет и изымаются со счета некоторые суммы. Найдем приведенные к одному моменту стоимости всех сумм и остатка на счете. Тогда справедливо следующее уравнение эквивалентности: сумма приведенных стоимостей всех вкладов равна сумме приведенных стоимостей всех изъятий и приведенной стоимости остатка на счете.
Воспользуемся таким уравнением эквивалентности для решения рассматриваемого примера. Выберем в качестве момента приведения начальный момент времени. В этом случае уравне-
ние эквивалентности примет вид:
1 0
1 8
(•*¥Г ИГ'
После умножения обеих частей уравнения на множитель
|
2-4,5 |
1 + |
= (1+ 0Д7)9 и переноса всех известных слагаемых в |
одну часть равенства, а х - в другую, получим: х = 40(1 + ОД7)9 -18(1 + ОД ,
т.е. пришли к такому же выражению для определения X, как и ранее.
В качестве момента приведения можно было выбрать любой момент времени. Так, если взять 4 года 6 месяцев, то уравнение эквивалентности примет вид:
Ч'^Г-К'^Г-
т.е. опять получаем то же самое выражение для определения х. Пример 2.1.16. На вашем счете в банке лежит сумма в
60 тыс. руб. Банк начисляет сложные проценты по процентной ставке 32% годовых. Вам предлагают войти всем вашим капиталом в организацию венчурного предприятия. Представленные экономические расчеты показывают, что через 4 года ваш капитал возрастет в 3,5 раза. Стоит ли принимать это предложение? Как может повлиять на выбор решения учет фактора риска?
11* |
163 |
Решение. Оценка данной ситуации может быть сделана либо с позиции будущего, либо с позиции настоящего. В первом случае анализ основан на сравнении двух сумм, получаемых от вложения в рисковое предприятие и в банковское учреждение с гарантированным доходом. Первая сумма равна 60-3,5=210 тыс. руб., вторая находится по формуле (55):
/*4 = 60(1 + 032)4 = 182Д 57 тыс. руб.
Приведенный расчет свидетельствует об экономической выгоде сделанного вам предложения. Однако при принятии окончательного решения необходимо по возможности учесть фактор риска.
Второй вариант анализа основан на дисконтированных оценках с использованием формул (65) и (66). В этом случае процентная ставка в множителе дисконтирования устанавливается инвестором и равна тому относительному размеру дохода, который инвестор хочет или может получить на инвестируемый им капитал.
Определяя процентную ставку в дисконтном множителе, обычно исходят из так называемого безопасного или гарантированного уровня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается государственным банком по вкладам или при операциях с ценными бумагами. При этом может даваться надбавка за риск, причем, чем более рисковым считается рассматриваемый проект или финансовый контракт, тем больше размер премии за риск. Иными словами, процентная ставка г, используемая в дисконтном множителе, будет в этом случае иметь следующий вид:
r«iy+rf ,
где гj - безрисковая доходность; гт - премия за риск.
Допустим, что финансовый консультант рекомендует оценить риск участия в венчурном предприятии путем введения премии в размере 8%. Таким образом, используемая в множителе дисконтирования ставка будет равна 40%. Тогда по формуле (65) можно рассчитать приведенную стоимость ожидаемого поступления при участии в венчурном предприятии:
Р = 2 1 0 , = 210 0,2603 = 54,663 тыс. руб. (1 + 0,4)
164
При таких исходных посылках предложение об участии в венчурном предприятии становится невыгодным. Однако следует иметь в виду, что такой вывод сделан в результате оценки риска путем введения премии в размере 8%. Если же, например, считать достаточной премию в размере 4%, то по формуле (65) получим:
210
Р = — ^ Ц г4 = 210-0,2923 = 61383 тыс. руб., 0 + 036)
т.е. предложение об участии в венчурном предприятии становится выгодным.
Пример 2.1.17. Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 32%. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 9 месяцев; б) на год.
Решение, а) Стоимость привлеченных средств можно найти по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени п, a F определяется с помощью формулы (58), где п « 0,75, ж = 4, г( 4 ) = 0,32. Итак,
J |
|
032V0'75 |
- Р = 0,2597Р, |
F-P = P\ 1 + |
J |
||
г = ° 2 5 9 1 Р = |
о ^ з или 34,63% годовых. |
||
Р-0,75 |
|
|
|
Конечно, можно было и сразу применить формулу (81):
|
|
тп |
|
I |
т |
-1 |
|
—, устанавливающую эквивалентность простои |
|||
г = ± |
п |
ставки г и сложной ставки r ( m ) :
j |
0,75 |
= 03463. |
По существу в изложенном предыдущем решении приведена схема вывода этой формулы.
165
б) Полагая и = 1, воспользуемся сразу формулой (81) или, что то же самое в этом случае, формулой (63):
Таким образом, относительная стоимость привлеченных средств в этом случае равна эффективной ставке.
Пример 2.1.18. Предприниматель получил в банке кредит на 5 лет по процентной ставке 28% годовых, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,4% от величины кредита. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежегодно сложные проценты на исходную сумму кредита. Как изменится доходность при выдаче кредита на 3 года и на 8 лет?
Решение. Обозначим через Р величину кредита, тогда величина удержанных комиссионных составит 0,014Р, и, следова-
тельно, |
предпринимателю |
будет |
выдана |
сумма |
Р - 0,014Р = 0,986Р. За 5 лет исходная сумма вместе с начисленными процентами составит: F5 = Р(1 + 0.28)5. Теперь по формуле (64) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной процентной ставки:
ГР(1 + 0Д8)5У |
|
1 + 0,28 |
= 0,2836, |
, 0.986Р J |
1 |
-1 |
|
|
|
т.е. rej = 2836%, что больше объявленных банком 28% годовых.
Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доходность финансовой операции для кредитора (банка).
При выдаче кредита на 3 года наращенная сумма составит F3 = Р(1 + 0,28)3, и, следовательно, доходность для банка будет равна:
Р(1 + 0,28)
0,986Р ) Щ9Ъ6у0,986
т.е. больше, чем при выдаче кредита на 5 лет.
166
Аналогичным образом при сроке кредита 8 лет получим:
T e f I 0,986Р |
^0986 |
т.е. меньше, чем при выдаче кредита на 5 лет.
Основываясь на рассмотренном примере, можно сделать вывод, что при удержании комиссионных увеличение срока кредита уменьшает доходность фийансовой сделки для кредитора. Конечно, если комиссионные не взимаются, то при любом сроке кредита при ежегодном начислении сложных процентов доходность такой финансовой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки будет постоянной и равна 28%.
Пример 2.1.19. Выдана ссуда под процентную ставку 35% годовых, при этом сразу были взысканы комиссионные в размере 3% от величины ссуды. Определите доходность такой сделки в виде годовой эффективной процентной ставки, если кредитор начисляет простые проценты на исходную величину ссуды и срок ссуды: а) 3 года; б) 6 лет.
Решение, а) Если Р - величина ссуды, то удержанные комиссионные составят 0,03Л и поэтому заемщику будет выдана сумма Р - 0,03Р = 0,97Р. Через 3 года заемщик должен возвратить сумму /3 »Р(1 + 3-035) = 2,05Р. Следовательно, по формуле (64) доходность сделки для кредитора составит:
|
|
и л и 2 8 3 3 % . |
е / |
U.97PJ |
\0.97 |
Если бы комиссионные не взыскивались, то |
||
Г е / |
= |
J" -1 =tflfiS -1 = 0,2703, или 27,03%. |
Как и следовало ожидать, удержание комиссионных увеличивает доходность сделки для кредитора.
б) При выдаче ссуды на 6 лет наращенная сумма составит F6 = Р(1 + 6- 035) = ЗДР и поэтому:
167
Таким образом, увеличение срока ссуды уменьшает доходность сделки для кредитора.
Пример 2.1J20. Вы имеете возможность поместить свои свободные денежные средства в долларах США на полтора года в одном банке на валютном депозите под процентную ставку 16% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. Как вам лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока - 19 руб. 10 коп., а ожидаемый курс продажи через полтора года - 22 руб. 80 коп.?
Решение. Обозначим имеющееся количество долларов через Р. Помещая их на валютный депозит, через полтора года можно получить (согласно формуле (58)):
Если же имеющиеся Р долларов обменять на рубли, то в соответствии с курсом покупки можно получить 19,1Р руб. Через полтора года наращенная сумма на рублевом депозите составит:
что при конвертации по ожидаемому курсу продажи даст: 25,4221Р22,8 = 1J150P долл. США. Сравнивая эту величину с нара-
щенной суммой на валютном депозите, делаем вывод, что лучше поместить доллары на валютный депозит.
Пример 2.1.21. На вклад 200 тыс. руб. по истечении 5 лет были начислены сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. Определите наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока и ставка налога на проценты равна 15%.
168
Решение. Полагая Р = 200 тыс. руб., п = 5, т = 4, г( 4 ) - 0,28, по формуле (58) находим наращенную сумму до уплаты налога:
Сумма налога на проценты составит:
б = (773,937-200).0Д5 = 86,091 тыс. руб.
Следовательно, после уплаты налога наращенная сумма станет равной величине:
А
Fs = F5 -G = 773,937-86,091 = 687,846 тыс. руб.
Это значение можно получить и по формуле (101), где
Пример 2.1.22. На вклад в 200 тыс. руб. в течение 5 лет раз в год начислялись сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28% исходя из ежеквартальной схемы начисления. Определите итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если налог на проценты уплачивается каждый год путем выделения средств из накапливаемой суммы и ставка налога на проценты равна 15%. Чему равна величина налога за каждый год?
Решение. Используя обозначения предыдущего примера, итоговую наращенную сумму после уплаты налога на проценты находим по формуле (102):
F5 = 200 (13108 -(1,3108-1)- ОД5J5 =645,765 тыс. руб.
Для определения величины налога за каждый год воспользуемся рекуррентным соотношением, следующим из формулы (103):
g<*> =[а-(а-1 )g]Q{k~l), где к = 23,...,л. Таким образом,
С 0 ) « 200 • (13108 -1) • ОД 5 = 9,324 тыс. руб., g(2) = 9324 1,2642 = 11,787 тыс. руб.,
С( 3 ) =11,787-1^642 = 14,901 тыс. руб.,
С( 4 ) = 14,901-1,2642 = 18,838 тыс. руб.,
С( 5 ) -18,838-1^642-23,815 тыс.руб.
169
Задачи
2.1.1.Депозит в 40 тыс. руб. положен в банк на 5 лет под процентную ставку 28% годовых. Найдите наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты. Составьте схему возрастания капитала по годам.
2.1.2.Сумма 24 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 30% годовых: а) на 4 года; б) на 10 лет. Найдите наращенные суммы при условии ежегодного начисления сложных и простых процентов.
2.1.3.Сделайте сравнительный анализ графиков изменения наращения капитала при реализации схем простых и сложных процентов.
2.1.4.Предприниматель получил в банке ссуду в размере 30 тыс. руб. сроком на 7 лет на следующих условиях: для первых двух лет процентная ставка равна 22% годовых, на следующие три года устанавливается маржа в размере 0,5% и на последующие годы маржа равна 0,8%. Найдите сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды при ежегодном начислении сложных процентов.
2.1.5.Банк предоставил ссуду в размере 250 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 34% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Какая схема менее выгодна для банка?
2.1.6.Предприниматель взял в банке кредит в размере 90 тыс. руб. под сложную процентную ставку 36% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Через 2 года и 7 месяцев кредит был погашен суммой 201,421 тыс. руб. Какую из двух основных схем начисления процентов использовал банк?
2.1.7.Вы делаете вклад в банк в размере 14 тыс. руб. сроком на 5 лет. Банк начисляет 32% годовых. Какая сумма будет на счете к концу срока, если начисление процентов производится по схеме сложных и простых процентов: а) ежегодно; б) каждые полгода?
2.1.8.Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 тыс. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая процентная ставка
170