29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

гель решил сразу погасить оставшийся долг. Какую сумму он должен заплатить в условиях начисления процентов по простой процентной ставке 30% годовых?

1.9.11.По условиям контракта господин N в течение четырех лет каждые полгода должен выплачивать другому лицу по 12 тыс. руб. Через два года, сделав четыре платежа, господин N предложил через полгода выплатить весь оставшийся долг. Какая сумма должна быть выплачена, если расчеты осуществляются по простой процентной ставке 36% годовых?

1.9.12.Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты 100 дней заменяется двумя платежами со сроками 30 дней и 60 дней, причем первый платеж равен 12 тыс. руб. Какова величина второго платежа, если расчеты осуществляются по простой процентной ставке 25% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты первоначального платежа?

1.9.13 Платеж 16 тыс. руб. со сроком 45 дней заменяется на четыре равных платежа со сроками 10, 30, 60 и 80 дней. Какова величина этих платежей, если в расчетах используется простая процентная ставка 36% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты первоначального платежа?

1.9.14.По условиям контракта сумма в 40 тыс. руб. должна быть выплачена через 8 месяцев. Однако принято согласованное решение о новом порядке выплат через 4, 6 и 10 месяцев, причем первая сумма равна 10 тыс. руб., а две другие одинаковы по величине. Найдите эти суммы, если используется простая учетная ставка 20% годовых и начисляются обыкновенные проценты? Для сравнения платежей в качестве даты приведения выбрать день, от которого измеряются все сроки. Как изменится результат, если в качестве даты приведения выбрать день уплаты первоначального платежа?

1.9.15.Владелец векселей (кредитор) со сроками уплаты 12 июля (2 тыс. руб.) и 20 сентября (5 тыс. руб.) согласился с предложением должника об объединении двух векселей в один со

141

сроком погашения 1 августа того же года. Какую сумму необходимо проставить в консолидированном векселе, если используется простая учетная ставка 32% годовых и способ 365/360 (обыкновенный процент с точным числом дней)? В качестве даты приведения принять 1 августа.

1.9.16.Владелец векселя на сумму 12 тыс. руб. со сроком уплаты 14 мая согласился заменить его на три векселя с одинаковыми суммами и сроками погашения 10 марта, 1 июня и 10 августа того же года. Определите сумму, которую необходимо проставить в каждом из новых векселей, если используется простая учетная ставка 25% годовых и способ 365/360. Для сравнения сумм в качестве даты приведения выбрать 14 мая.

1.9.17.По финансовому соглашению фирма должна выплатить одному кредитору суммы в размерах 1, 5 и 4 тыс. руб. через 20, 45 и 90 дней после 1 июня. Однако позже было принято совместное решение погасить все суммы единым платежом в 10,1 тыс. руб. Найдите дату уплаты консолидированного платежа, если используется простая учетная ставка 30% годовых и считают, что в году 360 дней. В качестве даты приведения принять 1 июня.

1.9.18.По условию контракта суммы в 15, 5 и 10 тыс. руб. должны быть выплачены в течение года соответственно 15 апреля, 8 июня и 20 сентября. Стороны решили пересмотреть порядок выплат: 12 тыс. руб. выплачивается 25 мая, 4 тыс. руб. - 15 июля и остаток долга погашается 1 августа. Определите величину третьего платежа, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке, равной 38% годовых, по способу 365/365 (точный процент с точным числом дней) и год високосный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 15 апреля; б) 20 сентября.

1.9.19.По финансовому соглашению предприниматель должен выплатить банку в течение года суммы в 20, 10 и 30 тыс. руб. соответственно 1 марта, 15 июля и 18 октября. По обоюдному согласию решено осуществить три одинаковых платежа в новые сроки: 10 апреля, 1 июня и 1 сентября. Какова величина этих платежей, если пересчет осуществляется по простой процентной ставке 26% годовых способом 365/365 и год невисокосный. Для сравнения платежей в качестве базовой даты принять: а) 1 марта; б) 18 октября.

142

Глава 2

СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

2.1. Сложная процентная ставка

Основные положения

•Полагают, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной'доход за период исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе, и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает.

•Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает.

•Формула наращения по сложным процентам является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя наращения табулированы для различных значений процентной ставки и числа периодов начисления.

•Для кредитора более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода); более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно); обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

•При заключении финансового соглашения на время, не равное целому числу лет, проценты, как правило, начисляются либо по схеме сложных процентов, либо по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года). Наращен-

144

ная сумма будет больше при использовании смешанной схемы. Аналогичные способы начисления процентов применяются и в том случае, когда базовый период начисления процентов отличен от года (например, квартал, месяц и т.п.).

•В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и смешанной схемы возможны и другие методы начисления процентов.

•В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расчетом времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как "правило 72-х". Это правило хорошо срабатывает для небольших значений процентной ставки.

•С увеличением частоты начисления сложных процентов по номинальной процентной ставке растет величина наращенной суммы.

•При проведении сравнительного анализа эффективности финансовых контрактов используется эффективная годовая процентная ставка - это годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая тот же финансовый результат, что и начисление процентов несколько раз в год по номинальной ставке, деленной на число периодов начисления. Номинальная годовая процентная ставка может существенно отличаться от соответствующей ей эффективной годовой процентной ставки.

•В финансовых соглашениях не имеет значения, какую из ставок указывать - эффективную или номинальную, поскольку использование как одной, так и другой дает одну и ту же (с любой точностью приближения) наращенную сумму.

•Для анализа эффективности разнообразных финансовых контрактов эффективную процентную ставку определяют и как сложную ставку, обеспечивающую переход от начальной суммы

кнаращенной при однократном начислении процентов за базовый период (например, за год), т.е. не используя явным образом номинальную ставку.

•Математическим дисконтированием (дисконтированием по сложной процентной ставке) называется задача нахождения такой величины первоначального капитала, которая через заданное количество времени при наращении по сложной процентной

ставке обеспечит получение планируемой суммы. Значения множителя дисконтирования (его также называют дисконтным множителем) табулированы для различных значений процентной ставки и числа периодов дисконтирования.

•Определяя процентную ставку в множителе дисконтирования, обычно исходят из так называемого безопасного (или гарантированного) уровня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается государственным банком по вкладам или при операциях с ценными бумагами. При этом может даваться надбавка за риск, причем, чем более рисковым считается рассматриваемый проект или финансовый контракт, тем больше размер премии за риск.

•При использовании сложной процентной ставки будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, можно оценивать с позиции любого момента времени.

Вопросы для обсуждения

1.Как происходит начисление сложных процентов на капитал в течение всего срока?

2.Какой вид имеет множитель наращения при начислении процентов по сложной процентной ставке?

3.Какой можно привести экономический смысл множителя наращения сложных процентов при использовании процентной ставки?

4.Почему представляется естественным использование в расчетах именно сложных процентов в случае многократного их начисления?

5.Что называется капитализацией процентов?

6.Как связаны между собой наращение по сложной процентной ставке и проценты "со 100"?

7.Каким образом должны соответствовать друг другу длина периода начисления и процентная ставка?

8.Как пользоваться таблицей значений множителя наращения при начислении сложных процентов?

9.Как соотносятся величины наращенных сумм при начислениях по схеме простых и по схеме сложных процентов?

146

26.Почему номинальная ставка процента по кредитам так называемых коротких денег (на одну-две недели) ниже ставки центрального банка?

27.Приведите формулу дисконтирования по сложной процентной ставке.

28.Каков экономический смысл множителя дисконтирования при математическом дисконтировании?

29.Как пользоваться таблицей значений множителя дисконтирования при дисконтировании по сложной процентной ставке?

30.Как можно связать между собой дисконтирование по слож-

ной процентной ставке и проценты "на 100 "?

31.Из каких соображений может определяться процентная ставка в дисконтном множителе при математическом дисконтировании?

32.Как соотносятся величины дисконтированных сумм при дисконтировании по сложной процентной ставке и по простой учетной ставке, когда эти ставки равны?

33.С позиции какого момента времени можно оценить будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, при использовании сложной процентной ставки?

34.Почему с увеличением интервала времени модель приведения разновременных сумм к одному моменту становится более грубой? Какие факторы не учтены в модели?

35.Как соотносятся между собой результаты математического дисконтирования по простой и сложной процентным ставкам?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.1.1. Сумма 20 тыс. руб. инвестируется под процентную ставку 25% годовых: а) на 6 лет; б) на 9 лет. Найдите наращенные суммы при условии ежегодного начисления сложных и простых процентов.

Решение, а) Полагая п = 6, Р = 20 тыс. руб., г = 0,25, при наращении сложными процентами по формуле (55) получим:

F6 = 20(1 + 0Д5)6 = 20 • 3,8147 = 76,294 тыс. руб.

148

Множитель наращения в формуле (55) всегда можно вычислить непосредственно по формуле, однако при решении этого примера можно воспользоваться и таблицей 1 значений этого множителя из приложения З1. В данном случае на пересечении строки, соответствующей числу периодов п = 6, и столбца для г = 25% находим, что значение множителя наращения составляет: FA/1(25%,6) = 3,81472.

Если бы наращение осуществлялось простыми процентами, то по формуле (9):

F =20(1 + 6- 0,25) = 50 тыс. руб.

б) Поскольку в этом случае п = 9, то при наращении сложными и простыми процентами соответственно получим:

F9 = 20(1 + 0,25)9 =20-7,4506 = 149,012 тыс.руб.,

F= 20(1 + 9 • 0,25) = 65 тыс. руб.

Вобоих случаях наращение сложными процентами доставляет ббльшую по величине сумму, чем наращение простыми процентами. С увеличением числа периодов начисления разница между этими наращенными суммами все больше растет. Заметим, однако, что если бы проценты начислялись за время, меньшее года, то наращение простыми процентами доставило бы ббльшую сумму, чем сложными.

Пример 2Л .2. Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб. при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если годовая процентная ставка равна 30%, периоды наращения различны: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 3 года, 10 лет, 20 лет, 50 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсудите полученные результаты.

1Таблицы значений множителя наращения (н прочие финансовые таблицы) приведены с разной степенью общности во многих книгах, связанных с финансовыми вычислениями. См., например, работы таких авторов, как Е М. Четыркин, Я.С. Мелкумов, Г.П. Башарин и др.

2Заметим, что приводимые в данной работе обозначения множителя наращения и других факторных множителей являются условными. В англоязычной

ипереводной литературе широко распространены обозначения, представляющие собой аббревиатуры англоязычных наименований соответствующих мно-

жителей.

149

Решение. Применяя при Р = 1 и г = 0,3 для простых процентов формулу (9), а для сложных - формулу (55), получим следующие результаты, представленные для наглядности в табличном виде:

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок менее одного года, то более выгодна схема простах процентов. Так, в частности, при сроке в 180 дней наращенная сумма

1,1402 млн руб., т.е. получили разницу между суммами в 9,8 тыс. руб. Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально - более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 30% годовых при использовании схемы простых процентов за 3 года еще не происходит удвоение исходной суммы, а при испбльзовании схемы сложных процентов за 3 года исходная сумма увеличивается почти в 2,2 раза. Еще большую разницу между наращенными суммами мы видим через 10 лет и тем более через 20 и 50 лет.

Пример 2.1.3. В банке получена ссуда в размере 40 тыс. руб. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 28% годовых, на следующий год устанавливается маржа в размере 1%, и на последующие годы маржа равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях сложных процентов.

Решение. Поскольку имеем дело с переменной процентной

= 40(1 + 0Д8)3(1 + 0,29)(1 + 0,305)4 =313,850 тыс.руб.

150