29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

Затем по формуле (47) находим учетную ставку, обеспечивающую в условиях существующей инфляции реальную доходность согласно учетной ставке 36,364%:

Получили тот же результат.

Пример 1.8.10. Под какую простую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо поместить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась на 20% за 10 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 3%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?

Решение. Определяем по формуле (42) индекс инфляции за 10 месяцев (- года):

V =(1+0,ОЗУ0-13439.

Пусть Р - величина денежной суммы и г - искомая процентная ставка. Тогда начисленные проценты без учета инфляции находим по формуле (12):

/ = /> . |г = 0,8333/>г.

6

С этой величины в счет уплаты налога проценты пойдет сумма 0J2/ и, следовательно, после уплаты величина наращенной суммы составит.

Р+ 0,88/ =• Р(1 + 0,7333г),

ас учетом инфляции:

Р(1+0,7333г)

U439

Полученная сумма должна быть больше исходной на 20%, т.е. в 1,2 раза:

/>(1+0,7333г) 13439 ^

121

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно г, получим:

г = 1Л-13439-1 ^03355 т с г = 83,55% годовых. 0,7333

Если наращение осуществляется по простой учетной ставке

После уплаты налога величина наращенной суммы составит:

Р+0,88/ » Р(1+

l-0i8333J

Полученная сумма с учетом инфляции должна быть больше исходной в 1,2 раза:

V 1-0£333<Г 1,3439

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно dt получим d = 0,4926, или d = 49,26% годовых.

Заметим, что такой же результат получим сразу, определяя по формуле (26) учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке г = 83,55% при л = %:

rf- ° ' 8 3 5 5 = 0,4926. 1 +6— • OJB355

Задачи

1.8.1.За полгода стоимость потребительской корзины возросла

с645 руб. до 788 руб. Определите индекс и темп инфляции:

а) за полгода; б) среднемесячные; в) в среднем за два месяца. 1.8.2. Среднемесячный темп инфляции в течение года со-

ставлял 4%. Определите индекс и темп инфляции: а) за квартал; б) за полгода; в) за год.

122

1.8.3.В течение года каждый квартал цены росли соответственно на 10, 15, 8 и 12%. Определите индекс и темп инфляции: а) за год; 6) в среднем за месяц; в) в среднем за квартал.

1.8.4.На сумму в 10 тыс. руб. в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 30% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 7, 5 и 4%. Найдите наращенную сумму с учетом инфляции и величину годовой положительной процентной ставки.

1.8.5.В стране годовой индекс инфляции составил 900%. Определите среднемесячный и средний ежедневный темпы инфляции. За какое время деньги теряли половину своей покупательной способности, если год полагать равным 360 дням?

1.8.6.В некоторой стране годовая гиперинфляция составила 80 миллионов процентов. За какое время деньги теряли четвертую часть своей покупательной способности, если год считать равным 360 дням?

1.8.7.Доход от финансовой операции, проведенной в течение полугода, составил 30 тыс. руб., причем было вложено в операцию 120 тыс. руб. Среднемесячный темп инфляции в это время составлял 1%. Определите реальную норму прибыли финансовой операции с учетом инфляции.

1.8.8.В результате инвестирования в некоторый проект 35 тыс. руб. через 3 года получено 70 тыс. руб. Темпы инфляции по годам соответственно составили 30, 15 и 20%. Определите реальную норму прибыли от инвестирования с учетом инфляции. Какова норма прибыли при отсутствии инфляции?

1.8.9.В течение трех лет предприятие имело следующие показатели относительно вложенного капитала, при условии, что вся прибыль реинвестируется: 1-й год - 80% прибыли, 2-й год - 10% убытков, 3-й год - 60% прибыли. Какова общая прибыль на вложенный капитал (в процентах) с учетом среднегодового темпа инфляции в 20%?

1.8.10.В результате инвестирования первоначальный капитал за первые два к в а р т а л а вырос в 1,5 раза, за третий квартал общий капитал вырос в 1,3 раза и за четвертый квартал вся сумма увеличилась в 1,1 раза. Определите, на сколько процентов реально увеличилась первоначальная сумма по своей покупательной способности, если среднемесячный темп инфляции составлял 2%.

123

1.8.11.Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,16; 1,09; 1,12 и 1,22. При какой среднемесячной инфляции вклад за это время реально (по своей покупательной способности): а) увеличится на 10%; б) не изменится?

1.8.12.Господин N купил дом в январе 1986 г. за 18 тыс. руб.

ипродал его в январе 1991 г. за 250 тыс. руб. Инфляция по годам, с 1986 по 1990 г. включительно, составляла соответственно 15, 20, 40, 60, 200%. Выиграл или проиграл господин N и на сколько процентов?

1.8.13.В финансовом соглашении были предусмотрены следующие процентные ставки на год: за первый квартал - 26% годовых; за второй квартал - 30% годовых; за третий и четвертый квартал - 35% годовых. Темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 8, 5, б и 3%. Определите множитель наращения за год с учетом инфляции, если в течение года начисляются простые проценты.

1.8.14.Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 30% годовых, через полгода была увеличена до 35%, а еще через квартал - до 40% годовых. Определите реальную величину (по своей покупательной способности) процентов, начисленных за год на вклад 20 тыс. руб., если темп инфляции каждый квартал составлял 6%

1.8.15.На сумму 15 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись простые проценты по следующим процентным ставкам: в первом квартале - 38% годовых, во втором - 44% годовых, в третьем - 50% годовых и в четвертом - 54% годовых. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 1,2, 1,5 и 0,5%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

1.8.16.Господин N получил в банке ссуду на два года под процентную ставку 36% годовых. В первый год индекс цен составил 1,3; во второй - 1,2. Определите, во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной способности) к концу срока ссуды будет больше выданной банком суммы, если банк начислял простые проценты. Каков будет ответ при отсутствии инфляции?

124

1.8.17.Банк выдал ссуду на 75 дней в размере 700 тыс. руб. под простую процентную ставку 40% годовых. Рассчитайте реальный доход банка с учетом инфляции, если темп инфляции за это время составил 8% и при начислении простых процентов считается, что в году: а) 360 дней; б) 365 дней.

1.8.18.Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 40%, а за второй год вся сумма увеличится на 30%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 35% от суммы предыдущего года. Сколько процентов составит реальная прибыль по каждому варианту при ожидаемом ежегодном темпе инфляции 20%?

1.8.19.Определите реальную процентную ставку за год, если номинальная простая процентная ставка равна 30% годовых при годовом темпе инфляции в 16%. Какова должна быть номинальная процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность 30% годовых?

1.8.20.Определите реальную простую процентную ставку, если номинальная годовая процентная ставка равна 36% годовых и годовой индекс инфляции составил 1,26. Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки? Чему должна быть равна величина положительной процентной ставки, обеспечивающая реальную доходность в 36% годовых?

1.8.21.Определите реальную простую учетную ставку, если номинальная годовая учетная ставка равна 30% годовых и годовой индекс инфляции составил 1,2. Чему должна быть равна величина учетной ставки, обеспечивающая реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой в 30% годовых?

1.8.22.Предприниматель получил в банке кредит на сумму 60 тыс. руб. на год. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 15% годовых при ожидаемом годовом темпе инфляции 30%? Какую сумму должен будет вернуть предприниматель?

1.8.23.Предприниматель получил в банке кредит на сумму 50 тыс. руб. на 9 месяцев. При ожидаемом среднемесячном темпе инфляции 3% банк хочет обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 20% годовых. Какая простая про-

125

центная ставка по кредиту должна быть установлена? Какова будет величина погашаемой суммы?

1.8.24.Выдан кредит в размере 100 тыс. руб. с 19 февраля по 6 ноября того же года под простую процентную ставку при условии начисления: а) обыкновенных процентов с точным числом дней; б) точных процентов с точным числом дней. Ожидается, что индекс цен к моменту погашения кредита составит 1,4. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, чтобы обеспечить реальную доходность этой финансовой операции в 25% годовых? Какова будет величина погашаемой суммы? Выполните расчеты, полагая год невисокосным.

1.8.25.Предприниматель получил ссуду с 15 февраля по 14 ноября того же года под простую процентную ставку 70% годовых. Во сколько раз вырос реальный долг (по своей покупательной способности) при начислении обыкновенных процентов: а) с точным числом дней; б) с приближенным числом дней, если за срок ссуды темп инфляции составил 42,6% и год високосный?

1.8.26.Господин N, владея 30 тыс. руб., хочет получить, положив деньги на депозит, через год не менее 35 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему обратиться в банк, применяющий простую процентную ставку 42% годовых, если прогнозируемый темп инфляции в году равен 15%?

1.8.27.Вкладчик намеревается поместить в банк 9 тыс. руб. на 240 дней на условиях начисления простых обыкновенных процентов. Какова должна быть процентная ставка, обеспечивающая накопление 10 тыс. руб. (рассматриваемых с точки фения сохранения их покупательной способности), если предполагаемый ежемесячный темп инфляции равен 3%?

1.8.28.Банк выдал кредит на 6 месяцев по простой процентной ставке 42% годовых, при этом удержав комиссионные в размере 3% от суммы кредита. Определите действительную доходность для банка такой кредитной операции в виде годовой процентной ставки, если простые обыкновенные проценты начислялись на исходную сумму кредита и ежемесячный темп инфляции составлял 2%.

1.8.29.Под какую простую годовую процентную ставку в условиях начисления обыкновенных процентов необходимо поместить имеющуюся денежную сумму, чтобы она реально (по

126

своей покупательной способности) увеличилась в 1,25 раза за 9 месяцев с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежемесячный темп инфляции равен 2%? Если наращение осуществляется по простой учетной ставке, то какая она должна быть?

1.8.30.Простая процентная ставка по вкладам до востребования, составляющая в начале года 30% годовых, через каждые два месяца увеличивалась на 2,5%. Определите реальную величину (по своей покупательной способности) наращенной за год суммы с учетом уплаты налога на проценты, если величина вклада - 20 тыс. руб., среднемесячный темп инфляции - 2% и ставка налога на проценты равна 12%.

1.8.31.В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый депозит под 500% годовых или на долларовый депозит под 35% годовых. Инфляция тогда составляла примерно 900%. Выясните, какой из депозитов был предпочтительнее, если курс продажи долларов в начале года был 450 руб., а в конце - 1250 руб. за 1 доллар.

1.8.32.Банк выдает клиенту кредит на 3 месяца, в течение которых, по оценкам экспертов, ежемесячный индекс инфляции составит 1,015. Начисление процентов осуществляется по простой учетной ставке. Найдите значение учетной ставки, компенсирующей потери от инфляции, если банк желает обеспечить реальную доходность, определяемую простой учетной ставкой 22% годовых. Какова должна быть учетная ставка, обеспечивающая в условиях инфляции реальную доходность, определяемую простой процентной ставкой в 22% годовых?

1.8.33.При учете векселей в условиях инфляции должна быть обеспечена реальная доходность, определяемая простой учетной ставкой, равной 30% годовых. Какую простую учетную ставку в этом случае нужно применить, если ожидаемый темп инфляции составляет 4% в месяц и вексель предъявлен для учета за 2 месяца до срока его погашения?

1.8.34.Вексель учитывается в банке за 4 месяца до срока его погашения. Какую простую учетную ставку должен применить банк, чтобы при ежемесячном темпе инфляции 3,5% обеспечить реальную доходность операции учета в виде простой процентной ставки 42% годовых?

127

1.9. Замена и консолидация платежей

Основные положения

•На практике постоянно возникают ситуации, вынуждающие участников сделки к изменению условии ранее заключенного финансового соглашения. В частности, это касается и платежей. Например, изменение сроков платежей (обычно на более отдаленные, а иногда и в сторону уменьшения, т.е. досрочное погашение задолженности), объединение нескольких платежей в один (консолидация платежей) с установлением срока его погашения и т.п.

•В результате любых изменений ни один из участников не должен терпеть убыток, поэтому в такого рода ситуациях руководствуются принципом финансовой эквивалентности, устанавливающим неизменность финансовых отношений участников до

ипосле изменения финансового соглашения.

•На практике при изменении условий выплат денежных сумм принцип финансовой эквивалентности реализуется путем составления уравнения эквивалентности, согласно которому сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени. Для краткосрочных контрактов процесс приведения, как правило, осуществляется на основе простых ставок.

•Для каждой конкретной ситуации получается свое уравнение эквивалентности, а в некоторых простых случаях можно обойтись и без него.

•Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. Однако при использовании приведенных значений платежей, осуществленных на основе простых ставок, необходимо согласовать далу (ее называют базовой), на которую производят приведение, ведь от изменения базовой даты в случае простых процентов меняются (иногда в меньшей, а иногда в большей степени) значения новых искомых характеристик.

128

Вопросы для обсуждения

1.Что означает консолидация платежей?

2.Приведите примеры изменения финансового соглашения в результате изменения условий, касающихся выплат денежных сумм?

3.Что такое принцип финансовой эквивалентности?

4.Каким образом на практике реализуется принцип финансовой эквивалентности?

5.На основе каких ставок, как правило, осуществляется процесс приведения для краткосрочных контрактов?

6.Верно ли положение о том, что при сравнении платежей их приведение к одному моменту времени может осуществляться как путем дисконтирования, так и путем наращения?

7.При замене старого срока платежа новым в каком случае новый платеж будет больше прежнего платежа, а в каком - меньше?

8.При замене старого платежа новым в каком случае срок его выплаты будет больше прежнего срока платежа, а в каком - меньше?

9.Всегда ли можно некоторый платеж, изменяя срок его выплаты, заменить любым по величине платежом?

10.Можно ли трактовать процесс наращения (в частности, простыми процентами) как один из случаев замены одного платежа другим?

11.Каким образом можно связать между собой замену одного платежа другим и процесс дисконтирования?

12.Какие контракты считаются эквивалентными?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.9.1. Согласно новому финансовому соглашению платеж 80 тыс. руб. со сроком уплаты б месяцев заменяется платежом со сроком уплаты: а) 3 месяца; б) 9 месяцев. Найдите величину нового платежа, если используется простая процентная ставка 40% годовых.

Решение. Пусть Рх = 80 тыс. руб., г = 0,4. Считая, что год содержит 360 дней и каждый месяц - 30 дней, полагаем щ = 0,5 года.

Этот же результат можно получить, и не пользуясь формулой (49), а составив для данной конкретной ситуации уравнение эквивалентности, руководствуясь принципом финансовой эквивалентности. В соответствии с этим принципом величина платежа Р0 должна быть такой, что, получив через 3 месяца (ло = 0,25 года) Р0 и инвестировав эту сумму под простую процентную ставку г = 0,4, кредитор через время щ-ло мог бы получить сумму Р\ =80 тыс. руб. Таким образом, получим уравнение:

в котором неизвестной величиной будет Р0.

Обратим внимание на следующий факт. Если не применять принцип финансовой эквивалентности, а просто воспользоваться равенством приведенных стоимостей (на начальный момент

Эта сумма больше, чем 72,727 тыс. руб. Инвестировав 73,333 тыс. руб. под 40% годовых, кредитор через 3 месяца ( — Ид = 0,2 года) получил бы 73,333(1+0Д5-0,4) = 80,666 тыс. руб., т.е. на 666 руб. больше, чем было предусмотрено первым финансовым соглашением.

б) Поскольку в этом случае rtQ = 0,75 и по > п1 > то П 0 формуле (49) получим:

Р0 = 80(1 + (0,75 - 0,5). 0,4) = 88 тыс. руб.

130