29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

7 Прокомментируйте с финансовой точки зрения ситуацию, когда: а) процентная или учетная ставка равна нулю; 6) учетная ставка равна единице.

gЧто показывает индекс роста вклада за некоторый промежуток времени? Приведите формулы, связывающие индекс

роста с дисконт-фактором и ставками.

9Как определяется индекс роста за несколько промежутков времени, расположенных последовательно друг за другом?

Ю.Что называется процессом наращения? Какая ставка может являться ставкой наращения?

11.Что называется процессом дисконтирования? Какая ставка может являться ставкой дисконтирования?

12.О каком направлении во времени денежного потока идет речь при наращении? А при дисконтировании?

13.Как, используя процентную или учетную ставку, показать, что время в определенном смысле генерирует деньги?

14.Чем отличается экономическое понятие "процент" от математического понятия "процент"?

15.Связана ли доходность финансовой операции с риском при проведении этой операции?

16.В чем заключается экономический смысл дисконтирования?

17.Каким образом можно охарактеризовать будущую стоимость и приведенную стоимость?

18.В виде суммы каких компонент может быть представлена процентная ставка? Поясните такое представление и дайте краткую характеристику каждой компоненте.

19.Приведите определения процентов "со 100" и формулу их вычислений.

20.Какую часть числа составляют: а) 5%; б) 25%; в) 50%; г) 75%?

21.Во сколько раз увеличится число, если его увеличить: а) на 100%; б) на 300%; в) на 350%; г) на 900%?

22.Сколько будет 5% от 5%?

23.Приведите определения процентов "на 100" и формулу их

вычислений.

24- В задачах какого типа находят проценты "на 100 "?

25.Приведите определения процентов "во 100" и формулу их вычислений.

26.в задачах какого типа находят проценты "во 100 "?

11

27.Как процента "со 100'\ "на 100" и "во 100" от одного чизд соотносятся друг с другом?

28.Во сколько раз 10% "со 100" больше, чем 5% "со 100"? во сколько раз 10% "на 100" больше, чем 5% "на 100'1

29.Как проверить, правильно ли найдены проценты "на 100" "во 100"?

30.Как можно интерпретировать величину дохода от предос тавления в долг некоторой денежной суммы в термина? процентов "со 100", "на 100", "во 100" ?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.1.1. Предприниматель получил на полтора год| кредит в размере 40 тыс. руб. с условием возврата 50 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконтфактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы кредита?

Решение. Полагая в формуле (1) (см. приложение 1) / = 1,5 года, PV =40 тыс. руб., FV = 50 тыс. руб., получим величину процентной ставки за полтора года:

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор находим соответственно по формулам (2),(4):

5 0 - 40

dv = ^ р = 0,2 или </15 =20% ;

40

Vi 5 = — = 0,8 ИЛИ Vic =80%.

Заметим, что величины dx 5 , v, $ можно было найти, используя и другие соотношения. Например,

V1.5 =1-^14=1-0,2 = 0,8.

12

Индекс роста Д 5 суммы кредита показывает, во сколько раз в О 3 0 ращаемая сумма больше выданной:

Пример 1.1.2. Известно, что капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1,4 раза, а за второй год вся сумма увели- чилась в 1,2 раза. Определите индекс роста вклада и процентную ставку за два года. На сколько процентов увеличился капитал за все время?

ремножением индексов роста за каждый год: -1,4 • 1,2 = 1,68.

Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показывающая, на сколько процентов увеличится капитал, составит:

/i = - 1 = 1,68 ^ 1 = 0,68 .

Таким образом, капитал за два года увеличится на 68%. Пример 1.1.3. Имеется два варианта вложения капитала на 3

года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий год - еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

Решение. Поскольку для первого варианта индексы роста капитала за каждый год равны 1,15; 1,35 и 1,1, то индекс роста за 3 года составит:

1Д5 1,35 -1,1 = 1,70775 « 1,708.

Подобным образом находим индекс роста капитала за 3 года Для второго варианта:

1,2 1,2 -1,2 = 1,728 .

Так как согласно первому варианту за 3 года капитал увеличится на 70,8%, а согласно второму варианту - на 72,8%, то второй вариант вложения капитала лучше.

Заметим, что 70,8% и 72,8% представляют собой процентные ставки за 3 года.

13

Пример 1.1.4. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

Решение. Воспользуемся формулой (1). Обозначим через Р стоимость покупок. Поскольку 45% стоимости покупок оплачивается сразу, то на один год кредит предоставляется в размере PV = 0$5Р. Величина дохода за предоставленный кредит составит FV-PV = ОДР. Поэтому

Г ! = ^ у = 0Д818, или =18Д8%.

Пример 1.1.5. Найдите с 90 тыс. руб.: а) 15% "со 100"; б) 15%

"на 100"; в) 15% "во 100".

Решение. Выражая 15% в десятичных дробях (т.е. получая 0,15), пользуемся последовательно формулами (6), (7.), (8) при г = 0Д5 и Q = S = К =90 тыс. руб.:

а) Q = 90 0Д5=13,5 тыс.руб.;

1-0Д5

Получили, что по отношению к одному числу проценты "на 100" меньше процентов "со 100" которые в свою очередь меньше процентов "во 100".

Для проверки найденных процентов "на 100" надо из данного числа (90 тыс. руб.) вычесть полученные проценты "на 100" (11,739 тыс. руб.), определив тем самым так называемое начальное число. Затем от начального числа найти проценты "со 100" которые должны совпадать с найденными согласно условию задачи процентами "на 100". Выполним эти действия:

90 -11,739 = 78Д61 тыс. руб.; 78Д61 - ОД 5 = 11.739 тыс. руб.

14

Для проверки найденных процентов "во 100" надо к данному числу (90 тыс. руб.) прибавить полученные проценты "во 100" (15,882 тыс. руб.) и затем от найденной суммы (т.е. начального числа 105,882 тыс. руб.) найти проценты "со 100":

90 + 15,882 = 105,882 тыс. руб.;

105,882 • ОД 5 = 15,882 тыс. руб.

Пример 1.1.6. Предприниматель реализовал партию товара за 80 тыс. руб., получив при этом 25% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

Решение. Поскольку 80 тыс. руб. представляют собой сумму себестоимости товара и процентов "со 100" этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли определяется по формуле (7) вычисления процентов "на 100". Полагая £ = 80 тыс. руб., г = 0,25, находим:

Следовательно, себестоимость товара составляет 80 - 16 = 64 тыс. руб.

Пример 1.1.7. Предприниматель реализовал партию товара за 57 тыс. руб., получив при этом 5% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.

Решение. Поскольку 57 тыс. руб. представляют собой разность себестоимости товара и процентов "со 100" этой себестоимости (убытка), то величина убытка определяется по формуле (8) вычисления процентов "во 100" при К = 57 тыс. руб. и г = 0,05:

57-0,05 _

Следовательно, себестоимость товара составляет 57 + 3 = = 60 тыс. руб..

Из разобранных двух последних примеров видно, что при применении формул вычисления процентов "на 100" или "во 100" (формулы (7) и (8)) вначале нужно определить, с каким капиталом (согласно условию задачи) имеем дело - с наращенным или уменьшенным, после чего решение задачи не представляет трудностей.

15

Задачи

1.1.1. Предприятие получило кредит на один год в размере 100 тыс. руб. с условием возврата 160 тыс. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставки.

1.1.2.Предприятие за взятый кредит через год должно вернуть 400 тыс. руб. Определите величину кредита, если учетная ставка равна 25%. Чему равен дисконт-фактор?

<1.1.3. Кредит в размере 40 тыс. руб. выдан на два года с условием возврата 45 тыс. руб. Определите двухгодовые процентную и учетную ставки и дисконт-фактор.

1.1.4.Вклад 5 тыс. руб. положен в банк на 3 месяца с условием, что доход от финансовой сделки составит 800 руб. Определите квартальные процентную и учетную ставки и дисконтфактор. Чему равен индекс роста вклада за квартал?

1.1.5.Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих условиях: 35% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 20% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

1.1.6.Доходы от трех финансовых операций, проведенных в течение одного и того же срока, составили соответственно 10, 8

и20 тыс. руб. Сравните между собой нормы прибыли этих операций, если в них было вложено 50, 20 и 100 тыс. руб. Чему будут равны учетная ставка и дисконт-фактор в каждой финансовой операции?

1.1.7.Предполагается инвестировать три проекта в размере соответственно 40, 20 и 80 тыс. руб. Ожидается, что в зависимости от ситуации доходности этих инвестиций за два года могут колебаться в следующих границах: для первой - от 15 до 30%, для второй - от 35 до 50%, для третьей - от 10 до 15%. Определите, какой минимальный и какой максимальный доход можно получить за два года.

1.1.8.В результате инвестирования первоначальный капитал за первый год вырос в 1,4 раза, за второй год общий капитал вырос в 1,6 раза и за третий год вся сумма увеличилась в 1,3 раза. Чему равен индекс роста суммы? Определите, на сколько процентов увеличилась первоначальная сумма за 3 года.

16

1.1.9.Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 50%, а за второй год вся сумма увеличится на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 30% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

1.1.10.Клиент банка получил от помещения денег на депозит на год 900 руб. Какая сумма была помещена на депозит, если индекс роста ее за это время составил 1,4?

1.1.11.Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,15; 1,1; 1,12 и 1,05. На сколько процентов за это время увеличился вклад? Определите учетную ставку и дисконт-фактор: а) за полгода; б) за год.

1.1.12.Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а продана за 325 тыс. руб. Сколько процентов прибыли получил предприниматель?

1.1.13.Товарооборот магазина в июне составил 940 тыс. руб., а в июле - 890 тыс. руб. На сколько процентов уменьшился товарооборот в июле?

1.1.14.За продажу дачного участка комиссионер получил 8 тыс. руб., что составило 5% с продажной цены. Определите, за какую сумму был продан дачный участок.

1.1.15.Предприниматель, купив первую и вторую партии товара соответственно за 36 тыс. руб. и 42 тыс. руб., продал их соответственно за 48 тыс. руб. и за 58 тыс* руб. При продаже какой партии был получен больший процент прибыли?

1.1.16.Найдите: а) 3% "на 100" с 412 руб.; б) 5% "на 100" с 735 руб.; в) 10% "на 100" с 2300 руб.; г) 25% "на 100" с 42 тыс. руб.; д) 50% "на 100" с 9 тыс. руб.

1.1.17.Найдите: а) 3% "во 100" с 1261 руб.; б) 5% "во 100" с 760 руб.; в) 10% "во 100" с 1150 руб.; г) 25% "во 100" с 23 тыс. руб.; д) 50% "во 100" с 8 тыс. руб.

1.1.18.Найдите с 1500 руб. и 12 тыс. руб.: а) 25% "со 100";

б) 25% "на 100"; в) 25% "во 100".

1.1.19.Предприятие реализовало партию товара за 230 тыс. руб., получив при этом 30% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

1.1.20.Предприятие реализовало партию товара за 45 тыс. руб., получив при этом 8% убытка. Определите величину убытка и себестоимость товара.

1.1.21.Из-за порчи было списано 10% товара. Определите, сколько товара было списано, если его осталось 963 кг.

1.1.22.Общий заработок рабочего, включая премию в размере 10% от месячного оклада, составил 1980 руб. Найдите величину премии и величину оклада.

1.1.23.Предприниматель за 1 кг некоторого товара хочет получить 12 руб. 60 коп. Какую цену ему следует назначить, чтобы, сделав 3%-ную скидку, получить 12 руб. 60 коп. за 1 кг?

1.2. Простая процентная ставка Основные положения

•Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление.

•При наращении с использованием простой процентной ставки приращение капитала пропорционально сроку ссуды и процентной ставке, т.е. доход инвестора растет линейно вместе со сроком.

•Точные проценты определяются исходя из точного числа дней в году (365 или 366), а обыкновенные - из приближенного числа дней в году (360).

•При точном подсчете числа дней фока ссуды определяется фактическое количество дней между двумя датами (датой выдачи и датой возврата ссуды). При приближенном подсчете определяют точное число полных месяцев в сроке и добавляют число оставшихся дней. Длительность каждого полного месяца полагается равной 30 дням. При точном и при приближенном подсчете числа дней срока ссуды день ее выдачи и возврата считают за один день.

•Используются следующие способы расчета простых процентов: а) обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначаемые как 360/360; б) обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365/360 или ЛСТ/360; в) точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 или ACT/ACT.

18

•В финансовой практике при расчете процента используют и такие величины, как дивизор и процентное число. Дивизор - это отношение принятого числа дней в году к процентной ставке. Численно дивизор равен такому количеству рублей, с которого при данной процентной ставке получается 1 руб. дохода в день. Процентным числом называется произведение величины капитала на время, в течение которого происходит наращение на капитал простых процентов (иногда это произведение еще делят на 100).

•Финансовое соглашение может не только предусматривать постоянную процентную ставку на весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.

•При применении простых процентов доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

•Для сравнения доходности финансовых операций с различными сроками используют показатели, учитывающие временной период, в течение которого получен доход. Одним из показателей является эквивалентное значение простой годовой процентной ставки. При этом считается, что если в результате инвестирования некоторой суммы получен доход, то такой же доход можно получить в результате размещения той же суммы по соответствующей эквивалентной простой годовой процентной ставке.

•Реинвестированием называется вложение доходов в некоторый проект производственного или финансового характера

снамерением получить на них в дальнейшем дополнительный доход.

•Математическое дисконтирование является процессом, обратным к наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (называемой приведенной стоимостью), которая через заданное время при наращении простыми процентами по данной процентной ставке будет равна сумме, ожидаемой к получению (уплате) через это заданное время.

•При математическом дисконтировании в качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка.

•Понятие приведенной стоимости является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций.

Вопросы для обсуждения

1.Как происходит начисление простых процентов на капитал в течение всего срока?

2.Что показывает множитель наращения в формуле наращения простыми процентами? Как он связан с индексом роста первоначальной суммы?

3.Если вклад в банке увеличился на 300%, то во сколько раз увеличился вклад?

4.Верно ли, что наращение по простой процентной ставке происходит процентами "со 100"?

5.Какова зависимость наращенной суммы от времени при начислении простых процентов по процентной ставке на инвестируемый капитал? Каков вид ее графика?

6.Как связаны между собой наращение по простой процентной ставке и арифметическая прогрессия?

7.За какой период происходит удвоение первоначальной суммы в результате наращения по простой процентной ставке?

8.Изменится ли величина наращенной суммы за несколько лет, если начисление простых процентов по данной процентной ставке будет осуществляться не каждый год, а чаще, например каждый месяц?

9.В каких случаях применяют наращение по простой процентной ставке?

10.Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то во сколько раз увеличится величина начисленных процентов по сравнению с ситуацией, когда использовалась исходная процентная ставка?

11.Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то на сколько процентов увеличится наращенная сумма по сравнению с ситуацией, когда использовалась исходная процентная ставка?

12.Чем отличаются точные проценты от обыкновенных?

13.Какие существуют способы подсчета числа дней срока инвестирования?

14.Чем можно пользоваться для упрощения процедуры расчета точного числа дней ссуды?

15.Может ли подсчет точного числа дней ссуды и приближенного числа дней ссуды давать один и тот же результат?

20