Супер шпора.doc алгем

Множ-во – набор некот-х элементов. А,В,С…-множ-ва; а,в,с…-элем-ты множ-ва. -пустое множ-во. Отображение м/у множ-ми-закон при котором элементы одного множ-ва ставят за место элемен-в др-го множ.

Объединение групп АиВ наз-ся множ-во, кот-е состоит из тех элементов, к-е входят и в А и в В. Разность 2-х множ-в А\В (А без В) сост-т из тех и только тех множ-в А к-е не входят в В. Вложение множ-в: АсВ, если каждый элемент множ-ва А явл-ся и элементом множ-ва В. Св-ва над множ-ми: 1Коммутативный-если мн-ва А пересеч с множ-в В, то это одно и тоже, что В пересеч с А. (АсВиВсА; Если док-ть, что х АВ =х А и хВ) 2Сочетательный- А(ВС)=(АВ)С; А(ВС)=(АВ)С

3Расприделит-й- А(ВС)=(АВ)(АС); А(ВС)=(АВ)(АС);

Док-ть:хА(ВС)хА и хВС; хА,хВ или хС 2случ-я: хАВ; хАС(АВ)(АС). А\В=х х\А= ; х\В=В ()=А, АВ=В А=В=В

Линейные пространства-мн-во L наз-я л.п., если в нём определены операции сложения и умножения на числа, т.е. каждой паре элементов х,у из L опред-н элем-т Z из L к\й наз-ся их суммой. х,уL ZL Z=x+y. И для любого числа  и любого числа Х из L опред-н эл-т t из L к\й наз-ся произ-м.R;хL;tL;t=x.Приэтом выполнима аксиома:1коммут-й х+у=у+х;2Асоциат.х+(у+z)=(x+y)+z;3Диструб-й 0L: х+0=х; хL.4Отриц-е числа (противоположный эл-т) хL, -хL : х+(-х)=0 5)1х=х,хL 6)(х)=()х, х, ,R. 7)(+)х=х+х,хL, ,R. 8)(х+у)=х+у,R. Пример: L=R Rквадрат (х,у); (х1,х2)+(х2,y2) Т.(х1+х2, у1+у2) (х,у)=(х,у); хуR; (у1,…уn)=у (х1,..хn)=х; R встепени n –упорядоченный набор из n чисел. х+у=(х1+у1,…,xn+yn); L=R+; х,у . ху= ху; х1=х1; -х=1/х; х-х=х1/х=1

Свойства:1)Единственность нулевого эл-та. Док: 0 0´; 0=0+0´=0´+0=0´ 2)Единст-ть противоп-го эл-та х -х -х´; -х´=-х+0=-х´+(х+(-х´))= (-х´+х)+(-х)=0+(-х)=-х 3)нулевой эл-т Ō=0·х хL 0х=0х+0=0х+(х+(-х)) (0х+х)+(-х)=(0х+х)+(-х)=(0+1)х+(-х) 1х+(-х)=х+(-х)=Ō 4) х -х=(-1)х (-1)х+х=(-1)х+1

Отображение

=ху;х :; корень х: R+R; D(f)cХ. Все элементы множ-ва х к-е ставятся в у. f(x)cY все элементы из у к-е соот-т каким-то элем-м из х

f(x)=уУ:хХ:f(х)=у; АсХ f(А)-образ множ-ва А Множ-во всех элементов из у кот-е переходят в элементы из А. f(А)=уУ:хА:f(х)=у; f степень –1 (В)=хХ:уВ:f(х)=у; f степ. –1 (0;4)=-2;2; f(х)=х

f(х)=(-1;1)=[0;1].Типы отображ-я.1Инъективное-если f(х1)=f(х2)х1=х2

2Сюръективное- если его область значений совпадает со всем у.уУ;

f(х)=у. Несуръективный: f(x)=x². 3Биэктивный=1+2

Линейные отображения

L-1 L-2 R:L1 →L2 ; Отображение из L1 →L2 назыв-я линейным, если

1)Результат действия отобр-я R(Х)=R(X) (Однородное св-во)

2)R(x1+x2)=R(x1)+(x2) (Аддетивность)

Матрицей наз-ся прямоуг-я табл. Чисел к/я содержит m строк одинаковой длины(n столбцов одинак. длины) А=(аij) I-номер строки, j-номер столбца.

Матрицы=между собой если = все соответствующие элементы этих матриц,

т.е. А=В, если aij=bij. Квадратная матр.-число строк=числу столбцов. Диагональная-все элементы, кроме элементов глав-ой диагонали=0. Единичная- каждый элемент глав-ой диаг.=1. Операции:

1)Сложение матр. Только для матр. одинак. размеров. А+В=С. cij=aij+bij

2)Умножение матр. А на число к наз-ся матр. В такая, что bij=k*aij.Свойства:

1)А+В=В+А 2)А+(В+С)=(А+В)+С 3)А+0=А 4)А-А=0 5)1*А=А 6)(А+В)=

А+В 7)(+)А=А+А 8)(А)=()А (А,В,С-матр. ,-числа).

Ранг матр.- max кол-во линейно независимых строк и столбцов. Если матр. mxn, то ранг не превышает кол-во n столбцов и m строк. Св-ва ранга матр.:

1)При транспонировании матр. её ранг не меняется. 2)Если вычеркнуть из матр. нулевой ряд, то ранг матр. не изменится. 3)Ранг матр. не изменится при элементарных преобразованиях матр.

Определители. Квадратной матр. А порядка n можно сопоставить число detA называемое её определителем. Определитель матр. А также называют её детерменантом. Вычисление опред-ля 2-го порядка:

При вычисленииопределителя 3-го порядка пользуются правилом треуголь-а:

Св-ва определителей:

1)Определ-ль не изменится, если его строки заменить столбцами

2)При перестановки строк и столбцов определитель меняет знак.

3)Определитель, Имеющий 2 одинак. ряда =0.

4)Общий множитель элементов ряда можно вынести за знак определ-я.

5)Определитель не изменится если к элементам одного ряда прибавить элементы параллельного ряда умноженные на любое число.

Системой линейных алгебраических урав-й, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется сис-ма вида:

Сис-ма ур-ий наз-ся совместной если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной если она не имеет не одного решения. Совместная сис-ма наз-ся определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой если она имеет более одного решения.

Крамер. Xi=дельтаi/дельта. Дельта=detA

Гаусс.- состоящий в последовательном исключении неизвестных. Процесс решения по методу Гаусса состоит из 2 этапов.На первом этапе сис-ма приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе идёт последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой сис-мы.

Вектор- направленный прямолинейный отрезок, он имеет опред-ю длину и опред-е направление. Коллинеарные век.- они лежат на одной прямойили на параллельных прямых. Равные век.- если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Вектор ОВ соединяющий начало первого вектора с концом второго наз-ся суммой векторов a и b:ОВ=а+б.(правило треуг-ка).Правило параллелограмма:

Скалярным произведением 2ненулевых векторов а и б называется число равное произведению длин этих векторов на COS угла между ними.Св-ва:

1)(ab)=(ba)-коммутативный 2)(a1+a2)b=(a1b)+a2-аддетивность 3)(ab)=

(ab)-однородность 4)(аа)=|a квадрат|0-невыроженность.