2. Уравнение кинематики и динамики

2.1. На схеме рис. 1б изображён цилиндр в процессе движения вниз со скоростью и ускорением центра масс и а_с и с угловыми скоростью и ускорением ω и ε . Изогнутая стрелка с обозначениями ω и ε показываетнаправление поворота цилиндра с увеличением угловой скорости. Векторыи при этом направлены вдоль оси Y перпендикулярно плоскости рисунка; проекции этих векторов на ось Y - отрицательные.

Примечание. Вектор угловой скорости всегда направлен вдоль оси вращения таким образом, что с его конца поворот тела виден против хода часовой стрелки. Вектор углового ускорения сонаправлен вектору , если угловая скорость увеличивается.

В т. Р, где нить касается поверхности цилиндра, находится м. ц. с. и через эту точку проходит мгновенная ось вращения, параллельная оси Y.

К цилиндру приложены: сила тяжести G в точке С (центр масс) и силы натяжения S двух нитей в точках схода нитей с поверхности тела (на схеме рис. 1б эти точки объединены в т. Р).

Для теоретическою описания механического движения тела вначале надо установить, к какому типу относится исследуемое движение. В механике все движения твёрдых тел подразделяются на пять типов: поступательное, вращательное, плоское, сферическое и свободное. При исследовании каждого типа движения требуется соответствующая ему система уравнений кинематики и динамики.

2.2. Качение тел при постоянной ориентации оси мгновенного вращения является частным случаем плоского движения. Следовательно, скатывание тел по двум отвесным нитям, стабилизирующим ориентацию мгновенной оси, также относится к типу плоского движения.

Примечание. Движение твёрдого тела называется плоским (или плоско-параллельным), если тело, перемещаясь в пространстве, совершает повороты, не имея закреплённых точек, и при этом каждая точка тела движется в одной и той же плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение могут совершать тела любой формы (стержни, пластины, диски, пространственные фигуры). Это движение имеет ряд характерных особенностей, которые используются для проектирования машин и механизмов. Одной из таких особенностей является существование мгновенного центра скоростей (м. ц. с.) в плоскости движения каждой точки тела. Все м. ц. с. лежат на одной прямой, называемой мгновенной осью вращения. Относительно этой оси тело при плоском движении совершает повороты в пространстве. Положение мгновенной оси непрерывно изменяется, однако эта ось остается параллельной самой себе.

Свойства плоского движения, в том числе методы определения положения м. ц. с., изучаются в курсе теоретической механики. В курсе общей физики обычно рассматривается только частный случай плоского движения - качение тел при постоянной ориентации оси мгновенного вращения.

В механике доказано, что плоское движение можно исследовать двумя способами. В первом - плоское движение рассматривается как совокупность двух движений: поступательного движения вместе с условной осью, проходящей через центр масс тела, и вращательного движения вокруг этой оси. Во втором - плоское движение рассматривается как мгновенно-вращательное движение вокруг мгновенной оси, расположение которой изменяется с течением времени и должно определяться соответствующими расчётами и схемами. Для теоретических исследований и практических расчётов оба способа обычно используются совместно.

При качении тел по поверхностям заданного профиля (например, в данной схеме по отвесным нитям) задача исследования упрощается, т. к. всегда известно расположение м. ц. с. и оси мгновенного вращения.

2.3. Считаем, что при скатывании тела по отвесной нити в воздушной среде силами трения и сопротивления можно пренебречь. Силу натяжения нити S,силу тяжести G и радиус намотки нити принимаем постоянными.

При этих условиях уравнения, описывающие движение тела, имеют простой вид типа алгебраических выражений, которые формулируются на основе известных законов кинематики и динамики равнопеременного движения с постоянным ускорением центра масс и постоянным угловым ускорением.

В первом способе - динамика скатывания цилиндра, показанного на схеме рис. 1б, описывается уравнениями:

(1а)

(1б)

Здесь: т - масса цилиндра; J_c - момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс; а_с - линейное ускорение центра масс, ε - угловое ускорение цилиндра; r - радиус цилиндра.

Первое уравнение (1а) - это закон динамики движения центра масс тела под действием внешних сил: силы тяжести G и силы натяжения 2S. Второе уравнение (1б) - это закон динамики вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс. Заметим, что согласно уравнению (1б) цилиндр вращается в результате действия момента сил натяжения нитей; момент силы тяжести относительно точки С оказывается равным нулю.

Примечание. Уравнения (1) и следующие ниже уравнения (2) записаны в виде проекций на соответствующие оси координат: Z и Y.

В двух уравнениях (1) при известной массе т и силе G содержатся четыре неизвестных величины (a_c, ε, S, J_c), так что для теоретического решения необходимо привлечь второй способ описания качения, учитывающий вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через т. Р.

Во втором способе применяются закон динамики для мгновенно-вращательного движения тела и формулы для расчёта ускорений и скоростей точек вращающегося тела:

(2a)

(2б)

= (2в)

Здесь: J_p=J_c+r²· m - момент инерции относительно мгновенной оси в т. Р, который вычисляется по теореме Штейнера, если, например, известен .

Первое уравнение (2а) - это закон динамики мгновенно-вращательного движения тела вокруг мгновенной оси, проходящей через т. Р. Согласно уравнению (2а) вращение происходит под действием момента силы тяжести, т. к. момент сил натяжения нитей относительно точки Р оказывается равным нулю.

Уравнения (2б) и (2в) получены из формулы Эйлера для скоростей точек при вращении тела вокруг оси в т. Р, и в данной системе координат они описывают условия кинематических связей между проекциями линейных и угловых скоростей и ускорений (с учётом разных знаков проекций).

Однако системы уравнений (1)-(2) также недостаточно для расчёта параметров движущегося тела, т. к. количество неизвестных больше числа уравнений. Следовательно, невозможно сравнение теоретических результатов расчёта с данными опыта.

Систему (1)-(2) дополним уравнениями кинематики прямолинейного движения центра масс, учитывая, что т. С цилиндра должна иметь постоянное ускорение а_с, т. к. силы G и S - стационарные, т. е. не изменяются со временем.

Длина пути т. С равна высоте спуска h при скатывании цилиндра из верхнего положения в нижнее (см. рис. 1б). Время спуска с высоты h измеряется в опыте.

Примечание. При качении тела по твёрдым поверхностям центр масс - это единственная точка тела, траектория которой повторяет профиль опорной поверхности. Если поверхность ровная, тогда центр масс движется прямолинейно, а все остальные точки тела движутся по криволинейным траекториям типа циклоид. На "холмистой" поверхности траектория центра масс становится криволинейной; у остальных точек тела вид траекторий еще более усложняется.

Если при скатывании по нити сама нить неподвижна, тогда центр масс тела движется прямолинейно по вертикали. Следует, однако, отметить, что приведённая здесь теория качения верна только для таких тел, у которых центр масс совпадает с центром симметрии. Если тело неоднородное, тогда центр масс и центр симметрии могут оказаться в разных точках, и расчёты движения усложняются

При условии, что в верхнем положении тело покоилось (т. е. = 0),

для длины пути центра масс получаем:

, (3)

где t_K - время спуска, измеряемое в опыте.

Из (3) имеем:

(4)

При постоянном ускорении скорость центра масс в конце спуска равна:

(5)

С помощью уравнений (1)-(5) при известных (из опыта) h и t_к полностью решается задача определения всех параметров при скатывании тела по отвесной нити.

Угловые скорость ω и ускорение ε вычисляются из (2б) и (2в). Неизвестный момент инерции J_p рассчитывается с помощью уравнения

(2а), затем - с учётом теоремы Штейнера - находим момент инерции J_с.

Силу натяжения нитей S можно найти из уравнений (1а), (1б) или почленным делением (1б) на (2а).

Примечание. В Приложении 1 дано дополнительное исследование некоторых свойств механического движения при скатывании тел по нитям, получен ряд формул, удобных для практических расчётов.

Значения ,ω , J_c, найденные с помощью уравнений (1)-(5), позволяют также исследовать энергетический баланс в проводимом опыте.