5.4.2. Выбор оптимального плана трелевки

Здесь представлен пример постановки транспортной задачи [3] для ситуации, когда объемы поставки не равняются объемам потребления. Задачи такого типа весьма актуальны в текущий момент в связи истощенным лесным фондом и, как следствие, наличием отводимых в рубку разрозненных лесосек неправильной конфигурации. Постановку задачи для нашего примера рассмотрим в последовательности, рекомендуемой в разделах 1.1, 1.5, 2.3.

5.4.2.1. Содержание заданной ситуации. Имеются две лесосеки Л₁ и Л₂, в каждой из которых базируется по одной лесозаготовительной бригаде. Обе бригады производят трелевку хлыстов на три погрузочных пункта П₁, П₂ и П₃. Изложенная ситуация представлена на рис. 5.19. Сменный объем трелевки с лесосеки Л₁–Q₁=250 м³, с лесосеки Л₂–Q₂=150 м³.

Вместимость погрузочных пунктов в расчете на смену составляет, соот­ветственно, V₁=200 м³; V₂=150 м³; V₃=100 м³. Себестоимость трелевки 1 м³ с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт составляет, соответственно: с первой на первый – 2 руб.; с первой на второй – 1,5 руб.; с первой на третий – 4 руб.; со второй на первый – 3 руб.; со второй на второй – 2 руб.; со второй на третий 1 руб. Для корректного решения рассматриваемой задачи введем допущение о том, что трелевка производится с условных центров лесосек. Перечисленные ранее затраты на трелевку 1 м³ являются средними по каждой лесосеке и определены трелевкой из условных центров.

Рис. 5.19. Графическое представление задачной ситуации

Необходимо определить такие объемы трелевки с каждой из лесосек на каждый погрузочный пункт, при которых суммарные затраты на трелевку были бы минимальны.

5.4.2.2. Постановка задачи выбора оптимального плана трелевки.

Определение цели. Найти объемы трелевки с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт, минимизирующие затраты на трелевку в смену (транспортные издержки).

Формулировка проблемы. Общая содержательная формулировка задачи дана в п. 5.4.2.1.

Этапы формулировки проблемы включают в себя:

1) управляемые переменные – сменные объемы трелевки с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт, м³;

2) переменные состояния – технологические и технико – экономические факторы: сменные объемы трелевки с каждой лесосеки, вместимости каждого погрузочного пункта, себестоимость трелевки 1 м³ с каждой лесосеки на каждый погрузочный пункт по соответствующим волокам, количество лесосек и погрузочных пунктов;

3) размерность задачи – определяется количеством управляемых переменных и ограничений с учетом несбалансированности, равняется девяти, временной интервал моделирования – смена;

4) критерий - суммарные затраты на трелевку, руб.

Построение математической модели. Для построения математической модели принимается допущение о том, что производится транспортировка однородной продукции и конструируемая транспортная модель является однопродуктовой. С порядком конструирования и решения многопродуктовых моделей можно познакомиться в [7 и 55].

Построение (конструирование) математической модели производится в следующем порядке:

1) обозначение переменных – объемов трелевки с каждой лесосеки в каждый погрузочный пункт – производится в соответствии с рис. 5.19 (в обозначениях первый индекс i соответствует номеру лесосеки, второй j – номеру погрузочного пункта) и имеет следующий вид: х₁₁, x₁₂, x₁₃, x₂₁, x₂₂, x₂₃; у – функция цели;

2) целевая функция разрабатывается исходя из того, что затраты на любой из маршрутов равны произведению себестоимости трелевки 1 м³ по данному маршруту на объем трелевки (пока неизвестный) лесоматериалов по этому же маршруту, отсюда и с учетом выражения (5.13) функция цели примет следующий вид:

у==2х₁₁+1,5x₁₂+4х₁₃+Зx₂₁+2х₂₂+1x₂₃;

3) построение ограничений производится на основе содержательной сущ­ности задачи, в которой отражены: а) ограничения на объем трелевки с каждой лесосеки: необходимо стрелевать с каждой лесосеки столько древесины, сколько на них заготавливается в смену; б) ограничения на объем поступления или по­требления: необходимо доставить на каждый погрузочный пункт столько древе­сины, сколько обеспечивает его вместимость, и не менее. В содержании задачи определено, что суммарный объем трелевки в смену Q=Q₁+Q₂=400 м³, а вме­стимость погрузочных пунктов V=V₁+V₂+V₃=450 м³. В этом случае имеем несбалансированную транспортную модель, Q<V. Приведение транспортной модели к сбалансированной, чтобы недостаток древесины в 50 м³ для погрузочных пунктов оптимально распределялся между ними, производится введением дополнительной фиктивной лесосеки Q_3ф со сменным объемом трелевки в 50 м³. В связи с тем, что реально такой лесосеки нет – трелевка из нее не производится, полагаем, что себестоимость трелевки с этой лесосеки равняется нулю.

Аналогичный прием можно использовать, если объем поставок больше объема потребления – объем трелевки с лесосек больше вместимости погрузочных пунктов. В этом случае вводится фиктивный погрузочный пункт. При введении фиктивной лесосеки Л_3ф появляются три дополнительные переменные х₃₁, х₃₂, х₃₃, и ограничения с учетом выражений (5.14)–(5.15) примут следующий вид:

x₁₁+x₁₂+x₁₃=Q₁;

x₂₁+x₂₂+x₂₃=Q₂;

x₃₁+x₃₂+x₃₃=Q_3ф;

x₁₁+x₂₁+x₃₁=V₁;

x₁₂+x₂₂+x₃₂=V₂;

x₁₃+x₂₃+x₃₃=V₃;

Итак, окончательная постановка задачи выглядит следующим образом: минимизировать

у==2х₁₁+1,5x₁₂+4х₁₃+Зx₂₁+2х₂₂+1x₂₃;

при ограничениях

x₁₁+x₁₂+x₁₃=Q₁;

x₂₁+x₂₂+x₂₃=Q₂;

x₃₁+x₃₂+x₃₃=Q₃;

x₁₁+x₂₁+x₃₁=V₁;

x₁₂+x₂₂+x₃₂=V₂;

x₁₃+x₂₃+x₃₃=V₃; (5.17)

x_ij0 для всех значений i и j. Аналогично ставятся другие транспортные задачи.

5.4.3.3. Алгебраическое решение задачи методом потенциалов.

Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов включает в себя следующую последовательность шагов:

1) нахождение начального допустимого решения;

2) выделение из числа небазисных переменных переменной, включаемой в базис; если все небазисные переменные удовлетворяют условию оптимальности симплекс-метода (см. разд. 5.3.8.3), то закончить вычисления, иначе перейти к шагу 3;

3).нахождение исключаемой из базиса переменной, используя условие допустимости симплекс-метода (см. разд. 5.3.8.3) из числа переменных текущего базиса, нахождение нового базисного решения и переход к шагу 2.

Процедура решения транспортной задачи на основе алгоритма.

Первый шаг алгоритма метода потенциалов – первая итерация. Более компактно транспортная модель представляется в виде так называемой транспортной таблицы, имеющей вид матрицы, в которой строки соответствуют исходным пунктам – лесосеки, а столбцы – пунктам потребления – погрузочные пункты. Коэффициенты себестоимости или затрат, руб./м³, располагаются в правом верхнем углу каждой клетки, i, j. На пересечении соответствующих строк и столбцов в клетках показываются объемы транспортировки, не противоречащие поставленным ограничениям.

Базисными переменными в транспортной таблице считаются те, которым присвоено какое-либо значение объема транспортировки. Поставленная транспортная задача имеет т+(n-1) независимых уравнений, и начальное допустимое решение должно иметь т+(n-1) базисных переменных. Сущность начального допустимого решения заключается в том, что необходимо получить такое допустимое распределение объемов транспортировки по маршрутам, при котором удовлетворялись бы поставленные ограничения. Иначе, сумма всех объемов по строкам и столбцам равнялась бы объемам заготовки соответствующих лесосек и объемам потребления (вместимости) соответствующих погрузочных пунктов.

Для нахождения начального базисного допустимого решения используется процедура, основанная на правиле северо-западного угла (известен также метод минимальной стоимости по принципу первоначального распределения объемов по маршрутам, имеющим минимальную себестоимость в порядке ее возрастания). На основе правила северо-западного угла объемы трелевки по маршрутам распределяются так, чтобы они удовлетворяли поставленным ограничениям, т. е. были бы допустимыми. Следуя этому правилу переменной х₁₁, расположенной в северо-западном углу таблицы, приписывается максимальное значение, допустимое ограничением на отгрузку Q₁ или потребление V₁. После этого вычеркивается соответствующий столбец или строка, для которого дальнейшее заполнение остальных клеток недопустимо по поставленному ограничению. Эта операция фиксирует тот факт, что остальные переменные вычеркнутого столбца равны нулю. Если ограничение выполняется одновременно для столбца и строки, то вычеркивается произвольно либо строка, либо столбец. Оставшийся объем распределяется на следующие клетки не вычеркнутых либо строки, либо столбца и так далее, до тех пор, пока не останется не вычеркнутой одна строка (столбец).

Рис. 5.20. Начальное допустимое решение

Процесс получения начального допустимого решения в целом выглядит следующим образом (в последовательности перехода и назначения объемов в 1 м³ по маршрутам от переменной к переменной). Из того, что модель предварительно была сбалансирована, Q=V, то отсюда следует, что одно уравнение является зависимым и транспортная модель содержит m+(n-1) (3+3-1=5) независимых уравнений и начальное базисное допустимое решение должно иметь 5 базисных переменных. Для нахождения начального базисного допустимого решения используем процедуру, основанную на правиле северо-западного угла

Базисные переменные (рис. 5.20) принимают значения x₁₁=200=>х₁₂=50=>x₂₂=100=>х₂₃=50=>х₃₃=50, остальные небазисные переменные равняются нулю. В реальности данный план означает, что необходимо произ­водить трелевку в указанных объемах, соответственно, из первой лесосеки на первый погрузочный пункт, из первой во второй, из второй во второй, из второй в третий, из третьей в третий. Для полученного плана затраты на трелевку составляют 200•2 + 50•1,5 + 100•2 + 50•1 + 50•0=735 руб. в смену.

Оптимален ли этот план? На этот вопрос дает ответ условие оптимальности симплекс-метода (см. разд. 5.3.8, наличие положительных коэффициентов при небазисных переменных транспортной таблицы).

Второй шаг алгоритма – нахождение включаемой в базис переменной на основе метода потенциалов. В методе потенциалов строке i и столбцу j транспортной таблицы ставятся в соответствие числа иv_j. Для каждой базисной переменной x_ij текущего решения потенциалы иv_j должны удовлетворять уравнению +v_j=c_ij. Количество таких уравнений, соответствующих базисным переменным, в виде системы т+п-1, и в этой системе (т+п) неизвестных. Если количество уравнений, соответствующих базисным переменным, менее чем т+п-1 (например, т+п-2), то для успешной реализации данного шага алгоритма за базисную принимается любая небазисная переменная, наиболее удобная для последующего построения цикла. Значения потенциалов можно определить из системы, придавая одному их них произвольное значение (обычно полагается _j=0). Затем решается система из т+п-1 уравнений относительно т+п-1 остальных потенциалов. Оценки для небазисных переменных х_pq определяются после получения решения для базисных переменных в соответствии с соотношением С_pq=и_р+v_q- (величины С_pq не зависят от выбора значения и_i).

В дальнейшем на основе С_pq для включения в базис выбирается небазисная переменная, имеющая наибольшее положительное значение С_pq (сравните с условием оптимальности симплекс-метода при решении задачи на отыскание минимума – в качестве включаемой в базис переменной выбирается та, при которой коэффициент в уравнении функции цели имеет наибольшее положительное значение). Используем рассмотренный метод к условиям поставленной нами задачи (см. рис. 5.21):

x₁₁: u₁+v₁=c₁₁=2;

x₁₂: u₁+v₂=c₁₂=1,5;

x₂₂: u₂+v₂=c₂₂=2;

x₂₃: u₂+v₃=c₂₃=1;

x₃₃: u₃+v₃=c₃₃=0.

Полагая и_i=0, получим v₁=2; v₂=1,5; и₂=0,5; v₃=0,5; u₃=-0,5. Оценки потенциалов для небазисных переменных:

x₁₃: C₁₃=u₁+v₃-c₁₃=0+0,5-4=-3,5

x₂₁: C₂₁=u₂+v₁-c₂₃=0,5+2-3=-0,5

x₃₁: C₁₃=u₃+v₁-c₃₁=-0,5+2-0=1,5

x₂₁: C₃₂=u₃+v₂-c₃₂=-0,5+1,5-0=1

В соответствии с условием оптимальности небазисная переменная х₃₁ (выделена подчеркиванием в тексте и штриховкой на рис. 5.21), имеющая максималь­ную положительную оценку С₃₁, принимается в качестве включаемой в базис.

Третий шаг алгоритма - нахождение исключаемой из базиса переменной и нового базисного решения. Нахождение переменной, исключаемой из базиса, производится посредством построения цикла. Этот шаг эквивалентен соответствующему шагу симплекс-метода (см. разд. 5.3.8) и выполняется на основе его условия допустимости. Однако здесь есть свои особенности применения условия допустимости, определяемые тем, что все коэффициенты в ограничениях транспортной задачи равны либо нулю, либо единице. Поэтому при проверке условия допустимости отношения будут иметь знаменатель, всегда равный единице. Исходя из изложенного, вместо отношений следует брать значения самих базисных переменных.

Для определения минимального отношения строится замкнутый цикл, соответствующий включаемой в базис переменной х₃₁ на данной итерации для рассматриваемой постановки задачи.

Правила построения цикла следующие: 1) цикл начинается и заканчивается включаемой в базис небазисной переменной; 2) он состоит из последовательности горизонтальных и вертикальных (связанных) отрезков, концами которых должны быть базисные переменные, за исключением тех концов, которые относятся к включаемой в базис переменной; 3) количество всех переменных, охваченных циклом, должно быть четным; 4) при построении цикла не существенно, в каком направлении – против или по часовой стрелке – происходит обход цикла.

Рис. 5.21. Второй и третий шаги первой итерации

Рассмотрим иллюстрацию цикла на нашем примере. Последовательность обхода и построения цикла согласно изложенным правилам следующая: x₃₁=>x₁₁=>x₁₂=>x₂₂=>x₂₃=>x₃₃=>x₃₁

Если значение (см. рис. 5.21) вводимой в базис переменной x₃₁ увеличивается на какую-либо величину, то для сохранения допустимости решения значения базисных переменных, стоящих на изломах рассматриваемого цикла, необходимо скорректировать следующим образом: уменьшить х₁₁ на эту величину, увеличить x₁₂ на эту величину, уменьшить x₂₂ на эту величину и т. д. в соответствии со знаками “-“(уменьшить) и "+"(увеличить), расставленными в соответствующих клетках таблицы. При подобном перераспределении объемов трелевки по маршрутам не будут нарушаться ограничения задачи на объемы заготовленной древесины с лесосек и объемы вместимости на погрузочных пунктах.

Переменная, исключаемая из базиса, выбирается из находящихся на изломах цикла переменных, значения которых уменьшаются при увеличении x₃₁. Они располагаются в таблице на местах, отмеченных знаком "-", это – x₁₁, x₂₂, x₃₃. Выводимой из базиса становится та, которая имеет наименьшее значение, поскольку именно она раньше всех достигает нуля, и любое дальнейшее уменьшение делает ее отрицательной (сравните с условием допустимости симплекс-метода, где исключаемая переменная определяется минимальным соотношением, здесь знаменатель равен 1). В нашем случае минимальна х₃₃=50, тогда значение x₃₁=50; х₁₁=150; х₁₂=100; х₂₂=50; х₂₃=100, и транспортная таблица принимает вид, представленный на рис. 5.22.

Суммарные затраты на трелевку (функция цели) для полученного плана равняются у=150•2+100•1,5 +50•2+100•1+50•0=650 руб.

Оптимальность нового решения определяется вычислением новых потенциалов:

x₁₁: u₁+v₁=2;

x₁₂: u₁+v₂=1,5;

x₂₂: u₂+v₂=2;

x₂₃: u₂+v₃=1;

x₃₁: u₃+v₁=0.

Полагая u₁=0, получим v₁=2; v₂=1,5; u₂=0,5; v₃=0,5; u₃=-2. Оценки потенциалов для небазисных переменных:

x₁₃: C₁₃=u₁+v₃-c₁₃=0+0,5-4=-3,5

x₂₁: C₂₁=u₂+v₁-c₂₁=0,5+2-3=-0,5

x₃₂: C₃₂=u₃+v₂-c₃₂=-2+1,5-0=-0,5

x₃₃: C₃₃=u₃+v₃-c₃₃=-2+0,5-0=-1,5

Рис. 5.22. Оптимальное решение

В соответствии с условием оптимальности можно сделать вывод о достижении оптимального решения. Полученный план трелевки древесины обеспечит минимальные затраты. При этом сменные маршруты и соответствующие объемы трелевки примут следующий вид (рис. 5.22): 150 м³ – по маршруту с первой лесосеки на первый погрузочный пункт; 100 м³ – по маршруту с первой лесосеки на второй погрузочный пункт; 50 м³ – по маршруту со второй лесосеки на второй погрузочный пункт; 100 м³ – со второй лесосеки на третий погрузочный пункт. И недостающие 50 м³ (фиктивные) – по маршруту с третьей фиктивной лесосеки на первый погрузочный пункт. Суммарные затраты (себестоимость) на трелевку при этом плане составят 650 рублей.