1. Метод Эйлера;

2. Рунге-Кутта 2-го порядка с фиксированным шагом;

3. Рунге-Кутта 3-го порядка с фиксированным шагом ;

4. Рунге-Кутта 4-го порядка с фиксированным шагом;

5. Рунге Кутта 4-го порядка с переменным шагом.

Как видно, только метод Эйлера приводит уровень в ноль (в течение интервала времени от 2 до 3 ). Причина этого то, что другие методы используют значение потока в течение шага времени при вычислении чистого потока полного шага. Так как «PULS» только включен в начале шага, чистый поток будет меньше чем значение L в момент времени 2. Если необходимо, возможно использовать специальную функцию «EULER» для решения этой проблемы методами интегрирования более высокого порядка.

Скорость моделирования

При моделировании методом Эйлера обычно требуется очень маленький временной шаг, что приводит к уменьшению скорости моделирования. Методы более высокого порядка дают более точные результаты, чем методы более низкого порядка, используя такой же временной шаг. Обычно временной шаг может быть увеличен более чем на порядок, например, переходя от метода Эйлера к методу Рунге-Кутта 4-го порядка подразумевается, что временной шаг может быть увеличен по крайней мере на четыре порядка без потери точности [124].

Колебание

Общая проблема с интегрированием методом Эйлера состоит в том, что это может привести колеблющуюся модель к отклонению - не из-за структуры модели, а из-за неточного интегрирования.

2.4. Примеры реализации

В этом разделе приведены примеры реализации основных элементов динамических конструкций систем средствами системы динамического моделирования Powersim.

Петли обратной связи На рис. 2.6. Представлены конструкции системы Powersim, реализующие петли отрицательной и положительной обратной связи.

Рис. 2.6. Петли отрицательной и положительной обратной связи

Петля отрицательной обратной связи уменьшает значение потока Rate_1 при увеличении значения уровня Level_1. Петля положительной обратной связи увеличивает значение потока Rate_2 при увеличении значения уровня Level_2.

Результат прогона модели представлен на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Результат прогона модели

Первая кривая показывает значения уровня Level_1 в интервале времени от 0 до 100 единиц, вторая кривая - значения уровня Level_2 на том же интервале времени. На графике видно, что значение уровня в случае отрицательной обратной связи стремиться стабилизироваться с течением времени, а в случае положительной обратной связи – экспоненциально растет.

Яйца, курицы, пересечения дорог

Построим модель влияния положительных и отрицательных обратных связей на примере, рассмотренном в первой главе книги. Положительная обратная связь реализует следующий механизм: чем больше куриц, тем больше они несут яиц, из которых через некоторое время появляются курицы, увеличивая общее число куриц.

Рис. 2.8. Модель «Яйца – курицы»

На рис. 2.8. представлена диаграмма, реализующая данный механизм. Здесь “chicken” – количество куриц (начальное значение «1»), “eggs” – количество яиц (начальное значение - 0), “make” – поток яиц, имеющий информационную связь с количеством куриц (каждая курица в каждую единицу времени несет по три яйца), “birth” – поток куриц, имеющий информационную связь с задержкой с потоком яиц (из каждого яйца через три единицы времени появляется одна курица).

Результат прогона модели представлен на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Результат прогона модели «Яйца – курицы»

На графике виден характерный экспоненциальный рост значений обоих уровней модели, имеющих положительную обратную связь. Кроме того, Powersim имеет возможность табличного представления результатов прогона модели (табл. 2.4).

Табл. 2.4. Результат прогона модели «Яйца – курицы»

Такое представление полезно в случае необходимости получения точных результатов моделирования, как, например, в случае интегрирования методом Эйлера с шагом «1».

Построим следующую модель, описанную в первой главе книги, иллюстрирующую отрицательную обратную связь между количеством куриц и пересечением дорог.

Рис. 2.10. Модель «Курицы – пересечения дорог»

На рис. 2.10 представлена диаграмма, реализующая отрицательную обратную связь между количеством куриц и числом пересечений дорог. Здесь “chicken” – количество куриц (начальное значение - 1000), “across” - поток пересечения дорог, имеющий информационную (положительную) связь с количеством куриц (каждая вторая курица пересекает дорогу каждую единицу времени), “death” - поток, обеспечивающий отрицательную связь количества куриц с числом пересечения дорог (каждая десятая пересекающая дорогу курица не возвращается обратно).

Результат прогона модели представлен на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Результат прогона модели «Курицы – пересечения дорог»

На графике видно, что если данная обратная связь в системе «курицы – дорога» единственная, то количество куриц будет снижаться до тех пор, пока не останется ни одной.

В реальных системах всегда действует множество обратных связей, формируя сложное динамическое поведение системы.

Попробуем приблизить наши модели к реальному миру, соединив их в одну модель «Яйца - курицы – пересечения дорог» (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Модель «Яйца - курицы – пересечения дорог»

На рис. 2.12 представлена модель, полученная в результате соединения моделей «Яйца - курицы» и «Курицы – пересечения дорог» через уровень “chicken” – количество куриц.

Результат прогона данной модели представлен на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Результат прогона модели «Яйца - курицы – пересечения дорог»

На графике видны характерные осцилляции, вызванные действием обратных связей и задержкой. Количество куриц (кривая 2) в начальные три единицы времени уменьшается под действием отрицательной обратной связи «курицы – пересечения дорог». Далее начинает оказывать действие положительная обратная связь «яйца – курицы» и приводит к увеличению количества куриц, причем результат происходившего ранее уменьшения количества куриц отражается на текущем количестве куриц через положительную обратную связь также с задержкой на три единицы времени. Но с увеличением числа куриц увеличивается и результат действия отрицательной обратной связи, что, совместно с влиянием предыдущего снижения числа куриц, приводит опять к снижению их количества и т.д.

Количество пересечений дорог (кривая 3) имеет аналогичный вид, так как связана с количеством куриц отрицательной обратной связью без задержки.

Количество яиц (кривая 1), как видим на графике, вначале увеличивается благодаря действию положительной обратной связи, причем продолжает увеличиваться и при снижении числа куриц благодаря задержке в цепи положительной обратной связи «яйца – курицы». Далее видим циклические изменения количества яиц в противофазе с изменением числа куриц, что также объясняется наличием задержки в цепи положительной обратной связи.

Также на графике наблюдается характерное затухание колебаний кривых, соответствующих значениям количества яиц, куриц, пересечений дорог и тенденции к их стабилизации около значений 900, 400, 300 соответственно, что отличается от исходных значений этих параметров (0, 1000, 700) в начале симуляции. Это говорит о том, что система перешла в новое, возможно устойчивое, состояние.

Таким образом, на этом примитивном примере нам удалось получить те же закономерности, которые наблюдаются, например, в демографических системах государств после войны – волновые изменения численности населения.

Теперь исследуем поведение модели «Яйца - курицы – пересечения дорог» при изменении параметров обратных связей.

«Усилим» положительную обратную связь «яйца – курицы». Пусть каждая курица в каждую единицу времени несет не по три яйца, а – по четыре.

Результат прогона данной модели представлен на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Результат второго прогона модели «Яйца - курицы – пересечения дорог»

На графике также наблюдаются колебания количества яиц (кривая 1), куриц (кривая 2) и пересечений дорог (кривая 3). Только в отличие от предыдущей ситуации значения исследуемых параметров модели не стабилизируются, а наоборот, характерен экспоненциальный рост значений всех параметров, как в случае системы с положительной обратной связью (рис. 2.9). В данном случае положительная обратная связь оказывает определяющее влияние на систему, подавляя отрицательную обратную связь.

А теперь «усилим» отрицательную обратную связь «курицы – пересечения дорог». Пусть не каждая вторая, а каждая курица в каждую единицу времени пересекает дорогу.

Результат прогона данной модели представлен на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Результат третьего прогона модели «Яйца - курицы – пересечения дорог»

В данной ситуации на графике наблюдаются затухающие колебания всех кривых на фоне тенденции снижения количества яиц (кривая 1), куриц (кривая 2) и соответственно пересечений дорог (кривая 3). «Сильная» отрицательная обратная связь подавляет действие положительной обратной связи и оказывает определяющее влияние на поведение модели. В результате, если в такой ситуации увеличить время симуляции, например до 100 единиц, то значения всех параметров достигнут нуля (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Результат четвертого прогона модели «Яйца - курицы – пересечения дорог»