3. Теорема сложения вероятностей

Вероятность появления хотя бы одного из событий равна

Следствие 2. Если событияпопарно несовместные, то

Действительно в этом случае

Пример 4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда

Следствие 3. Если попарно несовместные события образуют полную группу, то

Следствие 4.Для противоположных событий

Иногда при решении задач легче найти вероятность противоположного события. Например в примере 4 - промах при трех выстрелах. Так как независимые в совокупности, ито

Следствие 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности равна

(1)

где - вероятности появления событий.

В случае, если имеют одинаковую вероятность , то формула (1) имеет вид , где

4. Формула полной вероятности

Задача 1. Пусть событие может наступить или не наступить с одним из несовместных событий (гипотез)образующих полную группу. Пусть известны

и условные вероятности. Тогда справедлива формула полной вероятности

(1)

Пример 1. В цехе типа станков с одинаковой производительностью изготавливают один и те же детали. Станки первого типа производят 0,94 деталей стандартного качества, 2-го типа-0,9, 3-го типа –0,85, которые в нерассортированном виде лежат на складе. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартного качества, если станков 1-го типа 5,2-го, 3-го –2.

Решение. Пусть - наудачу взятая деталь стандартного качества. Тогда гипотезы: - деталь произведена станком 1-го типа, - 2-го типа, - 3-го типа. Так как производитель-ность станков одинакова, то . Если деталь произведена станком 1-го типа, то . Аналогично

5.Формула Бейеса

Предположим, что при условиях задачи 1 произведено испытание, в результате которого появилось событие . Как изменится вероятности гипотез в связи с появлением.

Теорема гипотез (формула Бейеса).Вероятности гипотез после испытания равна

. (2)

Пример 2. В условиях примера 5 наудачу взятая деталь оказалась стандартного качества. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена на станке 2-го типа .

Решение. - вероятность гипотезы до испытания (до появления события), - после испытания.

Пример из экономики. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 30% - другие банки, остальные – физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01; 0,05; 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсовом сообщении имя клиента плохо пропечаталось. Какова вероятность, что кредит не возвращает какой-то банк.

Решение. Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть - означает невозврат кредита соответственно от госоргана, банка и физического лица.- невозврат рассматриваемого кредита.Тогда

По формуле Бейеса найдем искомую вероятность:

.

6. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Если производится несколько испытаний, в результате которых может появится событие в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то эти испытания будут называться независимыми от . В этом пункте посылаем, что в одинаковых условиях производится независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с постоянной вероятностью .

Тогда вероятность появления события ровно раз в испытаниях определяется формулой Бернули

Пример 1. Вероятность попадания при каждом выстреле . Найти вероятность попадания ровно 4 раза из 6 выстрелов.

.

Пример из экономики. Каждый пятый клиент банка приходит,чтобы брать проценты с вклада. В данный момент на обслуживании шесть человек. Найти вероятность того, что из них будут брать проценты: а)только 2 клиента; б) хотя бы один.

Решение. Пусть А- человек в очереди будет брать проценты, тогда . Ответ на а) – это вероятность. Что касается б), то искомую вероятность легче вычислить с помощью вероятности противоположного события: