2.Дифференциальные уравнения
Задача 1.Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в видеj(х, у) = С.)
|
1.1. 4xdx - 3ydy = 3x2ydy – 2ху2dx.
|
1.2.
|
|
1.3.
|
1.4.
|
|
1.5. 6xdx - 6ydy = 2x2ydy – 3ху2dx.
|
1.6.
|
|
1.7. (е2x + 5)dy + yе2xdx = 0.
|
1.8.
|
|
1.9. 6xdx - 6ydy = 3x2ydy – 2ху2dx.
|
1.10.
|
|
1.11. y(4 + еx)dy - еxdx = 0.
|
1.12.
|
|
1.13. 2xdx - 2ydy = x2ydy – 2ху2dx. |
1.14.
|
|
1.15. (еx + 8)dy - yеxdx = 0.
|
1.16.
|
|
1.17. 6xdx - ydy = yx2dy – 3ху2dx.
|
1.18.
ylny
+ х |
|
1.19.
(1 + еx)
|
1.20.
|
|
1.21. 6xdx - 2ydy = 2yx2dy – 3ху2dx.
|
1.22.
y(1
+ lny)
+ х |
|
1.23.
(3 + еx)y
|
1.24.
|
|
1.25. xdx - ydy = yx2dy – ху2dx.
|
1.26.
|
|
1.27.
(1 + еx)y
|
1.28.
3(x2y
+ y)dy
+
|
|
1.29 2xdx - ydy = yx2dy – ху2dx.
|
1.30.
2x
+ 2хy2
+
|
.
- уdy
= x2ydy.
- уdy
= x2ydy.
.
.
.
+ ху2
+ x
= 0.
.
.
=0
=yex.
+ ху2
+ x
= 0.
= 0.
=ex.
.
dx
+ 4(х2у
+ у)dy
= 0.
=ex.
= 0.
= 0.Задача 2.Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
|
2.1.
|
2.2.
|
|
2.3.
|
2.4.
|
|
2.5.
|
2.6.
|
|
2.7.
|
2.8.
|
|
2.9.
|
2.10.
|
|
2.11.
|
2.12.
|
|
2.13.
|
2.14.
|
|
2.15.
|
2.16.
|
|
2.17.
|
2.18.
|
|
2.19.
|
2.20.
|
|
2.21.
|
2.22.
|
|
2.23.
|
2.24.
|
|
2.25.
|
2.26.
|
|
2.27.
|
2.28.
|
|
2.29.
|
2.30.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Задача 3.Найти решение задачи Коши.
1.
,
у(1) = 0.
2.
-
уctgx
= 2xsinx,
у(p/2)
= 0.
3.
+
уcosx
=
sin2x,
у(0) = 0.
4.
+
уtgx
= cos2x,
у(p/4)
= 1/2.
5.
=x2
+ 2x,
у(-1) = 3/2.
6.
у
= еx(x
+ 1), у(0) = 1.
7.
=xsinx,
у(
)
= 1.
8.
=sinx,
у(p)
=
.
9.
=x2,
у(1) = 1.
10.
,
у(0) = 2/3.
11.
,
у(2) = 4.
12.
,
у(1) = е.
13.
,
у(1) = 1.
14.
,
у(1) = 4.
15.
,
у(1) = -5/6.
16.
,
у(1) = 1.
17.
,
у(1) = 3.
18.
,
у(1) = 1.
19.
,
у(1) = 1.
20.
+
2ху = -2x3,
у(1) = е-1.
21.
,
у(0) = 2/3.
22.
+
ху = -x3,
у(0) = 3.
23.
,
у(0) = 1.
24.
25.
,
у(0) = 1/2.
26.
-ycosx
= - sin2x,
у(0) = 3.
27.
-
4xy
= - 4x3,
у(0) = -1/2.
28.
,
у(1) = 1.
29.
-
3x2y
= x2(1
+ x3)/3,
у(0) = 0.
30.
-ycosx
= sin2x,
у(0) = -1.
Задача 4.Найти решение задачи Коши.
1.
+ ху = (1 + х)е-ху2,
у(0) = 1.
2. х
+ у = 2у2lnx,
у(1) = 1/2.
3. 2(х
+ у) =xу2,
у(1) = 2.
4.
+ 4x3у
= 4(x3
+ 1)е-4ху2,
у(0) = 1.
5. х
- у = -у2(lnx
+ 2)lnx,
у(1) = 1.
6. 2(
+xу)
= (1 + x)e-xу2,
у(0) = 2.
7. 3(х
+ у) = у2lnx,
у(1) = 3.
8. 2
+ уcosx
= у-1cosx(1
+ sinx),
у(0) = 1.
9.
+ 4x3y
= 4у2e4x(1
– x3),
у(0) = -1.
10. 3
,
у(0) = -1.
11. 2х
- 3y
= -(5х2
+ 3)у3,
у(1) = 1/
.
12. 3х
+ 5у = (4x
– 5)у4,
у(1) = 1.
13. 2
+ 3ycosx = e2x(2
+ 3cosx)y-1,
у(0)
= 1.
14. 3(x
+ у) =xу2,
у(1) = 3.
15.
- у = 2xу2,
у(0) = 1/2.
16. 2х
- 3y
= -(20х2
+ 12)у3,
у(1) = 1/2
.
17.
+ 2xy
= 2х3у3,
у(0) =
.
18. х
+ у = у2lnx,
у(1) = 1.
19. 2
+ 3ycosx
= (8 + 12cosx)e2xy-3,
у(0) = 2.
20. 4
+x3y
= (x3
+ 8)e-2xy2,
у(0) = 1.
21. 3х
- 12y
= -(5х2 +
3)у3,
у(1) =
.
22. 2(
+ у) =xу2,
у(0) = 2.
23.
+xy
= (x
- 1)exy2,
у(0) = 1.
24. 2
- 3ycosx = -e-2x(2
+ 3cosx)y-1,
у(0)
= 1.
25.
- у =xу2,
у(0) = 1.
26. 2(х
+ у) = у2lnx,
у(1) = 2.
27.
+ у =xу2,
у(0) = 1.
28.
+ 2уcthx
= у2chx,
у(1) = 1/sh1.
29. 2(
+xy)
= (x
- 1)exy2,
у(0) = 2.
30.
-ytgx
= -(2/3)y4sinx,
у(0) = 1.
Задача 5.Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
1. 3x2eydx + (x3ey – 1)dy = 0.
2.
.
3. (3x2 + 4у2)dx + (8xy + ey)dy = 0.
4.
.
5. (y2 + уsec2х)dx + (2xy + tgx)dy = 0.
6. (3x2y + 2у + 3)dx + (x3 + 2x + 3y2)dy = 0.
7.
.
8. [sin2x – 2cos(x + y)]dx – 2cos(x + y)dy = 0.
9. (xy2 + x/у2)dx + (x2y – x2/y3)dy = 0.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19. eydx + (cosy + xey)dy = 0.
20. (y3 + cosx)dx + (3xy2 + ey)dy = 0.
21.
.8
22. (5xy2 – x3)dx + (5x2y - y)dy = 0.
23. [cos(x + y2) + sinx]dx + 2ycos(x + y2)dy = 0.
24. (x2 – 4xy – 2y2)dx + (y2 – 4xy – 2x2)dy = 0.
25.
.
26.
.
27.
.
28. 2(3xу2 + 2x3)dx + 3(2х2у + у2)dy = 0.
29. (3x3 + 6x2у+3xy2)dx + (2х3 + 3х2у)dy = 0.
30. xу2dx + у(х2 + у2)dy = 0.
Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
|
1.
|
2.
|
|
3.
|
4.
|
|
5.
|
6.
|
|
7.
|
8.
|
|
9.
|
10.
|
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
|
15.
|
16.
|
|
17.
|
18.
|
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
|
27.
|
28.
|
|
29.
|
30.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.Задача 7.Найти общее решение дифференциального уравнения.
|
1.
|
2.
|
|
3.
|
4.
|
|
5.
|
6.
|
|
7.
|
8.
|
|
9.
|
10.
|
|
11.
|
12.
|
|
13.
|
14.
|
|
15.
|
16.
|
|
17.
|
18. |
|
19.
|
20.
|
|
21.
|
22.
|
|
23.
|
24.
|
|
25.
|
26.
|
|
27.
|
28.
|
|
29.
|
30.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Решение типового варианта индивидуального задания №4
Функция нескольких переменных
Задача №1. Найти частные производные и частные дифференциалы следующей функции.
Решение:
;
Задача №2.
Вычислить значения частных производных
,
,
для данной функции
в точке
с
точностью до двух знаков после запятой.
Решение:
;
;
;
;
;
Ответ:
;
;
Задача №3.
Найти полный дифференциал
функции
.
Решение:
;
;
Ответ:
Задача №4.
Найти уравнение
касательной плоскости и нормали к
заданной поверхности S:
в точке
Решение:Найдем уравнение касательной плоскости в виде
.
У нас
;
;
.
Тогда уравнение касательной плоскости
будет иметь вид:
или уравнение нормали:
принимает вид:
Задача №5.
Найти вторые частные
производные функции
.
Убедиться в том, что
Решение:
Итак,
Задача №6.
Исследовать на экстремум функцию
Решение:Используем необходимые условия экстремума функции, чтобы найти стационарные точки
точка
стационарная
точка функции
Вычислим
,
,
;
;
Используя достаточные условия экстремума функции, получаем
экстремум
есть, т.к.
в
точке (1,1) находится максимум функции
Ответ:
