Индивидуальное задание №1
1.Функция нескольких переменных
Задача 1.Найти область определения указанных функций
|
1.1.
|
1.2. |
|
1.3.
|
1.4.
|
|
1.5.
|
1.6.
|
|
1.7.
|
1.8.
|
|
1.9.
|
1.10.
|
|
1.11.
|
1.12.
|
|
1.13.
|
1.14.
|
|
1.15.
|
1.16.
|
|
1.17.
|
1.18.
|
|
1.19.
|
1.20.
|
|
1.21.
|
1.22.
|
|
1.23.
|
1.24.
|
|
1.25.
|
1.26.
|
|
1.27.
|
1.28.
|
|
1.29.
|
1.30.
|
Задача 2.Вычислить значения частных
производных
для данной функцииf(х,у,z)в точке М0(х0, у0,z0)
с точностью до двух знаков после запятой
|
2.1.
f(x,
y,
z)
= М0(0, -1, 1). |
2.2. f(x,
y,
z)
=
М0(1,2,1). |
|
2.3.
f(x,
y,
z)
=
М0(/6, 1, 2). |
2.4. f(x, y, z) = ln(x3+2у3-z3), М0(2, 1, 0). |
|
2.5.
f(x, y, z) =
М0(1, 0, 1). |
2.6.
f(x, y, z) =
М0(0,
0,
|
|
2.7.
f(x, y, z) =
М0(3, 4, 2). |
2.8.
f(x, y, z) =
М0(2, 1, 0). |
|
2.9.
f(x, y, z) =
М0(2, 5, 0). |
2.10.
f(x, y, z) =
М0(2, 0, 4). |
|
2.11.
f(x, y, z) =
М0(-1, 1, 0). |
2.12.
f(x, y, z) =
М0(2, 1, 1). |
|
2.13.
f(x, y, z)= М0(1,1/2, ). |
2.14.
f(x, y, z) =
М0(1, 1, 2). |
|
2.15.
f(x, y, z)= М0(1, 2, 2). |
2.16.
f(x, y, z)= М0(5,2,3) |
|
2.17.
f(x, y, z) =
М0(1, 2, 4).
|
2.18.
f(x, y, z) =
|
|
2.19.
f(x, y, z) =
М0(2, 1, 8). |
2.20.
f(x, y, z) =
М0(2, 3, 25).
|
|
2.21.
f(x, y, z) =
М0(3, 2, 1). |
2.22.
f(x, y, z) =
М0(1, 1, 1). |
|
2.23.
f(x, y, z) =
М0(3, 0, 1). |
2.24.
f(x, y, z) =
М0(0, 0, 1).
|
|
2.25.
f(x, y, z) =
М0( |
2.26.
f(x, y, z) =
М0(4, 1, 4). |
|
2.27.
f(x, y, z) =
М0(3, 1, 1).
|
2.28.
f(x,y,z)= М0(3,4, |
|
2.29.
f(x, y, z) =
М0(0, 1, 1). |
2.30.
f(x, y, z) = |
,
,
,
).
,
,
,
,
,
М0(
).
,
,
).
).
М0(0,4,1).
Задача 3.Найти полные дифференциалы указанных функций
|
3.1. z = 2x3y – 4xy5. |
3.2. z = x2ysinx – 3y. |
|
3.3.
z = arctgx +
|
3.4. z = arcsin(xy) – 3xy2. |
|
3.5. z = 5xy4 + 2х2y7. |
3.6. z = cos(x2 – y2) + x3. |
|
3.7. z = ln(3x2 - 2y2). |
3.8. z = 5xy2 – 3x3y4. |
|
3.9. z = arcsin(x+y). |
3.10. z = arctg(2x –y). |
|
3.11.
z = 7x3y
-
|
3.12.
z =
|
|
3.13.
z =
|
3.14. z = cos(3x + y) – x2. |
|
3.15. z = tg((x + y)/(x - y)). |
3.16. z = сtg(y/x). |
|
3.17. z = xy4 – 3x2y+1. |
3.18. z = ln(x + xy – y2). |
|
3.19. z = 2x2y2 + x3 – y3. |
3.20.
z =
|
|
3.21. z = arcsin((x + y)/х). |
3.22. z = arctg(x - y). |
|
3.23.
z =
|
3.24. z = y2 - 3xy – x4. |
|
3.25. z = arccos(x + y). |
3.26. z = ln(y2 – x2 +3). |
|
3.27. z = 2 – x3 – y3 + 5х. |
3.28. z = 7х – x3y2 + y4. |
|
3.29. z = ey-x. |
3.30. z = arctg(2x - y). |
.
.
.
.
.
.Задача 4.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхностиSв точке М0(х0, у0,z0):
1. S: x2 + y2 + z2 +6z - 4x + 8 = 0, М0(2, 1, -1).
2. S: x2 + z2 – 4y2 = - 2xy, М0(-2, 1, 2).
3. S: x2 + y2 + z2 – xy + 3z = 7, М0(1, 2, 1).
4. S: x2 + y2 + z2 + 6y + 4z = 8, М0(-1, 1, 2).
5. S: 2x2 - y2 + z2 - 4z + y = 13, М0(2, 1, -1).
6. S: x2 + y2 + z2 - 6y + 4z +4= 0, М0(2, 1, -1).
7. S: x2 + z2 – 5yz + 3y = 46, М0(1, 2, -3).
8. S: x2 + y2 – xz - yz = 0, М0(0, 2, 2).
9. S: x2 + y2 + 2yz – z2 + y – 2z = 2, М0(1, 1, 1).
10. S: y2 – z2 + x2 – 2xz + 2x = z, М0(1, 1, 1).
11. S: z = x2 + y2 – 2xy + 2x - y, М0(-1, -1, -1).
12. S: z = y2 – x2 + 2xy - 3y, М0(1, -1, 1).
13. S: z = x2 - y2 – 2xy - x - 2y, М0(-1, 1, 1).
14. S: x2 -2y2 + z2 + xz – 4y = 13, М0(3, 1, 2).
15. S: 4y2 – z2 + 4xy – xz + 3z = 9, М0(1, -2, 1).
16. S: z = x2 + y2 – 3xy - x + y + 2, М0(2, 1, 0).
17. S: 2x2 - y2 + 2z2 + xy + xz = 3, М0(1, 2, 1).
18. S: x2 - y2 + z2 - 4x + 2y = 14, М0(3, 1, 4).
19. S: x2 + y2 - z2 + xz + 4y = 4, М0(1, 1, 2).
20. S: x2 - y2 - z2 + xz + 4x = -5, М0(-2, 1, 0).
21. S: x2 + y2 - xz + yz - 3x = 11, М0(1, 4, -1).
22. S: x2
+ 2y2
+ z2 -
4xz = 8, М0(0,
2, 0).
23. S: x2 - y2 - 2z2 - 2y = 0, М0(-1, -1, 1).
24. S: x2 + y2 - 3z2 + xy = - 2z, М0(1, 0, 1).
25. S: 2x2 - y2 + z2 - 6x + 2y + 6 = 0, М0(1, -1, 1).
26. S: x2 + y2 - z2 + 6xy - z = 8, М0(1, 1, 0).
27. S: z = 2x2 - 3y2 + 4x - 2y + 10, М0(-1, 1, 3).
28. S: z = x2 + y2 - 4xy + 3x - 15, М0(-1, 3, 4).
29. S: z = x2 + 2y2 + 4xy – 5y - 10, М0(-7, 1, 8).
30. S: z = 2x2 - 3y2 + xy + 3x + 1, М0(1, -1, 2).
Задача 5.Найти вторые частные
производные указанных функций. Убедиться
в том, что
.
|
1.
z
=
|
2. z = ctg(x + y). |
|
3. z = tg(x/y). |
4. z = cos(xy2). |
|
5. z = sin(x2 - y). |
6. z = arctg(x + y). |
|
7. z = arcsin(x - y). |
8. z = arccos(2x + y). |
|
9. z = arctg(x - 3y). |
10. z = ln(3x2 - 2y2). |
|
11.
z =
|
12. z = ctg(y/x). |
|
13.
z = tg |
14. z = cos(x2y2 –5). |
|
15.
z = sin |
16. z = arcsin(x - 2y). |
|
17. z = arccos(4x - y). |
18. z = arctg(5x + 2y). |
|
19. z = arctg(2x - y). |
20. z = ln(4x2 - 5y3). |
|
21.
z =
|
22. z = arcsin(4x + y). |
|
23. z = arccos(x - 5y). |
24.
z = sin |
|
25. z = cos(3x2 – y3). |
26. z = arctg(3x + 2y). |
|
27. z = ln(5x2 - 3y4). |
28. z = arcctg(x - 4y). |
|
29. z = ln(3xy - 4). |
30. z = tg(xy2). |
.
.
.
.
.
.
Задача 6. Исследовать на экстремумы следующие функции
|
1. z = x2-2y²-x+14y |
2 |
|
3. z = 1+15 x -2x²- xy -2y². |
4. z = 1+6 x -x²- xy - y². |
|
5. z = x³+y²-6xy-39х +18у+20. |
6. z = 2x³+2y³-6xy +5. |
|
7. z = 3x³+3y³-9xy +10. |
8. z = x² + xy +y² +х – у+1. |
|
9. z = 4 (x –y)- x² - y². |
10. z = 6 (x –y)-3x² - 3y². |
|
11. z = x² + xy +y² - 6х – 9у. |
12. z = (x – 2)² + 2y² - 10. |
|
13. z = (x – 5)² + y² + 1. |
14. z = x³ + y³ - 3xy. |
|
15.
z = 2xy - 2x² - 4y². |
16. z = х√у - х²- y +6х +3. |
|
17. z = 2xу - 5x² - 3y² +2m. |
18. z = xy (12 - x – y). |
|
19. z = xу - x² - y² +9. |
20. z = 2xу - 3x² - 2y² + 10. |
|
21.
z = x³ + 8y³ - 6xy + 1.
|
22. z = у√х - у²- х - 6у. |
|
23. z = x² - xy +y² + 9х + 6у +20. |
24. z = ху (6 - х – у). |
|
25. z = x² + y² - ху + х + у. |
26. z = x² + xy +y² - 2х - у. |
|
27. z = (x – 1)² + 2y² . |
28. z = ху - 3x² - 2y². |
|
29. z = x² + 3 (у +2)². |
30. z = 2 (х + у) -x² - y². |
.
z= x³+8y³-6xy+5.
