Арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.
Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112:
|
|
Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:
1102 = 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 610;
112 = 1 × 21 + 1 × 20 = 310;
610 + 310 = 910 .
Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:
10012 = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 910 .
Сравним результаты - сложение выполнено правильно.
Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:
|
|
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112:
|
|
Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:
|
|
Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 1102 и 112:
|
|
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 на 112:
|
|
Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Аналогично можно выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатерич-ной системах счисления. Необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления:
|
|
Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.
Задания
1.22. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 10102 и 102 и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора.
1.23. Сложить восьмеричные числа: 58 и 48, 178 и 418.
1.24. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F16 и А16, 4116 и 1716.
1.25. Сложить числа: 178 и 1716, 418 и 4116
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ
С цифрами двоичного числа можно выполнять арифметические операции. При этом выполняются правила двоичной арифметики:
|
0+0=0 |
0*0=0 |
|
1+0=1 |
1*0=0 |
|
0+1=1 |
0*1=0 |
|
1+1= 0 (+ перенос единицы в старший разряд) |
1*1= 1 |
Все арифметические операции над двоичными числами можно свести к 2-м операциям: сложению и сдвигу кодов. Это позволяет технически реализовать четыре арифметических действия в одном арифметико-логическом устройстве, используя одни и те же электронные схемы. Впрочем, и в десятичной арифметике в конечном итоге выполняются те же действия – сложение и сдвиг.
Cложение двоичных чисел
Выполним сложение двух двоичных чисел 110012 и 100012
|
+ |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Задание: Самостоятельно выполните сложение двоичных чисел: 111002 и 100111112
Вычитание двоичных чисел
Вычитание – обратная операция сложению так же может быть представлена в виде сложения, но только с отрицательным числом. Выполним вычитание двух двоичных чисел 110012 и 100012
|
- |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
Задание: выполните вычитание двух чисел 1011102 и 10012
Умножение и деление двоичных чисел
Умножение и деление производится поразрядно и сводятся к двум операциям: сложению и сдвигу. Выполним умножение двоичных чисел 110012 и 10012
|
|
|
|
|
* |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Задание: самостоятельно перемножьте числа 11102 и 100012
Деление так же можно представить как выполнение операций сложения и сдвига.
Задание: выполните самостоятельно деление двоичного числа 1100110 на двоичное число 110
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ВОСЬМЕТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ
Сложение и вычитание в 8-ной и 16-ной системах счисления
При выполнении действий сложения и вычитания в 8-ной системе счисления необходимо помнить: в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита; основание восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. переполнение наступает, когда результат сложения больше или равен 8. В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения; если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде 8 единиц. Примеры. Сложить восьмеричные числа 7708 и 2368 .
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
+ |
7 |
7 |
0 |
|
|
|
2 |
3 |
6 |
|
|
1 |
2 |
2 |
6 |
Примеры на закрепление: выполнить действия в восьмеричной системе счисления. 7158 + 3738 5248 + 578
Выполнить вычитание восьмеричных чисел 7508 и 2368.
|
|
|
|
4 |
8 |
|
|
_ |
7 |
5 |
0 |
|
|
|
2 |
3 |
6 |
|
|
|
5 |
1 |
2 |
Примеры на закрепление: выполнить действия в восьмеричной системе счисления. 1378 - 72,38 4368 - 2578
При выполнении действий сложения и вычитания в 16-ной системе счисления необходимо помнить: в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры шестнадцатеричного алфавита (0-9, A-F) Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, т.е. переполнение наступает, когда результат сложения больше или равен 16. В этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения; если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде 16 единиц.
Примеры. Сложить шестнадцатеричные числа B0916 и EFA16
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
+ |
B |
0 |
9 |
|
|
|
E |
F |
A |
|
|
1 |
A |
0 |
3 |
Примеры на закрепление: выполнить действия в шестнадцатеричной системе счисления. A1316 + 1CF16 F0B,816 + 1DA,C116
Выполнить вычитание шестнадцатеричных чисел B0916 и 7FA16.
|
|
|
10 |
15 |
16 |
|
|
_ |
B |
0 |
9 |
|
|
|
7 |
F |
A |
|
|
|
3 |
0 |
F |
Примеры на закрепление: выполнить действия в шестнадцатеричной системе счисления. A1316 - 1CF16 DFA,B816 - 1AE,9416