lek2
.pdf
Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии (МИИГАиК)
ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Курс лекций
Голубев В.В.
Приведение неравноточных измерений к равноточным
Пусть Y измеряется с весом PY.
Переход к равноточным измерениям может быть осуществлен, исходя из свойства
функции F=√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
PY |
|
|
|
√p1 0 …… 0 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
= 1 |
|
|
P |
0.5= |
0 |
√ p2 |
…. 0 |
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……………….. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
РY |
|
|
|
y |
0 0 …… √pn |
||||||
|
|
|
РY |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
РF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
Y i = fi(X1,X2 ,…, Xk) |
||||||
F = Y * PY |
|
PY0.5 |
|
|
V = A |
X + L |
||||||||||||||
Y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f (X) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 0.5 |
V = P |
0.5 |
A |
X + P 0.5 |
L |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
Y |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
V´ = A ´ |
X + L´ |
|||||||||||||||
PY0.5 Y = PY0.5 f (X) |
|
|||||||||||||||||||
Вывод нормальных уравнений для неравноточных измерений. 1-ый подход.
V´ = A ´ X + L´ |
ATA X + AT L = 0 |
|
V´= PY0.5 V |
A´= PY0.5A |
L´=PY0.5L |
A´TA´ X + A´T L´ = 0
ATPY0.5PY0.5A X + AT PY0.5PY0.5L = 0
ATPA X + AT PL = 0 |
ATA X + AT L = 0 |
Вывод нормальных уравнений для неравноточных измерений. 2-ой подход.
V´ = A´ X + L´ Ф=V´TV´=min
∂Ф = |
∂ Ф ∂ V´ |
T |
|
T |
0.5 |
|
0.5 |
|
∂ X |
∂ V´ ∂ X= 2V´ |
A´ =2V P |
|
P |
|
A=0 |
||
|
ATPV = 0 (5) |
V = A |
X + L |
|
||||
ATP (A X + L)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ATP A X + ATP L=0 |
|
(6) |
|
|
|
|
||
R X + ATP L=0
нормальные уравнения поправок для неравноточных измерений в обычном виде
ATPA X + ATPL = 0 |
(6) |
p1 0… 0 0 p2 … 0
P = ……………
0 0 … pn
[pа1а1] δX 1 + [pа1а2] δX 2 + …+ [pа1аk] δX k+ [pа1 l ] = 0 [pа1а2] δX 1 + [pа2а2] δX 2 + …+ [pа2аk] δX k+ [pа2 l ] = 0
……………………………………………………..
[pа1аk] δX 1 + [pа2аk] δX 2 + …+ [pаkаk] δX k+ [pаk l] = 0
Последовательность уравнивания параметрическим способом при неравноточных измерениях
1.Определение числа всех измерений n, числа необходимых измерений k и числа избыточных измерений r=n-k
2.Выбор параметров X1,X2 ,…, Xk
3.Составление параметрических уравнений связи Yi = fi (X1,X2 ,…, Xk)
4.Составление параметрических уравнений поправок V = A X + L
5.Составление нормальных уравнений поправок
|
AT PA X + AT PL = 0 |
R= AT PA |
|
|
|
6. |
Решение нормальных уравнений поправок |
|
|
|
|
|
X = - R-1 AT PL |
|
|
|
|
7. |
Вычисление поправок к измерениям V=A X+ L |
|
|
=X+δX и |
|
8. |
Вычисление уравненных значений параметров |
X |
|||
|
измерений ŷ=y+v |
|
|
|
|
9.Окончательный контроль уравнивания
ŷi = fi(X1,X2 ,…, Xk)
10. Оценка точности
Решение системы нормальных уравнений. Схема Гаусса
- |
[a |
1 a3] - |
[a |
1 a2] |
[а а ] δX |
1 |
+ [а а ] δX |
2 |
+ [а а ] δX |
3 |
+ [а l ] = 0 |
||||
|
|
||||||||||||||
|
[a a |
] |
[a a |
] |
1 1 |
1 2 |
1 3 |
1 |
|||||||
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
[а1а2] δX |
1 + [а2а2] δX |
2 + [а2а3] δX |
3+ [а2 l ] = 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[а1а3] δX |
1 + [а2а3] δX |
2 + [а3а3] δX 3+ [аk l] = 0 |
||||
|
|
[а а |
|
] - |
[а а ]2 |
|
[а а ] [а а ] |
[а1а2] [а1l] |
|
||||
|
|
|
1 2 |
δX2+ [а2а3]- |
δX3+ [а2 l ]- [а а |
] |
=0 |
||||||
2 |
2 |
|
[а1а1] |
1 2 |
1 3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[а1а1] |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- |
[a |
2 a3.1] |
[а2а2.1] δX 2 + [а2а3.1] δX |
3+ [а2 l .1] = 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
[a2 a2.1] |
|
[а2а3.1] δX 2 + [а3а3.1] δX 3+ [а3 l .1] = 0 |
|
|
|
|||||||
[а3а3.2] δX 3+ [а3 l .2] = 0
Системы эквивалентных и эллиминационных нормальных уравнений
[а1а1] δX 1 + [а1а2] δX 2 |
+ [а1а3] δX 3 |
+ [а1 l ] = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
[а2а2.1]δX 2+[а2а3.1]δX 3+[а2 l .1] = 0 (7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[а3а3.2] δX 3+ [а3 l .2] = 0 |
|
δX |
|
=- |
[а1а2] δX2- |
[а1а3] δX3 - |
[а1l] |
|
||||
|
[а1а1] |
|
||||||||
|
1 |
[а1а1] |
|
[а1а1] |
|
|
|
|||
δX |
2 |
=- [а2а3.1] |
δX3 |
- |
[а2l.1] |
|
|
(8) |
||
[а2а2.1] |
|
|
||||||||
|
[а2а2.1] |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
δX |
|
[а l.1] |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
=-[а2а .1] |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Раскрытие алгоритмов Гаусса
[а1а1] δX 1 + [а1а2.] δX 2 + [а1а3.] δX 3 + [а1 .l ] = 0 [а2а2 1]δX 2+[а2а3 1]δX 3+[а2 l 1] = 0
[а3а3.2] δX 3+ [а3 l .2] = 0
|
|
|
|
|
.1 |
|
|
[а3а4 .2] [а3a5 |
.2 |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[а4а5.3]= |
|
[а а ] [а а ] |
|
[а2а4 .1] [а2a5 |
] |
- |
[а3а3.2] |
|||
|
|
|
||||||||
[а4а5]- |
[а1а1] |
- |
[а2а2.1] |
|
||||||
|
1 4 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Схема Гаусса
|
δX 1 |
|
δX 2 |
δX 3 |
|
L |
|
|
|
|
||
|
[а1а1] |
|
[а1а2] |
[а1а3] |
[а1 l ] |
|
|
|
||||
|
-1 |
- |
[а1а2] |
- [а1а3] |
- |
[а1l] |
|
|
|
|||
|
|
|
[а |
а ] |
[а |
а ] |
|
[а а ] |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
[а2а2.1] [а2а3.1] |
[а2 l |
.1] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
[а2а3.1] |
- [а2l.1] |
|
|
|
|||
|
|
|
-1 |
-[а а .1] |
|
[а а .1] |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[а3а3.2] |
[а3 l |
.2] |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
-1 |
- |
[а2l.1] |
|
=0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
[а2а2.1] |
|
||||
|
δX 1 |
|
δX 2 |
δX 3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|