Решение

Выписываем справа минимумы строк и из них выбираем наибольший α₂ = 7 (отмечен звездочкой). Это нижняя цена игры, или максимин. Затем выписываем внизу максимумы столбцов и из них выбираем наименьший β₂ = 7 (отмечен звездочкой). Это верхняя цена игры, или минимакс.

Решение заключается в том, что необходимо систематически применять свою оптимальную стратегию – товар А₂. При этом гарантируется результат не менее М = 7, что бы ни предпринимал конкурент (его замыслы нам не известны). Для конкурента опти­мальная стратегия – выбор товара В₂; при этом он гарантирует себе результат не более М = 7 (чем результат предпринимателя больше, тем для неге хуже).

Цена игры v = α = β соответствует седловой точке (выделена желтым цветом).

То, что в рассмотренном примере есть седловая точка (α = β), означает, что полученные рекомендации верны независимо от того, располагает конкурент данными об избранном решении или нет. Это так называемая устойчивая стратегия. Если конкурент, узнав, что предприниматель выбрал товар А₂, станет в качестве ответного хода использовать стратегию В₁ или В₃, ом только улучшит результат предпринимателя до М₂₁ = 8 или М₂₃ = 7 сответственно.

Пример 3

Банк заинтересован в покупке акций некоего акционерного общества. Стремясь сделать покупку как можно более выгодной, банк снабжает продавца информацией о реальной стоимости акций, кото­рая может быть как правдивой (А₁), так и заведомо ложной (А₂).

Продавец может как поверить информации (В₂), так и не дать ей веры (В₁).

Условия задачи можно представить в виде игровой матрицы (табл. 4), содержащей данные о величине возможной успешности сделки – приросте стоимости по отношению к вложенным средствам.

Таблица 4. Матрица игры для примера 3.

Банк	Продавец акций
	B1 (продавец не поверил)	B2 (продавец поверил)	αi
A1 (истинная цена)	0,608	1,000	0,608*
A2 (заниженная цена)	1,000	0,440	1,000
βj	1,000*	1,000*

Необходимо выбрать такую стратегию банка, при которой результат окажется максимально возможным.

Решение

Выписываем справа минимумы строк и из них выбираем наи­больший α_i = 0,608 (отмечен звездочкой). Это нижняя цена игры, или максимин. Затем выписываем внизу максимумы столбцов и из них выбираем наименьший β_j = 1,000 (отмечен звездочкой). Это верхняя цена игры, или минимакс.

Поскольку игра не имеет седловой точки (α ≠ β), оптимальное решение в чистой стратегии невозможно. Выбор в качестве решения хода А₁, имеющего наибольшую эффективность, как мы видели выше (пример 1), дает неустойчивую стратегию, пригодную лишь в случае, если «противник» не располагает данными об избранном нами решении.

Для получения устойчивой стратегии в данных условиях необходимо искать решение в смешанных стратегиях:

• по формуле р₁ или графически (рис. 2)

р1 =	1,000 – 0,440	= 0,588
	1,000 – 0,608 + 1,000 – 0,440

• по формуле р₂

р₂ = 1 – 0,588 = 0,412

поскольку а₁₂ = а₂₁ = р₁ = 0,588, q₂ = p₂ =0,402

• по формуле v

  v =	0,440·0,608 – 1,000·1,000	= 0,769
  	0,608 + 0,440 – 1,000 – 1,000

• по формулам S^*_А и S^*_В

S^*_А = (0,588; 0,412), S^*_В = (0,588; 0,412).

Решение показывает преимущество (относительную ценность) ходаA₁(58,8%) по сравнению с ходом А₂(41,2%).

Рис. 2. Решение игры в смешанных стратегиях

Реализация решения в смешанных стратегиях, в тех случаях, когда оно возможно, производится с помощью механизма случайного выбора с учетом полученных соотношений преимуществ обеих позиций.

НАУКА «КТО – КОГО»

В научно-исследовательском институте шло оживленное обсуждение новых лекарств против гриппа. Уважаемый доктор Икс настойчиво предлагал изобретенный им гриппофаг, который успешно «пожирал» гриппозные вирусы. Не менее уважаемый врач Игрек робко заметил, что при некоторых формах болезни гиппофаг вместе с вирусами поражает и больного, что несколько осложняет лечение и затягивает болезнь. Взамен гриппофага он предложил свое лекарство – антигриппин.

К сожалению, признался Игрек со свойственной ему прямотой, антигриппин тоже не безупречен. Хоть он и не влияет плохо на больных и приятен на вкус, но в некоторых случаях гриппозный вирус с удовольствием поглощает это лекарство. И тогда значительно удлиняется срок лечения.

Страсти разгорались, одни были категорически за прожорливый гриппофаг Икса. Другие – за вкусный аитигриппин Игрека. Раздавались и мирные предложения: лечить больных гриппофагом и антигрипином одновременно. Оказалось, однако, что это невозможно: смесь обоих лекарств теряла лечебные свойства.

Трудно сказать, чем бы закончился этот спор, если бы не выступил врач Зет, который по поручению института аккуратно занимался статистикой гриппа. Зет вывесил таблицу (табл. 5).

Таблица 5. Продолжительность лечения лекарствами (дней болезни)

Лекарство	Вирус гриппа
	Гонолулу	Сингапур	Худший результат лекарства
Гриппофаг Икса	3	6	6
Антигриппин Игрека	4	5	5*
Худший результат вируса	3	5*

Он доложил, что действие гриппофага и антигриппина проверялось на многих больных. Было установлено, что часть заболевших подвергалась атаке гриппозного вируса «Гонолулу», а часть – вируса «Сингапур». Причем оказалось, что эти возбудители гриппа по-разному действуют на больного и неодинаково реагируют на лекарства. Поэтому продолжительность болезни при лечении оказалась разной. Гриппофаг вылечивал от вируса «Гонолулу» за 3 дня, а от вируса «Сингапур» – за 6. Антигриппин вылечивал от вируса «Гонолулу» лишь за 4 дня, но зато справлялся с вирусом «Сингапур» за 5. К сожалению, до окончания болезни невозможно определить, какой вирус вызывал болезнь.

Далее Зет объяснил, как должен решаться возникший конфликт между лекарствами и вирусами. Сначала он выписал худшие резуль­таты лекарств и вирусов и выбрал из них лучшие, которые отметил звездочкой. На пересечении ходов, соответствующих цифрам со звездочкой оказалась седловая точка – срок болезни 5 дней. Цифру 5 статистик выделил цветом.

В результате план борьбы с гриппом стал ясен. Необходимо применять лекарство антигриппин Иг­река. В этом случае, какой бы вирус ни был причиной болезни, появится надежная гарантия, что за 5 дней больной выздоровеет. Применение гриппофага такой гарантии не дает: если причина болезни – вирус «Сингапур», срок болезни возрастает до 6 дней – на целый день больше. А ведь гриппом болеют миллионы людей. И каждый выигранный у болезни день вырастает в миллионы дней здоровья и труда.

ПРЕМУДРЫЙ РЫБОЛОВ

В одинаковых надувных резиновых лодках мы а приятелем отправляемся на рыбную ловлю. Удим мы почти рядом. И удочки у нас одинаковые, и поплавки, и крючки. Разница только в одном — в улове.

Когда дома мы взвесили свою добычу, оказалось, что приятель выловил 4 кг рыбы, а у меня едва набралось 3 кг. Не обидно ли?

Правда, во время последней рыбалки кое-что стало проясняться. Я заметил, что приятель доставал наживку не так, как я, — из банки, где онa лежала навалом, а вынимал ее каждый раз из отдельного бумажного пакетика. Для чего он так делал, я, признаться, не понимал.

• Как это тебе удалось наловить рыбы почти в 1,5 раза больше, чем мне? Неужели потому, что ты завернул наживку, как в гастрономе, в бумагу?

Настроение у моего приятеля после отличной рыбалки было превосходное.

• Представь себе, дело действительно в бумажках. И еще кое в чем...

Вскоре на листке, вырванном из тетрадки, появилась табличка с записью игры «Рыбак – рыбка».

Секрет удачи моего приятеля оказался вот в чем. Мы обычно брали наживку 2 видов: шарики из теста и червяки. На тесто лучше шла маленькая рыбка, ее, как говорили бывалые рыбаки, можно было наловить до 6 кг, а на червяка – большая, улов достигал 5 кг.

Так как маленькая рыбка давала больший улов, я предпочитал насаживать на крючок тесто. Но, видимо, тесто нравилось и большим рыбкам. Они выхватывали наживку у маленьких рыбок, а сами при этом на крючок попадались редко. Отсюда и мой результат – всего 3 кг.

Мой приятель поступал иначе. Вначале он, как и я, пытался найти лучший ход. Мы знаем, что для этого надо попробовать отыскать седловую точку игры. Но от­менный звездочкой лучший из худших результатов рыбака – 4 кг, а рыбки – 5 кг. Цифры разные – значит, седловой точки нет.

Таблица 6. Игра «Рыбак – рыбка»

Наживка	Рыбка, кг		Худший результат рыбака
	большая	маленькая
Червяк	5	4	4*
Тесто	3	6	3
Худший результат рыбки	5*	6

Вдумаемся в эти цифры. Лучший из худших, то есть надежный результат рыбака – 4 кг, – означает, что в любом случае можно рассчитывать на такой улов. Но для рыбки самый малый надежный результат – 5 кг. Иными словами, на крючок готово попасть 5 кг рыбы, а я могу взять только 4 кг.

Здесь что-то не так. Ведь ни один из ходов рыбака не гарантирует улов более четырех килограммов. Где выход из положения?

Выход заключается в том, что рыбак должен здесь применять не один-единственный ход, а оба, разумно чередуя их. Такой план действий – стратегия игры, как мы уже знаем, называется смешанным.

Чтобы найти смешанный план игры, удобно воспользоваться, как мы уже делали, графическим приемом (рис. 3)

По горизонтальной оси в любом масштабе отложим отрезок, длина которого равна единице. Из начала и конца-этого отрезка восстановима перпендикуляры АС и BD, на них разметим шкалы, на которых можно отсчитывать вес рыбы до 10 кг. На АС отложим результаты такого хода рыбака, при котором он насаживает тесто, а на BD – результаты другого хода, при котором на крючке червяк.

Вначале рассмотрим результаты игры для больших рыбок. Как видно из табл. 6, это 3 кг для теста и 5 кг для червяка. На перпендикуляре AC появится соответствующая точка 3 кг, а на перпендикуляре BD – точка 5 кг. Соединим эти точки прямой.

Рис. 3.

Затем проделаем то же самое для маленьких рыбок. На перпендикуляре АС появится точка 6 кг, а на BD – точка 4 кг. Соединим эти точки прямой.

Далее поступим так же, как в предыдущей игре: вначале найдем худшие возможные результаты рыбака, а затем из них выберем наилучший.

Худшие результаты рыбака, как видно из рисунка, обозначены жирной ломаной линией, соединяющей наименьшие уловы на тесто и на червяка — точки 3 и 4 кг. Лучший из этих худших результатов получается в месте излома линии. Это наиболее надежный гарантированный результат. Он равен, если посмотреть на правую шкалу, 4,5 кг, Как мы и предвидели, этот результат находится между отмеченными звездочками в таблице: худшим результатом рыбака – 4 кг и рыбки – 5 кг.

Теперь остается только сообразить, какой нужно принять смешан­ный план, чтобы добиться этого результата: требуется узнать, в каком соотношении, как часто рыбак должен применять тесто и червяка. Ответ на этот вопрос также дают рис. 3. Сначала рассмотрим, как подбираются частоты применения теста и червяка при игре с большой рыбой. Для этого рассмотрим интересующую нас часть графика (рис. 3)

Обозначим результат первого хода рыбака («тесто») а, а второго хода («червяк») – c, а полученный надежный результат b. Обозначим частоту применения первого хода r, тогда очевидно, что второй ход должен применяться с частотой (1 – r).

Ясно, что при смешанном плане игры надежный результат должен быть равен сумме произведений результатов обоих ходов на соответствующие частоты их применения:

b = a×r + c×(1 – r)

Пользуясь рис. 3, легко доказать, что нужная частота r – не что иное, как участок горизонтальной оси между b и c. Действительно, если мы проведем через точку Н штриховую горизонтальную линию qk, получим два подобных треугольника qpH и keH, для которых, можно написать:

pq	=	gH
ke		kH

Подставим в эту формулу величины соответствующих сторон треугольников, которые можно снять прямо с рисунка:

pq = b – a;

ke = c – b;

qH = 1 – r;

kH = r.

Получим

b – a	=	1 – r
c – b		r

или после несложных преобразований

(b – a)×r = (c – b) × (1 – r);

b×r –ar = c×(1 – r) – b×(1 – r);

b×r – a×r = c×(1 – r) – b + b×r;

b = a×r + c×(1 – r).

Это и есть формула надежного результата, подтверждающая, что для его получения необходимо чередовать первый ход («тесто») с частотой r и второй ход («червяк») с частотой (1 – r).

Из рисунка видно, что r = 0,25, а (1 — r) = 0,75.

Следовательно, рыбак должен применять свой первый ход в 3 раза реже, чем второй: 0,25:0,75 = 1:3.

В среднем на каждые 3 червяка должна приходиться одна наживка с тестом. Только в этих условиях можно надеяться получить лучший надежный результат 4,5 кг:

b = a×r + c×(1 – r) = b = 3×0,25 + 5×(1 – 0,25) = 0,75 + 3,75 = 4,5 кг.

К подобным выводам можно прийти, изучая нужное чередование наживки и для малой рыбки. И здесь, чтобы получить средний результат 4,5 кг, .наживка с тестом и червяком должна чередоваться в соотношении 1:3.

При чем же тут загадочные бумажные пакетики, из которых извлекались то тесто, то червяки? Оказывается, в этом «священнодействии» есть определенный смысл. Как мы знаем, рыбаку нужно чередовать наживку в соотношении 1:3. Такая частота должна получаться в среднем после многих забрасываний удочки – «ходов» рыбака. Каждый отдельный ход должен быть случайным, неожиданным для рыбы, иначе она приноровится к определенной наживке, будет ее ждать и не даст себя обыграть.

Вот мой приятель и разложил кусочки геста и червяков в пакетики. Пакетиков с червяками было заготовлено ровно в 3 раза больше, чем пакетиков с тестом. Причем даже сам рыбак не знал, какая наживка в какой пакетик попала. Получалось, что каждый ход был для рыб «сюрпризом», а в среднем выполнялся наилучший смешанный план ловли. В этом и заключался секрет успеха рыболова.