Типовые задачи, решаемые с помощью теории игр

Пример 1

Предприниматель располагает тремя видами товаров А₁, А₂, А₃, которые он стремится реализовать на рынке, где возможна продажа конкурентом аналогичных товаров – В₁, В₂, В₃ соответственно.

Предпринимателю не известно, какой вид товаров преиму­щественно конкурент будет продавать на рынке, а конкуренту не известно, какие товары предпринимателя на этом рынке появятся

Предприниматель располагает данными о том, какова веро­ятность продать тот или иной товар при наличии на рынке товаров конкурента. Эти данные образуют матрицу игры (табл. 2).

Таблица 2. Матрица игры для примера 1.

Предпри­ниматель	Конкурент
	B1	B2	B3	αi
A1	0,5	0,4	0,9	0,4*
A2	0,2	0,9	0,1	0,1
A3	0,8	0,0	1,0	0,0
βj	0,8*	0,9	1,0

Необходимо дать предпринимателю рекомендации по раци­ональному выбору вида товаров для продвижения их на рынок в условиях конкуренции, при котором обеспечивается получение наилучшего возможного результата - наибольшей вероятности продаж, что бы ни предпринимал конкурент.

Решение

Выписываем справа минимумы строк и из них выбираем наибольший α_i = 0,4 (отмечен звездочкой). Это нижняя цена игры, или максимин. Затем выписываем внизу максимумы столбцов и из них выбираем наименьший β_j = 0,8 (отмечен звездочкой). Это верхняя цена игры, или минимакс.

Решение заключается в том, что необходимо систематичес­ки применять максиминную стратегию – товар типа A₁. При этом предпринимателю гарантируется результат не менее р = 0,4, что бы ни предпринимал конкурент (его замыслы нам не известны). Для конкурента наилучшая стратегия – выбор товара вида В₁; при этом он гарантирует себе результат не более q = 0,8 (чем прибыль предпринимателя больше, тем для него хуже).

Поскольку в рассмотренном примере нет седловой точки (α ≠ β), это означает, что полученные рекомендации верны лишь для случая, когда конкурент не располагает данными об избранном предпринимателем решении. Это так называемая неустойчивая стратегия. Если конкурент узнает о том, что предприниматель стал применять товар типа А₂ он сразу же начнет применять товар вида В₃ и тем самым улучшит свой результат до р = 0,1.

В тех случаях, когда в подобной задаче конкурент распола­гает данными о выборе предпринимателя, необходимо искать ре­шение в смешанных .стратегиях.

Пример 2 (продолжение примера 1)

Пусть предпринимателю стали известны возможные количества единиц каждого из его товаров, которые могут быть проданы при различных вариантах появления товаров конкурента на рынке (табл. 3).

Необходимо дать предпринимателю рекомендации, при использовании которых среднеожидаемое количество проданных товаров будет наибольшим, что бы ни предпринимал конкурент.

Таблица 3. Матрица игры для примера 2.

Предпри­ниматель	Конкурент
	B1	B2	B3	αi
A1	5	6	8	5
A2	8	7	7	7*
A3	9	7	6	6
βj	9	7*	8