4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению

Центрально сжатые стержни средней и большой гибкости теряют устойчивость раньше, чем прочность, поэтому нельзя допустить возникновения в них критического напряжения и обеспечить запас устойчивости.

Условие устойчивости сжатого стержня имеет вид

, (4.19)

где

. (4.20)

В формуле (4.20) [σ]_у– допускаемое напряжение на устойчивость,n_у– коэффициент запаса на устойчивость. Этот коэффициент всегда принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность в формуле допускаемого напряжения при сжатии

. (4.21)

где σ₀ – напряжение, соответствующее наступлению опасного (предельного) состояния (для пластичного материала σ₀ = σ_Т – пределу текучести, для хрупкого σ₀ = σ_ПЧ – пределу прочности);

n– коэффициент запаса прочности.

Допускаемое напряжение на устойчивость [σ]_уи допускаемое напряжение на сжатие [σ_-] взаимно связаны. Составим их отношение:

, или. (4.22)

Обозначив

, (4.23)

получим

[σ]_у = φ[σ_-].(4.24)

где φ– коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения при расчёте на устойчивость (коэффициент продольного изгиба).

Обратившись к графику критических напряжения на рис.4.8 и к аналогичному для любого материала, можно вычислить φпри всех значениях гибкостиλ. Таким образом,φменяется в пределах от нуля до единицы и зависит от материала и гибкости стержня. Представлен в виде таблицы, имеющейся в справочниках и учебниках.

Условие устойчивости сжатого стержня (4.19) с учётом (4.24) можно окончательно записать в виде:

. (4.25)

Индекс БРозначает, что при расчётах на устойчивость не надо учитывать ослабление сечения (например, за счёт отверстий под заклёпки), а брать полную площадь поперечного сечения или площадь брутто.

4.6. Пример расчёта

1. Определение размеров поперечного сечения

В расчётной формуле (4.25) имеются две неизвестных величины – искомая площадь F(индексБРопускаем) и коэффициентφ. Поэтому приходится пользоваться методом последовательных приближений, варьируя величину φ.Обычно в первой попытке задаютφ₁ = 0,5  0,6. Определяют площадьF, размеры сечения и гибкостьλ. Поλв справочнике находят фактическое значениеφ′₁. Если оно отличается отφ₁, следует повторить расчёт, приняв среднее по величине значение

.

Далее находят φ′₂и всё повторяют до тех пор, пока не будет выполняться условиеφ = φ′. Этот процесс быстро сходится и, как правило, требуется не более трёх попыток.

Необходимо подобрать размеры поперечного сечения стержня (рис.4.10,а). Материал – чугун, [σ] = 10 кН/см²; форма сечения – труба (рис.4.10,б),D = 1,4d.

Расчёт начинаем с определения геометрических характеристик сечения:

• площадь сечения ;

• момент инерции ;

• радиус инерции .

а б

Рис.4.10

Из условия устойчивости (4.25) найдём площадь поперечного сечения F:

.

1. Принимаем φ₁ = 0,5.

;;.

Гибкость (μ = 0,7по табл.4.1):

φ′₁ = 0,69; φ′₁ ≠ φ₁,

поэтому переходим ко второму приближению

2. Принимаем .

;;.

Гибкость

. В справочникеλизменяется с шагом 10, поэтому для определенияφ, соответствующегоλ =47, делаем линейную интерполяцию:

λ	φ	.
40 50	0,69 0,57

Получили φ′₂= φ₂, расчёт закончен. Таким образом, хватило двух приближений. Сделаем окончательную проверку по напряжениям:

,.

Условие устойчивости σ ≤ φ[σ]выполняется. Округляем размеры чугунной трубы в большую сторону: внутренний диаметр d = 107 мм, наружный диаметр D = 150 мм.

2. Определение грузоподъёмности

Для стержня, показанного на рис.4.11,а, необходимо определить наибольшую нагрузку Р, а также коэффициент запаса на устойчивость. Материал – сталь Ст3, [σ] = 16 кН/см²;сечение – два швеллера (рис.4.11,б).

а б в

Рис.4.11

Грузоподъёмность определим из условия устойчивости (4.25)

Р ≤ F ∙ φ [σ].

Площадь и другие геометрические характеристики швеллера найдём в таблице «Сортамент прокатной стали». Чтобы определить φ, необходимо предварительно найти радиусы инерцииiотносительно главных осей составного сечения.

Одна из главных осей составного сечения zсовпадает с главными осями швеллеров, поэтому радиус инерции составного сечения равен радиусу инерции одного швеллера

.

Вычислим теперь радиус инерции относительно оси у:

J_y = J_y1 + с²F = 113 + (7,6 + 1,0 – 2,07)² ∙ 23,4 = 1110,8 см⁴,

.

Таким образом, i_min = i_y = 6,89 см.

Гибкость (μ = 2,0по таблице):

.

С помощью линейной интерполяции найдём φ:

λ	φ	.
80 90	0,75 0,69

Далее вычислим грузоподъёмность стержня

Р = 23,4 ∙ 2 ∙ 0,708 ∙ 16 = 530 кН.

Имеет смысл проверить запас устойчивости, для чего надо предварительно найти критическую силу Р_кр. Так как гибкость стержня λ = 87, потеря устойчивости происходит в области упругопластических деформаций (см.рис.4.8). Критическое напряжение найдём по формуле (4.17)

σ_кр = 31 – 0,114λ = 31 – 0,114 ∙ 87 = 21,082 кН/см².

Критическая сила

Р_кр = σ_кр ∙ F = 21,08 ∙ 23,4 ∙ 2 = 986, 6 кН.

Коэффициент запаса устойчивости

.

Итак, мы видим, что в таблице коэффициента продольного изгиба φзаложен коэффициент запаса устойчивости больший, чем коэффициент запаса прочностиn = 1,5.

Необходимо учитывать одно важное обстоятельство – составное сечение может работать только в том случае, если швеллеры связаны решёткой из уголков или из полос (рис.4.11,в). Расчёт решётки – это специальный вопрос, выходящий за рамки курса сопротивлений материалов.