TAU_Belov_New2

отчеркивания соответствующего количества строк и столбцов:

Последний определитель (главный определитель Гурвица) включает в себя всю матрицу. Но так как в последней строке матрицы все элементы, кроме последнего, равны нулю, то главный определитель Гурвица, выражается через предпоследний следующим образом:

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию а0>0, т.е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определить: n=0, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (5.4), это условие распадается на два условия: а0=0 и n-1=0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости, т.е. наличие нулевого корня) и второе – границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости, т.е. наличие пары чисто мнимых корней).

По критерию Гурвица проверяем систему на устойчивость, для этого составляем матрицу:

21

0,00003324 s 4 + 0,00451032 s3 + 0,155084 s 2 + 0,594 s +1 = 0

Пусть

a4 =0,00003324

a3 =0,00451032

a2 =0,155084

a1 =0,594 a0 =1

Тогда получим матрицу:

Подставим значения:

Вычислим определитель:

∆=0.0003834314056388> 0

Следующий определитель:

a3 =0,00451032 >0

Вычислим 3-й определитель:

∆=0.0006797> 0

Четвертый определитель:

22

∆=0.0003834> 0

Все определители больше нуля. Следовательно, система устойчива.

23

Задание №6

Запас устойчивости можно определить по удалению АФЧХ разомкнутой системы от точки (−1;i0) .

Если АФЧХ устойчивой системы расположена близко от точки (−1;i0) , то при изменении параметров системы в процессе производства и эксплуатации она может стать неустойчивой. Поэтому САУ должна иметь запас устойчивости. Запас устойчивости замкнутой системы тем больше, чем дальше расположена АФЧХ W (iω) разомкнутой системы от точки (−1;i0) .

Частота ωC , при которой АФЧХ пересекает окружность единичного радиуса, называется частотой среза. При частоте среза АЧХ равна единице, то есть

Частоту, при которой АФЧХ W (iω) пересекает отрицательную вещественную полуось, обозначают обычно ωπ . Значение фазочастотной характеристики при этой частоте равно -1800, то есть

Считают, что САУ имеет достаточные запасы устойчивости, если

24

Из АФЧХ видно, что A(ωπ ) = 0 Þ Aзап =1−W (iωπ ) =1− A(ωπ ) =1−0 =1

Рис. 6.1 АФЧХ САР

Из данного графика видно, что он не пересекает точку (-1; 0) и находится далеко от нее. Значит, САР имеет достаточные запасы устойчивости.

Задание №7

25

Оценку качества САУ по кривой переходного процесса можно проводить при некотором типовом входном воздействии, которым может быть как задающее, так и возмущающее воздействие.

В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику системы. Она может строиться для регулируемой величины Хвых(t) или для ошибки DХ(t).

Склонность системы к колебаниям, а, следовательно, и запас устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением регулируемой величины Хвых.max (hmax) или недорегулированием (smax), а также минимальным значением регулируемой величины Хвых.min (hmin) или

перерегулированием (smin):

Недорегулирование (перерегулирование) – это максимальное (минимальное) отклонение переходной характеристики относительно установившегося значения, выраженное в процентах от него. Хвых(¥)=hуст¹0 представляет собой установившееся значение регулируемой величины после завершения переходного процесса.

Недорегулирование характеризует перегрузку в системе. Допустимое значение σmax (σmin) для той или иной САУ может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величина σmax (σmin) не превышает 10…30 %. Однако в некоторых случаях требуется, чтобы

26

переходный процесс протекал вообще без недорегулирования, т.е. был монотонным. В ряде случаев может допускаться недорегулированние 50..70 %.

Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса. Время регулирования (переходного процесса) tp определяется как интервал времени от момента приложения на вход единичного скачка до момента, когда отклонение выходной величины от ее установившегося значения становиться меньше заранее заданной достаточно малой величины:

где - заданная малая постоянная или допустимая ошибка, обычно под этой величиной понимают некоторую долю от установившегося значения,

=0,01…0,05Хвых(∞).

Допустимое значение времени переходного процесса определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования.

Произведем построение переходной характеристики замкнутой системы по задающему воздействию.

27

Рис. 7.1 и 7.2 Построение переходной характеристики замкнутой системы по задающему воздействию

В начале графика наблюдается несколько всплесков, которые показывают на то, что в систему необходимо добавить корректирующее устройство, которое сгладит эти всплески.

Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением регулируемой величины Хвых.max (hmax) или недорегулированием (σmax), а также минимальным значением регулируемой величины Хвых.min (hmin) или

перерегулированием (σmin):

система работает нормально.

Построение переходной характеристики замкнутой системы по возмущающему воздействию.

28

Рис. 7.3 Построение переходной характеристики замкнутой системы по возмущающему задающему воздействию

На графике наблюдается плавное затихание, которое показывает на то, что система работает нормально.

29

Таким образом, мы видим, что по возмущающему воздействию система работает нормально.

30