Рис 2.2. Преобразованная структурная схема САР

11

Задание №3

Требуемое значение управляемой величины определяется задающим (командным, входным) воздействием, приложенным к входу управляющего устройства. Управляемые (выходные) величины изменяются под влиянием приложенных к объекту воздействий: управляющих (регулирующих) и возмущающих.

Управляющее (регулирующее) воздействие - это воздействие управляющего устройства (автоматического регулятора) на объект.

Возмущающее воздействие (помеха) – это все воздействия, вызывающие непланируемые изменения выходной величины.

Для определения ПФ разомкнутой САР W pc ( p) отбрасываются все входные воздействия и цепи, прилегающие к ним, разрывается главная ОС, ее цепь является продолжением прямой цепи прохождения задающего воздействия

Рис. 3.1 Разомкнутая САР

ПФ замкнутой САР по возмущающему воздействию имеет вид:

12

ПФ замкнутой САР по DU зад имеет вид:

13

Задание №4

Для определения частотных характеристик построим модель в Matlab:

Частотные характеристики широко используются при исследовании динамических свойств САУ и их элементов. Частотные характеристики САУ определяют зависимость между входной и выходной величинами в установившемся режиме при гармоническом воздействии.

Аналитические выражения для частотных характеристик легко получаются по передаточной функции. Если в выражение передаточной функции подставить p =iω , то получится комплексная передаточная функция K( iω), т.е.

Комплексная передаточная функция является амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) и представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к

14

где U(ω) - вещественная частотная характеристика; V (ω) - мнимая частотная характеристика.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции (3) при изменении частоты от 0 до ∞. По оси абсцисс откладывается вещественная часть U(ω ) = Re K( iω ) и по оси ординат – мнимая часть V (ω ) = Im K( iω ). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются затем плавной кривой.

Комплексная передаточная функция K( iω) при фиксированном значении частоты ω =ω1 на комплексной плоскости изображается вектором, длина которого равна А(ω1 ), а аргумент - ϕ(ω1 ) (рис. 4.1). При изменении частоты от нуля до бесконечности конец вектора K( iω) опишет кривую, которая представляет собой график амплитудно-фазовой частотной характеристики.

АФЧХ может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции +ω на – ω получится сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для

15

отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси АФЧХ для положительных частот. На рис. 4.1 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией. В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот. Однако при использовании всего диапазона частот от –∞ до +∞ многие формулы получают более удобный и симметричный вид.

Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции (рис. 4.1). Таким образом, АФЧХ дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия звена отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними.

16

Рис. 3.1 Построение АФЧХ

Для оценки динамических свойств САУ и их элементов АЧХ и ФЧХ обычно строят в логарифмических координатах.

Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции (4.3):

Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой – фаза. Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ). Для построения ЛАЧХ находится величина

Эта величина выражается в децибелах [дБ]. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в

17

100 раз, 3 бела - в 1000 раз и т. д. Децибел равен одной десятой части бела. Если бы А(ω) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (4) должен был бы стоять множитель 10. Так как А(ω) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т.п.), то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (4) стоит множитель 20. Один децибел соответствует изменению амплитуды в 2010 раз, т.е. представляет сравнительно малую величину.

Для построения ЛАЧХ используется следующая стандартная сетка. По оси абсцисс откладывается угловая частота ω в логарифмическом масштабе или десятичные логарифмы частоты lgω. По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дБ, что соответствует значению модуля А(ω)=1, так как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ω=0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg0=-∞. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход ЛАЧХ.

Для построения ЛФЧХ используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, т.е. удесятерению частоты.

18

Рис. 4.3 ЛАЧХ и ЛФЧХ САР

19

Задание №5

Проверяем САР на устойчивость, используя критерий Гурвица. Критерий записывается в виде определителей, составленных из

коэффициентов характеристического уравнения системы

Для характеристического уравнения составим квадратную матрицу коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов по следующим правилам:

а) по диагонали выписываются все коэффициенты, начиная с аn-1 в порядке убывания индексов до a0;

б) все горизонтальные строки правее диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а левее − с убывающими индексами;

в) оставшиеся места (индексы коэффициентов больше n или меньше нуля) заполняются нулями, т.е.

20