- •Типовой расчет «Математический анализ» з а д а ч а 1
- •Контрольные варианты к задаче 1
- •Контрольные варианты к задаче 7
- •З а д а ч а 8
- •Контрольные варианты к задаче 8
- •З а д а ч а 9
- •Контрольные варианты к задаче 9
- •З а д а ч а 10
- •Контрольные варианты к задаче 10
- •З а д а ч а 11
- •З а д а ч а 14
- •Контрольные варианты задачи 14
Типовой расчет «Математический анализ» з а д а ч а 1
Правило 1. Чтобы вычислить , нужно вместо переменной х поставить её предельное значение.
Если то
Если то.
Если то- неопределенность.
Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность в алгебраическом выражении, надо в числителе и знаменателе выделить множитель, который стремится к нулю, и на него под знаком предела сократить.
Правило 3. Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, то чтобы получить множитель , нужно многочлены разложить на множители.
Пример 1
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
Вычислить предел .Действительно:
.
Найдем корни многочлена по формуле.
Тогда
.
Анологично
т.е .
Контрольные варианты к задаче 1
Вычислить пределы функции:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
З а д а ч а 2
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
.
Пример 2
Вычислить
Найдем корни многочлена по формуле .
Тогда и
По формуле : имеем
Контрольные варианты к задаче 2
Вычислить пределы функций:
1.. |
2.. |
3.. |
4. . |
5. |
6.. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. . |
13. |
14. . |
15.. |
16. . |
17.. |
18.. |
. |
20. . |
21.. |
22. . |
23. . |
24. . |
25.. |
26. . |
27. . |
28. . |
29. . |
30. |
З а д а ч а 3
Если при и,то отношение представляет собой неопределенность. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной х. При этом необходимо знать , что величина обратная бесконечно большой является бесконечно малой Величина обратная бесконечно малой является бесконечно большой
Пример 3
Вычислить предел .
.
Контрольные варианты к задаче 3
Вычислить пределы функций:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. |
З а д а ч а 4
Если при и, то отношениепредставляет собой неопределенность. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной х.
Пример 4
Вычислить предел .
.
Контрольные варианты к задаче 4
Вычислить пределы функций:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. |
З а д а ч а 5
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
Пример 5
Вычислить предел .
Здесь старшая степень при n – вторая и - степень, поэтому
Контрольные варианты к задаче 5
Вычислить пределы числовых последовательностей:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
З а д а ч а 6
Если при и, то разностьпредставляет собой неопределенность. Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо привести её к видуили.
Пример 6
Вычислить предел .
Умножим и разделим на сопряженное выражение , тогда
Здесь старшая степень - первая, поэтому
Контрольные варианты к задаче 6
Вычислить пределы функции:
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. | |
. | |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
З а д а ч а 7
Две бесконечно малые функции приилиназываются эквивалентными, если предел их отношения равен единице. Эквивалентность бесконечно малых функций записывается в виде~.
Таким образом, если , то~.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
~ ,. |
~ ,. |
~ ,. |
~ ,. |
~ ,. |
~ ,. |
~ ,. |
~ . |
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если одну или обе бесконечно малые заменить им эквивалентными, т. е. если ~и~, то
Заметим, что с помощью эквивалентных бесконечно малых раскрывают неопределенность
Пример 7
Вычислить предел
Пример 8
Вычислить предел
Пример 9
Вычислить предел