
- •Типовой расчет «Математический анализ» з а д а ч а 1
- •Контрольные варианты к задаче 1
- •Контрольные варианты к задаче 7
- •З а д а ч а 8
- •Контрольные варианты к задаче 8
- •З а д а ч а 9
- •Контрольные варианты к задаче 9
- •З а д а ч а 10
- •Контрольные варианты к задаче 10
- •З а д а ч а 11
- •З а д а ч а 14
- •Контрольные варианты задачи 14
Типовой расчет «Математический анализ» з а д а ч а 1
Правило 1.
Чтобы вычислить
,
нужно вместо переменной х поставить
её предельное значение
.
Если
то
Если
то
.
Если
то
- неопределенность.
Правило 2.
Чтобы раскрыть
неопределенность
в алгебраическом выражении, надо в
числителе и знаменателе выделить
множитель
,
который стремится к нулю, и на него под
знаком предела сократить.
Правило 3.
Если в
числителе и знаменателе стоят многочлены,
то чтобы получить множитель
,
нужно многочлены разложить на множители.
Пример 1
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
Вычислить
предел
.Действительно:
.
Найдем корни
многочлена
по формуле
.
Тогда
.
Анологично
т.е
.
Контрольные варианты к задаче 1
Вычислить пределы функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а 2
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
.
Пример 2
Вычислить
Найдем корни
многочлена по формуле
.
Тогда
и
По формуле :
имеем
Контрольные варианты к задаче 2
Вычислить пределы функций:
1. |
2. |
3. |
4.
|
5.
|
6. |
7. |
8.
|
9. |
10.
|
11. |
12.
|
13. |
14.
|
15. |
16.
|
17. |
18. |
|
20.
|
21. |
22.
|
23.
|
24.
|
25. |
26.
|
27.
|
28.
|
29.
|
30.
|
З а д а ч а 3
Если при
и
,то отношение
представляет собой неопределенность
.
В этом случае рекомендуется числитель
и знаменатель разделить почленно на
старшую степень переменной х. При этом
необходимо знать , что величина обратная
бесконечно большой является
бесконечно
малой
Величина обратная бесконечно малой
является бесконечно большой
Пример 3
Вычислить
предел
.
.
Контрольные варианты к задаче 3
Вычислить пределы функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а 4
Если при
и
,
то отношение
представляет собой неопределенность
.
В этом случае рекомендуется числитель
и знаменатель разделить почленно на
старшую степень переменной х.
Пример 4
Вычислить
предел
.
.
Контрольные варианты к задаче 4
Вычислить пределы функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а 5
При решении этой задачи необходимо знать формулы:
Пример 5
Вычислить
предел
.
Здесь старшая
степень при n
– вторая и
-
степень, поэтому
Контрольные варианты к задаче 5
Вычислить пределы числовых последовательностей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а 6
Если при
и
,
то разность
представляет
собой неопределенность
.
Чтобы раскрыть такую неопределенность,
надо привести её к виду
или
.
Пример 6
Вычислить
предел
.
Умножим и разделим
на сопряженное выражение
,
тогда
Здесь старшая
степень
-
первая, поэтому
Контрольные варианты к задаче 6
Вычислить пределы функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а 7
Две бесконечно
малые функции
при
или
называются эквивалентными, если предел
их отношения равен единице. Эквивалентность
бесконечно малых функций записывается
в виде
~
.
Таким образом,
если
,
то
~
.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема.
Предел отношения двух бесконечно малых
не изменится, если одну или обе бесконечно
малые заменить им эквивалентными, т. е.
если
~
и
~
,
то
Заметим, что с
помощью эквивалентных бесконечно малых
раскрывают неопределенность
Пример 7
Вычислить
предел
Пример 8
Вычислить
предел
Пример 9
Вычислить
предел