Тема 3.2 Уравнение баланса энергии

(Уравнение Бернулли)

Воспользуемся уравнением неразрывности элементарной струйки. УБ записывается для двух сечений движущейся жидкости относительно горизонтальной плоскости сравнения.

УБ справедливо для установившегося плавно изменяющегося движения.

УБ записывается в удельной форме (m = 1).

Для элементарной струйки:

–УБ для элементарной струйки идеальной жидкости.

Чем отличается идеальная жидкость от реальной: в реальной жидкости затрачивается энергия на преодоление сил инерции. Таким образом:

–УБ для элементарной струйки реальной жидкости.

Поток – это совокупность бесконечного множества элементарных струек, тогда у нас появляется площадь живого сечения –  – скорость по живому мы осредняем и получаем  – коэффициент Кориолиса:

–УБ

УБ выражает закон сохранения энергии.

Энергетический смысл УБ:

–удельная (m = 1) кинетическая энергия;

–удельная потенциальная энергия давления;

z – удельная потенциальная энергия положения (расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести живого сечения).

–полная удельная энергия в сечении 1-1.

–полная удельная энергия в сечении 2-2.

 – коэффициент Кориолиса (учитывает неравномерность распределения скорости по живому сечению). В дорожно-мостовом строительстве принимается равным 1,1.

р – избыточное давление в центре тяжести данного сечения.

–потери удельной энергии при движении жидкости от 1 сечения ко 2-му.

Единицы измерения:

= [м]

() = [м]

Геометрический смысл УБ:

–скоростной напор;

–пьезометрическая высота (расстояние по высоте от центра тяжести сечения до уровня жидкости в пьезометре);

z – удельная потенциальная энергия положения (расстояние от плоскости сравнения 0-0 до центра тяжести живого сечения).

–пьезометрический напор;

УБ = (пьезомерический + скоростной) напоры

–гидродинамический напор в сечении 1-1.

–потери напора при движении жидкости от 1 сечения ко 2-му.

Графическим изображением являются две лини: напорная и пьезометрическая.

Наклоны напорных линий на участках различны (i₁  i₂).Гидродинамический напор в 3-х сечениях –H₁;H₂;H₃.

Линия, соединяющая гидродинамические напоры, называется напорной линией.

Уклон напорной линией называется гидравлическим уклоном.

Знак: "+" – потери накапливаются;

"-" – потери не могут быть отрицательными;

"0" – идеальная жидкость.

Н = скоростной напор + пьезометрическая высота.

, тогда , поэтому.

Пьезометрической линией называют линию, соединяющую пьезометрические напоры.

Наклон пьезометрической линии называется пьезометрический уклон:

Знак: "+" – сужающаяся труба;

"-" – расширяющаяся труба;

"0" – d = const, горизонтальный участок, идеальная жидкость.

Уравнение энергии (уравнение Бернулли)

при движении несжимаемого газа

В сосуде, заполненном жидкостью, согласно закону Паскаля внешнее давление Pвнеш, которое складывается из атмосферного давления (Р_ат) и давления поршня (Р_порш), во всех точках объема одно и тоже. Разница в давлениях на различных горизонтах h обязана гидростатическому давлению h Р_гидр , создаваемому весом вышележащих слоев жидкости.

Если пренебречь изменением плотности жидкости, то гидростатическое

давление линейно изменяется по высоте сосуда: h

Р_гидр = ρgh. Сумму P_внеш и Р_гидр называют статическим давлением Р_ст. Гидростатическое давление одинаково во всех точках горизонта.

Аналогичная картина имеет место и при движении газа, но только гидростатическое давление намного меньше внешнего давления и им обычно пренебрегают.

Чтобы тело оказалось на высоте "z" от уровня Земли, нужно совершить работу против сил земного притяжения А = ρgz. Эта затраченная работа также представляет потенциальную энергию газа, которая в механике газов трактуется как энергия положения или геометрическое давление

Р_геомz = ρgz. (1.2)

Энергия положения представляет не абсолютную энергию, которую не так просто рассчитать, а избыточную энергию относительно энергии положения Р_геом0 на уровне земли. Сумма статического и геометрического давления представляет потенциальную энергию газа.

Если пренебречь изменением плотности воздуха с увеличением высоты z, то получим

Р_атмz = Р_атм0 - ρ_вgz,

где Р_атм0 – атмосферное давление на уровне Земли; ρ_в – плотность воздуха.

Давление, вызываемое движением газа, называется динамическим. Рассчитывается по формуле:

,

Вектор скорости газа в данной точке потока представляет объемный расход газаv через единицу поверхности F в потоке, расположенной нормально по отношению к этому вектору скорости.

При малой разности статических давлений в системе каналов и при отсутствии специального подогрева газ можно считать практически несжимаемым, так как изменением температуры газа за счет потерь на трение можно пренебречь. Движение газов в этом случае происходит практически при одной и той же плотности газа.

Движение газа в канале можно представить как сумму движений так называемых элементарных струек тока, для каждой из которых скорость, плотность и температура постоянны по сечению струйки. Стенки струйки тока по ее длине условно принимаются непроницаемыми, т.е. по длине струйки расход газа постоянен.

По длине элементарной струйки канала имеет место очевидное неравенство

P_ст1 + P_геом1 + Р_дин1 > P_ст2 + P_геом2 + P_дин2,

поскольку между сечениями 1–1 и 2–2 при движении газов возникают аэродинамические потери на трение ΔP_пот.тр и при местных сопротивлениях ΔP_пот.мс, о которых речь будет идти ниже.

При движении элементарной струйки "несжимаемого" газа (ρ₁ = ρ₂) имеем уравнение Бернулли в виде:

,

ΔP_{пот 1-2} – потери энергии, отнесенные к 1м³ газа.