АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Дискретная математика
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графических работ
(для студентов очной формы обучения специальности
050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение)
Часть 1
СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, Л.Н.Ким, М.Ж.Байсалова.
Алгебра и геометрия. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №3 дисциплины «Алгебра и геометрия» для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
1 Типовой расчёт 1. Множества, отношения
1.1 Теоретические вопросы
1 Множества, их способы задания. Подмножества, булеан. Операции над множествами.
2 Свойства операции над множествами. Разбиения и покрытия множеств.
3 Прямое произведение множеств. Отношения (унарные, бинарные, n-арные). Способы задания бинарных отношений. Обратное отношение, дополнение отношения, тождественное отношение. Композиция бинарных отношений.
4 Основные свойства матриц бинарных отношений. Свойства бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность).
5 Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, фактор-множество.
6 Отношение порядка. Лексигографический порядок.
7 Функциональные отношения. Инъекция, сюръекция, биекция. Понятие о мощности множеств.
1.2 Расчётные задания
1 Данное множество задать перечислением элементов
Т а б л и ц а 1
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
1.10 |
1.11 |
1.12 |
1.13 |
1.14 |
1.15 |
1.16 |
1.17 |
1.18 |
1.19 |
1.20 |
1.21 |
1.22 |
продолжение таблицы 1
1.23 |
1.24 |
1.25 |
1.26 |
1.27 |
1.28 |
1.29 |
1.30 |
2 Данное множество задать общим свойством
Т а б л и ц а 2
2.1 |
2.2 |
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
2.8 |
2.9 |
2.10 |
2.11 |
2.12 |
2.13 |
2.14 |
2.15 |
2.16 |
2.17 |
2.18 |
2.19 |
2.20 |
2.21 |
2.22 |
2.23 |
2.24 |
2.25 |
2.26 |
2.27 |
2.28 |
2.29 |
2.30 |
3 Для данного множества:
a) составить булеан (т.е. множество всех подмножеств);
б) какое-нибудь покрытие;
в) какое-нибудь разбиение;
г) произвольное множество его подмножеств (ни булеан, ни покрытие, ни разбиение).
Т а б л и ц а 3
3.1 {x,y,z} |
3.2 {2,3,4} |
3.3 {a,b,c} |
3.4 {e,f,g} |
3.5 {m,n,p} |
3.6 {x,y,z,t} |
3.7 {2,3,4,5} |
3.8 {a,b,c,d} |
3.9 {e,f,g,k} |
3.10 {m,n,p,q} |
3.11 {6,7,8} |
3.12 {v,w,z} |
3.13 {5,6,7} |
3.14 {b,c,d} |
3.15 {4,5,6} |
3.16 {y,z} |
3.17 {3,4} |
3.18 {b,c} |
3.19 {f,g} |
3.20 {n,p} |
3.21 {y,z,t} |
3.22 {3,4,5} |
3.23 {b,c,d} |
3.24 {f,g,k} |
3.25 {n,p,q} |
3.26 {7,8} |
3.27 {w,z} |
3.28 {6,7} |
3.29 {c,d} |
3.30 {5,6} |
4 Для данных множеств А и В найти:
а);
б);
в);
г).
Т а б л и ц а 4
|
A |
B |
|
A |
B |
4.1 |
{a,b,d} |
{b,d,e,h} |
4.2 |
{3,4,5,6} |
{2,3,6,7,8} |
4.3 |
{d,f,g,h} |
{f,g,j,k} |
4.4 |
{7,8,9} |
{3,4,5,6,7} |
4.5 |
{r,t,y} |
{t,y,u,v} |
4.6 |
{3,4,7,8} |
{7,8,9,10} |
4.7 |
{q,w,e} |
{w,e,r,t} |
4.8 |
{2,4,6,8} |
{1,2,3,4,5} |
4.9 |
{m,n,p,q} |
{p,q,u,v} |
4.10 |
{a,b,c,d} |
{b,c,d,e,h} |
4.11 |
{1,3,5,6} |
{2,3,6,7,8} |
4.12 |
{f,g,h} |
{f,g,j,k} |
4.13 |
{6,7,8,9} |
{4,5,6,7} |
4.14 |
{w,r,t,y} |
{t,y,u,v,w} |
4.15 |
{3,4,8} |
{4,8,9,10} |
4.16 |
{q,w,e,h} |
{w,e,r,t} |
4.17 |
{1,4,6,8} |
{1,2,3,4} |
4.18 |
{n,p,q} |
{p,q,u,v} |
4.19 |
{b,c,d} |
{c,d,e,h} |
4.20 |
{1,3,5} |
{2,3,5,7,8} |
4.21 |
{f,g,h,e} |
{e,g,j,k} |
4.22 |
{6,7,8} |
{5,6,7} |
4.23 |
{w,r,t} |
{t,y,v,w} |
4.24 |
{3,4,7} |
{4,7,9,10} |
4.25 |
{w,e,h} |
{w,r,t} |
4.26 |
{4,6,8} |
{1,2,3,4,5,6} |
4.27 |
{n,p,q,w} |
{q,u,v,w} |
4.28 |
{1,3,5,7} |
{4,5,6,7} |
4.29 |
{e,a,I,o} |
{a,j,o} |
4.30 |
{1,3,4,6} |
{1,4,9,10} |
5 Пусть универсальное множество U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Для данных множеств А и В найти:
а);
б) ;
в) ;
г) .
Т а б л и ц а 5
|
A |
B |
|
A |
B |
|||||||||||
5.1 |
{1,2,3} |
{4,5} |
5.2 |
{3,4,5} |
{7,8} |
|||||||||||
5.3 |
{7,8,9} |
{1,2,3} |
5.4 |
{7,8,9} |
{3,4,5} |
|||||||||||
5.5 |
{4,5} |
{2,3} |
5.6 |
{4,7,8} |
{9,0} |
|||||||||||
5.7 |
{3,4} |
{6,7,8} |
5.8 |
{2,6,8} |
{1,2,3} |
|||||||||||
5.9 |
{3,5,7} |
{1,4,6} |
5.10 |
{8,9,0} |
{1,2,4} |
|||||||||||
5.11 |
{1,3,5} |
{6,7,8} |
5.12 |
{0,1,2} |
{8,9} |
|||||||||||
5.13 |
{6,7,8} |
{4,5} |
5.14 |
{4,5,6} |
{1,2} |
|||||||||||
5.15 |
{3,4,8} |
{1,9} |
5.16 |
{2,9,5} |
{3,4} |
|||||||||||
5.17 |
{4,6,8} |
{1,2,3} |
5.18 |
{2,3} |
{4,7,9} |
|||||||||||
5.19 |
{1,5,6} |
{2,3} |
5.20 |
{1,3,5} |
{2,7,8} |
|||||||||||
5.21 |
{6,7,9} |
{5,8} |
5.22 |
{6,7,8} |
{5,9} |
|||||||||||
5.23 |
{2,4,6} |
{3,5} |
5.24 |
{3,4,7} |
{8,9} |
|||||||||||
5.25 |
{5,6,0} |
{1,2} |
5.26 |
{6,8} |
{2,3} |
|||||||||||
5.27 |
{1,3,4} |
{7,8} |
5.28 |
{1,3,5} |
{6,7} |
|||||||||||
5.29 |
{7,8} |
{4,6,9} |
5.30 |
{3,4,6} |
{1,9} |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Доказать тождество:
а) с помощью диаграмм Эйлера-Венна;
б) используя определения операций над множествами или свойства операций.
Т а б л и ц а 6
6.1 A\(BC)=(A\B)∩(A\C) |
6.2 ABC= A∩C |
6.3 A\(B∩C)=(A\B) (A\C) |
6.4 |
6.5 A\(A\B)=A∩B |
6.6 |
6.7 A\B=A\(A∩B) |
6.8 |
6.9 A∩(B\C)=(A∩B)\(A∩C)=(A∩B)\C |
6.10 |
6.11 (A\B)\C=(A\C)\(B\C) |
6.12 |
6.13 AB=A(B\A) |
6.14 |
6.15 (A∩B) (A∩B )=A |
6.16 |
6.17 (AB)∩(AB )=A |
6.18 |
6.19 ( AB)∩A=A∩B |
6.20 |
6.21 (AB)\C=(A\C) (B\C) |
6.22 |
6.23 A\(B\C)=(A\B) (A∩C) |
6.24 |
6.25 A\(BC)=(A\B)\C |
6.26 A(B∩C)=(AB)∩(AC) |
6.27 (A\B)C=(AC)\B |
6.28 (AB)∩A=(A∩B) A=A |
6.29 (A\B)C=(AC) |
6.30 |
7 Даны множества А={a,b,c,d}, В={1,2,3,4} и отношения :
a) построить матрицы отношений и ;
б) изобразить отношения графически;
в) найти ;
г) проверить, является ли отношение рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.
Т а б л и ц а 7
|
||
7.1 |
||
7.2 |
||
7.3 |
||
7.4 |
||
7.5 |
||
7.6 |
||
7.7 |
||
7.8 |
||
7.9 |
||
7.10 |
||
7.11 |
||
7.12 |
||
7.13 |
||
7.14 |
||
7.15 |
||
7.16 |
||
7.17 |
||
7.18 |
||
7.19 |
||
7.20 |
||
7.21 |
||
7.22 |
||
7.23 |
продолжение таблицы 7
7.24 |
||
7.25 |
||
7.26 |
||
7.27 |
||
7.28 |
||
7.29 |
||
7.30 |
8 Доказать, что отношение является отношением эквивалентности на множестве . Построить классы эквивалентности и фактор-множество.
Т а б л и ц а 8
|
|
8.1 |
|
8.2 |
|
8.3 |
|
8.4 |
|
8.5 |
|
8.6 |
|
8.7 |
|
8.8 |
|
8.9 |
|
8.10 |
|
8.11 |
|
8.12 |
|
8.13 |
|
8.14 |
|
8.15 |
|
8.16 |
|
8.17 |
|
8.18 |
|
8.19 |
|
8.20 |
|
8.21 |
|
8.22 |
|
8.23 |
продолжение таблицы 8
8.24 |
|
8.25 |
|
8.26 |
|
8.27 |
|
8.28 |
|
8.29 |
|
8.30 |
9 Даны два отношения и :
а) доказать, что эти отношения являются функциями;
б) найти композиции ;
в) какими свойствами обладают отношения (инъективность, сюръек-тивность, биективность).
Т а б л и ц а 9
9.1 |
9.2 |
9.3 |
9.4 |
9.5 |
9.6 |
9.7 |
9.8 |
9.9 |
9.10 |
9.11 |
9.12 |
9.13 |
9.14 |
9.15 |
9.16 |
9.17 |
9.18 |
9.19 |
9.20 |
продолжение таблицы 9
9.21 |
9.22 |
9.23 |
9.24 |
9.25 |
9.26 |
9.27 |
9.28 |
9.29 |
9.30 |
1.3 Решение типового варианта
1 Множество задать перечислением элементов
Решение:
2 Множество задать общим свойством
Решение:
.
3 Для множества :
a) составить булеан (т.е. множество всех подмножеств);
б) какое-нибудь покрытие;
в) какое-нибудь разбиение;
г) произвольное множество его подмножеств (ни булеан, ни разбиение, ни покрытие).
Решение:
а) так как состоит из трёх элементов, то булеан P имеет элементов: P ;
б) например, - покрытие ;
в) например, или - разбиение ;
г) например, - ни булеан, ни разбиение, ни покрытие.
4 Для данных множеств и найти множества:
а);
б);
в);
г).
Решение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
5 Пусть универсальное множество U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Для данных множеств и найти:
а);
б) ;
в) ;
г) .
Решение:
а) ;
б) ;
в)
;
г)
.
6 Доказать тождество :
а) с помощью диаграмм Эйлера-Венна;
б) используя определения операций над множествами или свойства операций.
Решение:
а)
Рисунок 1 Рисунок 2
Таким образом, на обоих рисунках фигуры, изображающие множества и , одни и те же (заштрихованы решеткой );
б) если , то ( и ) ( и ) .
Если , то ( и ) ( и ), что и требовалось доказать.
7 Даны множества и и отношения и
:
а) построить матрицы отношений и ;
б) изобразить отношения графически;
в) найти ;
г) проверить, является ли отношение рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным.
Решение:
а) -матрица отношения , где
Таким образом, , ;
б)
Рисунок 3 Рисунок 4
Заметим, что существуют другие способы графического изображения отношений. Например, отношение можно изобразить как на рисунке 5, а отношение – как на рисунке 6;
Рисунок 5 Рисунок 6
в) так как , то , . Поскольку , и
, то дополнением к будет отношение
.
Поскольку и , что, где , то ;
г) свойства отношения проще определить по его матрице . Так как на главной диагонали этой матрицы не все единицы, то отношение не рефлексивно, так как , то оно не симметричное. Поскольку все элементы вне главной диагонали не являются нулями, то не антисимметричное, так как, например, , но , то не транзитивное.
8 Доказать, что отношение является отношением эквивалентности на множестве . Построить классы эквивалентности и фактор-множество.
Решение:
отношение является отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно. Построим матрицу отношения и по ней определим его свойства.
. Так как эта матрица содержит единицы на главной диагонали, то - рефлексивно; так как , то оно симметрично. Построим , его матрица
. Для рефлексивности отношения надо, чтобы или , если , то . Сравнивая отношения и , а также их матрицы, видим, что и , что доказывает, что - рефлексивно.
Классом эквивалентности элемента называется множество . Множество всех классов эквивалентности называется фактор-множеством множества по отношению . Множество является разбиением множества .
Построим классы эквивалентности для каждого элемента множества :
;
;
;
.
Таким образом, . Фактор-множество множества по отношению будет: .
9 Даны два отношения и :
а) доказать, что эти отношения являются функциями;
б) найти композиции ;
в) какими свойствами обладают отношения (инъективность, сюръек-тивность, биективность).
Решение:
а) отношение является функцией, если или для любого существует единственный , что .
В нашем случае и являются функциями, так как для любого действительного числа , числа и существуют и будут единственными.
б) ,
;
в) проверим данные функции на инъективность. Функция называется инъективной, если или . Для функции условие инъективности не выполняется, т.е. не существуют пары значений , которым соответствует одно : , но и , т.е. .
Функция инъективна, так как для любых действительных выполняется . Проверим функции на сюръективность. Функция называется сюръективной, если для любого существует , что или область значений отношения совпадает с .
Функция , не сюръективна, так как область значений .
Функция , сюръективна, так как .
Функция называется биективной, если она и инъективна, и сюръективна, поэтому не биективная функция, - биективная.
Список литературы
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.: ИНФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.
2. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера
в примерах и упражнениях: Учебное пособие. – М.: Логос, 2004. – 240 с.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: Учебник
для вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2004. – 364 с.: ил. – (Серия «Учебник для вузов»).
4. Андерсон Д. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ. –
М.: Издатель- ский дом «Вильямс», 2004. – 960 с.: ил. – Парал. тит. англ.
5. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических
занятий. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М. «Высшая
школа», 2001.
Содержание