АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Дискретная математика
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графических работ
(для студентов очной формы обучения специальности
050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение)
Часть 2
СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, Л.Н.Ким, М.Ж.Байсалова. Алгебра и геометрия. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №3 дисциплины «Алгебра и геометрия» для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
1 Типовой расчёт 2. Элементы математической логики
1.1 Теоретические вопросы
1 Основные понятия логики высказываний. Высказывание, основные логические операции.
2 Логические переменные и формулы. Таблицы истинности логических операций и формул. Соглашение о приоритетах логических операций.
3 Функции алгебры логики. Способы задания логических функций (таблица истинности, нулевые и единичные наборы, вектор значений, формула).
4 Эквивалентность формул. Основные эквивалентные соотношения алгебры логики.
5 Полные системы логических функций. Приведение логических формул к ДНФ, КНФ.
6 Совершенные ДНФ и КНФ (СДНФ и СКНФ).
7 Минимизация в классе ДНФ. Карты Карно.
8 Коммутационные схемы.
9 Двойственность. Булева алгебра и теория множеств.
1.2 Расчётные задания
1 Составить таблицы истинности для формул
Т а б л и ц а 1
1.1 |
1.16 |
1.2 |
1.17 |
1.3 |
1.18 |
1.4 |
1.19 |
1.5 |
1.20 |
1.6 |
1.21 |
1.7 |
1.22 |
1.8 |
1.23 |
1.9 |
1.24 |
продолжение таблицы 1
1.10 |
1.25 |
1.11 |
1.26 |
1.12 |
1.27 |
1.13 |
1.28 |
1.14 |
1.29 |
1.15 |
1.30 |
2 Установить эквивалентность формул:
а) с помощью таблиц истинности;
б) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных преобразований.
Т а б л и ц а 2
2.1 и |
2.16 и |
2.2 и |
2.17 и |
2.3 и |
2.18 и |
2.4 и |
2.19 и |
2.5 и |
2.20 и |
2.6 и |
2.21 и |
2.7 и |
2.22 и |
2.8 и |
2.23 и |
2.9 и |
2.24 и |
2.10и |
2.25 и |
2.11 и |
2.26 и |
2.12 и |
2.27 и |
2.13 и |
2.28 и |
2.14 и |
2.29 и |
продолжение таблицы 2
2.15 и |
2.30 и |
3 Упростить формулы
Т а б л и ц а 3
3.1 |
3.16 |
3.2 |
3.17 |
3.3 |
3.18 |
3.4 |
3.19 |
3.5 |
3.20 |
3.6 |
3.21 |
3.7 |
3.22 |
3.8 |
3.23 |
3.9 |
3.24 |
3.10 |
3.25 |
3.11 |
3.26 |
3.12 |
3.27 |
3.13 |
3.28 |
3.14 |
3.29 |
3.15 |
3.30 |
4 Записать формулы в виде, содержащем только операции , , над простыми переменными
Т а б л и ц а 4
4.1 |
4.16 |
4.2 |
4.17 |
4.3 |
4.18 |
4.4 |
4.19 |
продолжение таблицы 4
4.5 |
4.20 |
4.6 |
4.21 |
4.7 |
4.22 |
4.8 |
4.23 |
4.9 |
4.24 |
4.10 |
4.25 |
4.11 |
4.26 |
4.12 |
4.27. |
4.13 |
4.28 |
4.14 |
4.29 |
4.15 |
4.30 |
5-12 Для данной формулы:
а) составить таблицу истинности;
б) привести к ДНФ;
в) по таблице истинности составить СДНФ;
г) построить карту Карно;
д) с помощью карты Карно найти минимальную ДНФ (МДНФ);
е) от МДНФ перейти к КНФ;
ж) найти СКНФ;
и) по карте Карно найти МКНФ
Т а б л и ц а 5
1 |
16 |
2 |
17 |
3 |
18 |
4 |
19 |
продолжение таблицы 5
5 |
20 |
6 |
21 |
7 |
22 |
8 |
23 |
9 |
24 |
14 |
29 |
15 |
30 |
13 Упростить схемы
13.2
13.3
13.4
13.5
|
|
|
13.7
13.8
13.9
13.10
13.11
13.14
13.15
13.16
13.16
13.17
|
|
|
13.24
|
13.30
1.3 Решение типового варианта
1 Установить эквивалентность формул и :
а) с помощью таблиц истинности;
б) приведением формул к СДНФ с помощью элементарных преобразований.
Решение:
а) составим таблицы истинности формул используя таблицы истинности входящих в них операций:
x |
y |
z |
|||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Так как 7-ой и 10-ый столбцы, т.е. столбцы значений формули совпадают, то эти формулы эквивалентны;
б) преобразуем формулу сначала к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) используя известные свойства логических операций:
=[дистрибутивность]==
[идемпотентность]=. Последнее выражение является ДНФ формулы . Чтобы получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ), добавим недостающие переменные в первую и вторую конъюнкты используя закон расщепления
(): ===[коммутативность, идемпотентность]= = - СДНФ формулы .
Формула задана в ДНФ, поэтому для определения её СДНФ добавим в каждую конъюнкту недостающие переменные:
===[коммутативность,
идемпотентность]= - СДНФ формулы .
Так как СДНФ обеих формул совпадают, то они эквивалентны.
2 Упростить формулу
Решение:
при упрощении формулы будем использовать свойства логических операций: =[используем известную эквивалентность]== дистрибутивность]= ==
[коммутативность, закон противоречия, идемпотентность] =
=[свойство нуля, коммутативность]== [дистрибутивность]=
=[свойство единицы, идемпотентность]=
.
3 Дана формула :
а) привести формулу к ДНФ;
б) построить таблицу истинности;
в) по таблице истинности составить СДНФ;
г) построить карту Карно;
д) с помощью карты Карно найти минимальную ДНФ (МДНФ);
е) от МДНФ перейти к КНФ;
ж) построить СКНФ;
з) по карте Карно найти МКНФ.
Решение:
а) ДНФ формулы получим используя определение операции и свойства логических операций: ==[закон Де-Моргана] = = [двойное отрицание] = ==[дистрибутивность]=
==[идемпотентность]=
=. Последнее выражение является ДНФ данной формулы;
б) построим таблицу истинности формулы:
A |
B |
C |
D |
||||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
в) составим совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) формулы по таблице истинности. Для этого выпишем наборы значений переменных, на которых формула принимает значение 1(=1):
{(0011),(0100),(0101),(0110),(0111),(1011),(1111)}. Теперь применяем правило, по которому СДНФ функции содержит столько конъюнкт, сколько единиц в столбце значений ; каждому единичному набору нулей и единиц соответствует конъюнкта всех переменных, в которых взято с отрицанием, если , и без отрицания, если. Итак, СДНФ нашей формулы содержит дизъюнкцию семи конъюнкт вида (знак опустим):
;
г) карта Карно функции четырёх переменных представляет собой таблицу, содержащую ячеек (столько, сколько всех возможных наборов 0 и 1 функции четырёх переменных), строки и столбцы соответствуют значениям переменных или их отрицаниям, так, чтобы соседние ячейки отличались только значением одной переменной. Для получения МДНФ каждая конъюнкта СДНФ функции отмечается единицей в соответствующей ячейке карты Карно;
|
|
||||
1 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
||
1 |
1 |
|
1 |
||
|
|
Рисунок 1
д) чтобы получить МДНФ, надо объединить рядом стоящие по вертикали и горизонтали единицы в так называемые блоки, состоящие из 2, 4, 8 и т.д. ячеек (блоком из 2 ячеек считаются также единицы, стоящие в углах при одной стороне таблицы или из 4 – единицы, стоящие во всех углах, т.к., например, в последнем случае карту можно «свернуть» как тор столбцы к столбцам (С к С) и строки к строкам (D к D)). В нашей карте Карно есть два блока по 4 ячейки. Блок, стоящий в левом нижнем углу покрывают переменные и , поэтому ему соответствует конъюнкция , блоку из 4 ячеек в углах карты соответствует конъюнкция . Таким образом, МДНФ формулы имеет вид .
е) приведём МДНФ к конъюнктивной нормальной форме (КНФ):
=[двойное отрицание]==
[закон Де-Морганаъюнктивной нормальной форме (КНФ):
нем углу покрывают переменные ]==[закон Де-Морганаъюнктивной нормальной форме (КНФ):
нем углу покрывают переменные ]=
==[дистрибутивность]=
==[закон Де-Морганаъюнктивной нормальной форме (КНФ):
нем углу покрывают переменные ]=
==[закон Де-Моргана, двойное отрицаниеъюнктивной нормальной форме (КНФ):
нем углу покрывают переменные ]=
= - КНФ формулы;
ж) совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ) получим используя нулевые наборы значений переменных. Выпишем из таблицы истинности формулы наборы, на которых формула имеет значение 0 (=0):
. Теперь, следуя правилу, что СКНФ содержит столько дизъюнкт, сколько нулей в столбце значений , и каждому нулевому набору нулей и единиц соответствует дизъюнкта всех переменных, в которых i-ая переменная взята с отрицанием, если , и без отрицания, если , получим; –
СКНФ формулы;
з) для получения МКНФ можно использовать карту Карно, по которой минимизировали ДНФ, заменив в ней переменные на их отрицания и наоборот, на пустые места поставив 0 и убрав 1, либо заполнить нулями ячейки соответствующие дизъюнктам СКНФ. Отметим на карте максимальные блоки, содержащие 2,4,8 и т.д. нулевых соседних ячеек. В нашем случае имеется 4 блока по 4 ячейки, которым соответствуют упрощённые дизъюнкты двух переменных. Окончательно получим, что МКНФ формулы имеют вид
.
|
|
|||||
0 |
0 |
|
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
0 |
0 |
|||
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
Рисунок 2
4 Упростить схему
Решение:
составим функцию проводимости для данной схемы
. Используя один из методов ( например, метод элементарных преобразований, минимизация с помощью карт Карно и т.д.), упрощаем эту функцию:
[дистрибутивность]==[свойство поглощения]=
=. Полученной формуле соответствует упрощённая схема:
1.4 Справочный материал
Логические операции и их таблицы истинности
1. Конъюнкция – (), читается «x и y».
2. Дизъюнкция – ( ), читается «x или y».
3. Отрицание (инверсия) – (), читается «не x».
4. Импликация - (), читается «если х, то у».
5. Эквиваленция – (), читается «х если и только если у».
6. Штрих Шеффера – (), определяется как отрицание конъюнкции, т.е. читается «не x и y».
7. Стрелка Пирса – (), определяется как отрицание дизъюнкции, т.е. читается «не x или y».
8. Кольцевая сумма – (), определяется как отрицание эквиваленции (исключающее «или»), т.е. читается «или х, или у».
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Основные эквивалентные соотношения (законы)
1 |
Коммутативность |
||||
2 |
Ассоциативность |
||||
3 |
Дистрибутивность |
||||
4 |
Идемпотентность |
||||
5 |
Законы поглощения |
||||
6 |
Закон Де-Моргана |
||||
7 |
Двойное отрицание |
||||
8 |
Свойства констант |
||||
9 |
-закон противоречия |
-закон исключённого третьего |
|||
|
|
|
|
|
Некоторые другие полезные эквивалентные соотношения:
10 |
Закон склеивания |
||||
10а |
Закон расщепления |
||||
11 |
Обобщённое склеивание |
||||
12 |
|||||
13 |
|||||
14 |
|||||
15 |
|||||
16 |
|||||
|
|
|
|
Схема приоритетов логических операций
Список литературы
1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.: ИНФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.
2. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учебное пособие. – М.: Логос, 2004. – 240 с.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 2-е изд. – СПб.: Питер, 2004. – 364 с.: ил. – (Серия «Учебник для вузов»).
4. Андерсон Д. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ. – М.: Издатель- ский дом «Вильямс», 2004. – 960 с.: ил. – Парал. тит. англ.
5. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М. «Высшая школа», 2001.
Содержание
1 Типовой расчёт 2. Математическая логика