Замена переменных в кратном интеграле Пусть у нас задано биективное отображение , переводящее областьв:

,

где t — «старые» координаты, а x — «новые» координаты. Пусть также функции, задающие отображение, имеют в области непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуляЯкобиан. Тогда при условии существования интеграласправедлива формула замены переменных:

Выражение двойного интеграла через полярные координаты

Переход из прямоугольных координат в полярные.

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что

.

Здесь является элементом площади в полярных координатах.

Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с .

Здесь — элемент объема в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах , гдеявляется элементом объема в прямоугольных координатах.

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что

Здесь является элементом объема в цилиндрических координатах.Выражение тройного интеграла через сферические координаты Объем в сферических координатах Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что

Здесь является элементом объема в цилиндрических координатах.