Операционное исчисление

     Преобразование Лапласа 

(f - оригинал; F - изображение).

     Запись 

     Условия на оригинал 

     1. 

     2. f - кусочно-непрерывна на R.

     3. такие, что 

     Линейность 

     Теорема подобия 

     Если то 

     Теорема запаздывания 

     Если то 

     Теорема смещения 

     Если то 

Дифференцирование оригинала 

     Если - оригинал, то

     Если - оригинал, то

     Интегрирование оригинала 

     Если то

     Дифференцирование изображения 

     Если то

     Интегрирование изображения 

     Если - оригинал, то     Изображение свертки (теорема умножения) 

     Если то

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1) эллипсоиды  — эллипсоиды,  — мнимые эллипсоиды;   2) гиперболоиды:   — однополостные гиперболоиды,  — двуполостные гиперболоиды;   3) параболоиды (p > 0, q > 0):  — эллиптические параболоиды,   — гиперболические параболоиды;   4) конусы второго порядка:  — конусы,  — мнимые конусы;   5) цилиндры второго порядка:   — эллиптические цилиндры,  — мнимые эллиптические цилиндры,  — гиперболические цилиндры,   — параболические цилиндры.

Приведение общих уравнений кривых к канон

    Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

 

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

             ,                                             (11.5)

называется алгебраической линией второго порядка.

Для квадратичной формы  можно задать матрицу

                  .                                                                                  (11.6)

   Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1)       поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2)       параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

  Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

               (в предположении, что λ_1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

             . Получим в новой координатной системе уравнение

                                             .                                                     (11.7)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ₁, λ₂ и :

1)       если собственные числа матрицы А λ₁ и  λ₂  и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

                               , где       

(случаи  и , имеющего знак, противоположный знаку λ₁, λ₂, будут рассмотрены в следующей лекции).

2)       если λ₁ и  λ₂  имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

   или    , в зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

                              ,                                                                              (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

Производные и диффиринциал высших порядков