3.4 Относительное положение прямой и точки

 

 

Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям прямой, т.е. если прямая проходит через точку, то проекции прямой проходят через проекции точки. Если хотя бы одна из проекций точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то и точка находится вне этой прямой. На рисунке 21 точка С принадлежит прямой АВ; точки D и E не принадлежат прямой АВ.

Рисунок 21

 

Проекции точки D совпадают с разноименными проекциями прямой (D₁  А₂В₂, а D₂  А₁В₁), а потому точка D не лежит на прямой АВ. Точка D находится в III четверти, а отрезок АВ – в I четверти. Совпадение D₁ с А₂В₂ и D₂ с А₁В₁ является случайным. Точка К не лежит на прямой MN , так как ее профильная проекция К₃ не находится на профильной проекции этой прямой (M₃N₃).

Если точка принадлежит отрезку прямой, то она делит этот отрезок в каком-то определенном отношении. Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рисунок 22): АС  СВ = А'С'  С'В', так как прямые АА', СС' и ВВ' параллельны между собой, т.е. если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фаллеса).

 

Рисунок 22 Рисунок 23

 

 

На рисунке 23 показан пример деления отрезка в отношении

АС  СВ = 3  2. Из произвольной точки концов отрезка АВ (например, из точки А₁) проводим произвольную прямую линию и откладываем на ней пять равных между собой отрезков. Точку 5 соединяем с точкой В₁. Через точку 3 проводим прямую, параллельную прямой 5-В₁, до пересечения с А₁В₁ в точке С₁. По точке С₁ строим проекцию С₂. В точке С отрезок АВ разделен в отношении 3: 2, считая от точки А.

3.5 Взаимное расположение двух прямых линий

 

 

Две прямые в пространстве (рисунок 24) могут совпадать a  b, быть параллельными с  d, пересекаться m  n и скрещиваться e  l.

Если две прямые взаимно параллельны, то и одноименные их проекции также будут параллельны (рисунок 24, б): с  d  с ₁ d₁  с₂  d₂.

Особо нужно отметить профильные прямые, о параллельности которых можно судить только по их профильным проекциям.

Если две прямые в пространстве пересекаются, то пересекаются и одноименные их проекции, причем точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых должны лежать на одной линии связи

 

 

m₁  n₁ = K₁

m  n = K

m₂  n₂ = K₂ .

 

 

Если две прямые в пространстве скрещиваются, то одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи:

e  l  e₁  l₁ = 1₁(2₁) – горизонтально-конкурирующие точки,

e₂  l₂ = 3₂(4₂) – фронтально - конкурирующие точки,

или одна пара проекций будет пересекаться, а вторая может быть параллельными прямыми (рисунок 25).

Две прямые, параллельные или пересекающиеся, могут иметь общую проецирующую плоскость (рисунок 26, а), тогда их изображения на соответствующую плоскость проекций совпадут, то такие прямые называются конкурирующими:

 

a₂  b₂ = A₂

a  b = A 

a₁  b₁, A₁  a₁(b₁).

 

 

Прямые линии a и b, горизонтально-конкурирующие, имеют общую горизонтально-проецирующую плоскость (рисунок 26, б). Прямые линии c и d (рисунок 26, в), фронтально-конкурирующие, имеют общую фронтально-проецирующую плоскость.

 

 

 

 

Рисунок 24

Рисунок 25

а) б) в)

 

Рисунок 26