7.3 Плоскопараллельное перемещение

 

 

Под плоскопараллельным перемещением понимают такое преобразование фигур, когда все их точки, не меняя взаимного расположения, изменяют его относительно неподвижных плоскостей проекций. При плоскопараллельном перемещении все точки фигуры перемещаются в параллельных плоскостях. Обычно это плоскости уровня или проецирующие плоскости. Линии, по которым перемещаются точки, называются их траекториями, это плоские кривые.

При плоскопараллельном перемещении геометрического образа одна из его проекций, оставаясь равной самой себе, перемещается в плоскости проекций, другие проекции точек геометрического образа перемещаются по прямым, параллельным направлению оси проекций. На рисунке 82 показано применение способа плоскопараллельного перемещения к определению натуральной величины треугольника АВС произвольного положения.

Рисунок 82

 

Такая задача решается двумя последовательными перемещениями. Первым перемещением треугольника АВС переводится в положение, перпендикулярное горизонтальной плоскости проекций. Для этого намечаем в плоскости треугольника фронталь f(C1). Проекцию f₂(C₂1₂) перемещаем в положение C₂’1₂’ так, чтобы она совпала с направлением проецирования. В этом случае фронталь плоскости АВС перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, а треугольник АВС представляется в горизонтально проецирующей плоскости. Горизонтальная проекция A₁’B₁’C₁’ треугольника проецируется в отрезок прямой.

Вторым перемещением треугольник располагают параллельно фронтальной плоскости проекций. В этом случае горизонтальная проекция A₁’B₁’C₁’ приводится в положение A₁’’B₁’’C₁’’, параллельное направлению оси проекций, а фронтальная проекция A₂’’B₂’’C₂’’ представляет собой треугольник АВС в натуральную величину.

Из рассмотренного примера следует, что плоскопараллельное перемещение можно рассматривать как вращательное без указания осей, т.е. вращательное перемещение вокруг не выявленных проецирующих прямых.

При параллельном перемещении геометрического образа одна из его проекций, оставаясь равной самой себе, перемещается в плоскости чертежа,

другие проекции точек геометрического образа перемещаются по прямым, параллельным направлению оси проекций.

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

1. Перечислите способы преобразования чертежей геометрических образов.

2.Зачем необходимо преобразование комплексного чертежа?

3. В чем заключается основное различие способов преобразования чертежа?

4. В чем сущность способа замены плоскостей проекций?

5. Как надо расположить новые плоскости проекций, чтобы отрезок прямой общего положения проецировался в натуральную величину, в точку?

6. Как нужно расположить новую плоскость проекции, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей?

7. При каком расположении плоской фигуры можно определить ее истинную величину путем замены только одной плоскости проекций?

8. В чем заключается способ вращения?

9. Какие линии используются в качестве линий вращения?

10. Как изменяется фронтальная проекция предмета при вращении его вокруг фронтально проецирующей прямой?

11. Что такое радиус вращения точки?

12. Какую прямую линию принимают за ось вращения при переводе отсека плоскости из общего положения в горизонтально проецирующую плоскость?

13. Какое название встречается для вращения без изображения оси?

14. Укажите последовательность приемов определения натуральной величины отсека плоскости способом плоскопараллельного перемещения?

 

 

 

 

 

 

 

8 Метрические задачи

 

 

Метрическими принято считать задачи, решение которых связано с определением на комплексном чертеже истинных величин расстояний, углов и плоских фигур. В большинстве метрических задач участвуют прямые и плоскости. Следовательно, если заранее будет известно, какие построения необходимо выполнить, чтобы прямая или плоскость общего положения заняла частное положение, то это значительно облегчит решение метрических задач.

Все многообразие метрических задач можно свести к следующим группам:

- задачи на определение расстояния между двумя точками;

- задачи на нахождение величины угла между двумя пересекающимися прямыми;

- задачи на определение истинной величины плоской фигуры.

Первая группа задач включает в себя определение расстояний от точки до другой точки, до прямой, до плоскости, до поверхности; от прямой до другой прямой, плоскости; от плоскости до плоскости.

Вторая группа задач включает в себя определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (определение величины двугранного угла).

Алгоритм решения всех метрических задач опирается на два инварианта ортогонального проецирования:

а) теорему (прямую и обратную) о проецировании прямого угла. Напомним ее: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой угол (АВС  90^)  (ВС)  ₁, (ВА  ₁)  АВС 90^;

б) свойство любой плоской фигуры проецироваться без искажения, в конгруэнтную фигуру, на ту плоскость проекций, которая параллельна этой фигуре, т. е. (Ф  )  (  )  Ф  Ф.

Рассмотрим решение искомых из перечисленных задач.

 

 

 

8.1 Определение расстояний

 

 

Задачи на определение расстояний между геометрическими образами в конечном счете сводятся к нахождению расстояния между двумя точками. При решении метрических задач широко используют преобразования исходного чертежа.

При этом под преобразованием чертежа понимают построения на чертеже, отображающие изменения положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве и приводящие к образованию нового поля проекций.

1. Расстояние от точки до точки определяется длиной отрезка прямой, соединяющей эти точки. Отрезок прямой линии проецируется в натуральную величину на параллельную ему плоскость проекций. Натуральная величина отрезка может быть получена различными способами:

- способом прямоугольного треугольника;

- способом вращения;

- способом перемены (замены) плоскостей проекций.

На рисунке 83 приведены примеры определения натуральной величины

а) б) в)

 

Рисунок 83

 

отрезка АВ способом проецирования его на дополнительную плоскость проекций, параллельную отрезкуАВ. На рисунке 83, а использован способ прямоугольного треугольника, когда дополнительная плоскость    АВ и недостающая координата одного конца отрезка – точки А или В равна нулю. На рисунке 83, б – способом вращения отрезка АВ вокруг проецирующей прямой – оси i или j: i  А, i  ₁ или j  А, i  ₂. На рисунке 83, в использован способ перемены плоскостей проекций: ₄  АВ, ₄ ₁ или ₅  АВ, ₅  ₂.

2. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав его в новой системе плоскостей проекций, проецирующей. На рисунке 84 определено расстояние от точки С до прямой АВ:

а) ₂  ₁  ₁  ₄; ₄ || AB; X₁₄ || A₁B₁;

б) ₁  ₄   ₄  ₅; ₅  АВ; Х₄₅ || A₄B₄;

в) С₅К₅ – истинное расстояние от точки С до прямой АВ.

Рисунок 84

 

Чтобы построить проекции перпендикуляра СК в исходной системе плоскостей, строим основание перпендикуляра – точку К на прямой АВ из условия, что в системе ₄  ₅ он занимает положение уровня, т.е.

С₄К₄  А₄В₄. Горизонтальная и фронтальная проекция точки К определяется по линиям связи из условия принадлежности ее прямой АВ.

3.Расстояние между двумя параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними. На рисунке 85 определено расстояние между прямыми АВ и СД путем преобразования чертежа прямых.

 

Рисунок 85

 

Сначала построено изображение прямых линий на плоскости ₄  ₁. В этой системе плоскостей прямые линии занимают положение линий уровня:

АВ (СД) || ₄; Х₁₄ || А₁В₁(С₁Д₁).

В системе плоскостей ₄  ₅ прямые линии занимают проецирующее положение по отношению к плоскости П₅:

₅  АВ(СД);

Х_{4 5}  А₄В₄(С₄Д₄).

Отрезок М₅К₅ между вырожденными проекциями прямых определяет истинную величину расстояния между прямыми АВ и СД.

4. Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми линиями необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций. На рисунке 86 приведено решение задачи на определение расстояния между скрещивающимися прямыми АВ и СД. Решение выполняется в следующей последовательности:

а) ₂  ₁  ₁  ₄; ₄ || AB; Х₁₄ || А₁В₁;

б) ₁₄  ₄  ₅; ₅ АВ; Х₄₅ || А₄В₄;

в) М₅К₅ – кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Рисунок 86

 

5. Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проеци-

рующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости. На рисунке 87 построены проекции перпендикуляра ДК, отрезок которого определяет расстояние от точки Д до плоскости (АВС): ₁  ₂  ₁  ₄; ₄  ; Х₁₄  h₁; h (А,1)  .

а) Д₄К₄  ₄ – истинная величина расстояния от точки Д до плоскости  (АВС);

б) К₂ построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости ₄.

Рисунок 87

 

6. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой линии точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

7. Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекций.

На рисунке 88 показано определение расстояния между параллельными плоскостями ( (АВС)   (f  h)) способом замены плоскостей проекций. Для этого выбирается новая плоскость проекций ₄     (х₁₄  h₁ и х₁₄  h_о). На плоскость ₄ заданные плоскости проецируются в прямые. Искомое расстояние – l.

Рисунок 88

 

 

 

8.2 Определение углов

 

 

Следующая группа задач включает в себя определение углов между пе-

ресекающимися и скрещивающимися прямыми линиями, между прямой и плоскостью, между плоскостями (определение величины двугранного угла).

1. Для определения величины угла наклона прямой к одной из плоскостей проекций следует заменить вторую плоскость проекций, расположив новую плоскость параллельно прямой; на этой плоскости угол проецируется в натуральную величину. Если прямая линия параллельна плоскости ₂, то угол между этой прямой и плоскостью ₁ изображается без искажения на фронтальной проекции. Если же прямая линия параллельна плоскости ₁, то образуемый этой прямой угол с плоскостью ₂ изображается без искажения на горизонтальной проекции.

2. Угол между пересекающимися прямыми линиями можно определить одним из следующих способов:

- заключением угла в треугольник; следует пересечь стороны угла произвольной прямой и определить натуральную величину полученного треугольника, откуда определяем натуральную величину заданного угла;

- вращением; необходимо поставить плоскость угла в положение, параллельное какой-либо плоскости проекций;

- переменой (заменой) плоскостей проекций; нужно изменить плоскости проекций так, чтобы одна из них стала параллельной плоскости заданного угла.

Наиболее просто и быстро приводит к этой цели способ вращения около горизонтали или фронтали; необходимо совместить заданный угол с плоскостью параллельной горизонтальной (фронтальной) плоскости проекций, проходящей через произвольную горизонталь (фронталь) плоскости угла.

На рисунке 89 истинная величина угла между двумя пересекающимися прямыми определена способом вращения вокруг горизонтали.

В₂

 

 

Рисунок 89

 

Через точку А (А₁, А₂) проведена горизонталь h (h₁, h₂), принадлежащая плоскости угла АВС и принята за ось вращения i. Вокруг этой оси выполнен поворот треугольника АВ1 до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций ₁ (А₁В₁С₁ // ₁). Точки А и 1 расположены на оси вращения, поэтому в процессе вращения своего положения в пространстве не меняют (А  А, 1 1), а точка В описывает окружность, плоскость которой проецируется на ₁ в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения (В₁В₁ h₁). В новом положении треугольника АВ1 радиус вращения точки В проецируется на ₁ без искажения R= О₁В₁. Радиус вращения точки В определен способом построения прямоугольного треугольника В_оВ₁О₁.

После поворота плоскость треугольника заняла положение, параллельное плоскости проекций ₁ (А₁В₁С₁ // ₁), и проецируется на эту плоскость без искажения А₁В1₁ = АВ1 = ^.

На рисунке 90 показано решение этой задачи способом двукратной замены плоскостей проекций.

 

Рисунок 90

 

Сначала плоскость угла АВС преобразуется в проецирующую

АВС  ₄ плоскости угла АВС (₅ // АВС, Х₄₅ // А₄В₄С₄). На эту плоскость проекций (₅) угол АВС проецируется без искажения А₅В₅С₅  АВС = ^.

3. Угол между двумя скрещивающимися прямыми называется плоский угол, который образуется между двумя прямыми, проведенными из произвольной точки пространства параллельно данным скрещивающимися прямым. На рисунке 91 показан пример решения по определению угла между двумя скрещивающимися прямыми.

Сначала выбирается произвольная точка N. Затем через эту точку проводятся две прямые a и b, параллельные двум заданным скрещивающимся прямым АВ и СD (а  АВ и d  СD. а₁  А₁В₁. а ₂  А₂В₂. b₁  С₁D₁. b ₂  С₂D₂). Угол между пересекающимися прямыми линиями a и b (точка N – точка их пересечения) определяется любым известным способом преобразования ортогональных проекций. На рисунке 91 показано определение этого угла способом вращения вокруг фронтали.

 

 

 

Рисунок 91

 

4.Угол между прямой АВ и плоскостью а называют угол ^ между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость (т. е. угол ВАВ, рисунок 92). На рисунке прямая АВ составляет с плоскостью П угол ^

(ВВ  ). Из приведенного определения следует, что величину угла ^ можно определить следующим образом (рисунок 92):

а) на прямой l через точку В (В  ') проводим прямую a, перпендикулярную заданной плоскости ';

б) находим точку В': В' = a  ';

в) находим точку А': А' = l  ';

г) строим отрезок А' В';

д) определяем истинный вид угла ВА' В' = °.

Данная задача решается проще с помощью угла ° , дополнительного до 90^о угла ° : °  °  90^о, °  90^о  ° , сторонами угла ° являются прямые l и a (a  ).

 

Рисунок 92

 

На рисунке 93 дан пример определения угла °, образованного прямой l и плоскостью  (h  f´ ). Задача решена с помощью угла °: °  (l, a);

a₁  h₁, a₂  f₂). Натуральная величина угла определена совмещением его сторон (l, a) с фронтальной плоскостью  путем вращения их вокруг фронтали f´ ( фронталь f´ принадлежит плоскости, которую образуют прямые l и a:

f´ {1; 2}, 1  a, 2  l). После определения угла ° вычисляем угол °:

°  90^о  °.

Рисунок 93

 

На рисунке 94 показано определение угла ^о между прямой l, плоскостью , заданной следами.

Из произвольной точки N, принадлежащей прямой l, опущен перпендикуляр MN на заданную плоскость  (h  f): M₁N₁  h_, M₂N₂  f _ (прямая l перпендикулярна плоскости , если ее проекции перпендикулярны соответствующим пересекающимся следам плоскости h_ и f _).

Угол ^о между двумя пересекающимися прямыми l и MN определен способом двукратной замены плоскостей проекций. Угол ^о между прямой l и заданной плоскостью определяется как дополнительный до 90^о угол ^о (^о + ^о = 90^о).

Рисунок 94