Matem-shpor

№13. Векторларды базис бойынша жіктеу.Векторларды сызықты түрлендіру. Егер R сызықты кеңістікте n сызықты тәуелсіз вектор бар болып, ал осы кеңістіктің кез келген n+1 векторы сызықты тәуелді болса, онда R кеңістікті n өлшемді деп атайды. Кейде кеңістік өлшемі n-ге тең дейді де, dim(R)=n деп немесе Rⁿ деп жазады. п өлшемді векторлық кеңістіктің п сызықты тәуелсіз векторларының жиыны базис деп аталады.Тұжырымдар: 1. Егер қандай да бір векторлар базис құрса, онда осы векторлардың координаталарынан құрылған анықтауыш нолден өзгеше болады.2. п өлшемді векторлық кеңістіктің әр бір векторы базистік векторлардың сызықты комбинациясы арқылы жазылады және бұл жазу жалғыз болады. Сонда, егер - кеңістіктің базисі болса, онда кез келген xR векторы жалғыз түрде былай жазылады:. Демек базисінде х векторы сандарымен жалғыз түрде анықталады. сандар х векторының осы базистегі координаталары деп аталады. R сызықты кеңістігінің әрбір xR векторына қандай да бір ереже бойынша AxR вектор сәйкес қойылса R сызықты кеңістігінде А түрлендіруі берілген деп атайды. Кез келген x, y векторы мен саны үшін A(x+y)=Ax+Ay, A(x)= Ax теңдіктері орындалса А түрлендіруі сызықты түрлендіру болады.Сызықты түрлендіру кез келген х векторды өзіне түрлендірсе, онда ол тепе-тең түрлендіру деп аталады. Тепе-тең түрлендіруді Е әрпімен белгілейді. Сызықты түрлендіруге қолданылатын амалдар: 1. А және В сызықты түрлендірулер қосындысы деп мынадай (А+В)х=Ах+Вх теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады.2.А сызықты түрлендіруі мен тұрақты санының көбейтіндісі деп мынадай (А)х=(Ах) теңдеумен анықталатын А сызықты түрлендіруді айтады.3. А және В сызықты түрлендірулер көбейтіндісі деп мынадай (АВ)х=А(Вх)теңдеумен анықталатын А+В сызықты түрлендіруді айтады. Егер А түрлендіруі үшін мынадай ВА=Е, АС=Е теңдіктер орындалатындай В және С сызықты түрлендірулері табылатын болса, онда В=С болады. Бұл жағдайда В=С=А^-1 деп белгілейді де А^-1 сызықты түрлендіруді А түрлендіруіне кері түрлендіру деп атайды. Сонымен, А^-1 А= АА^-1=Е. Егер сызықты түрлендіру матрицасының анықтауышы нолден өзгеше болса, онда А сызықты түрлендіруді өзгеше емес сызықты түрлендіру дейді. Әрбір өзгеше емес сызықты түрлендірудің жалғыз кері түрлендіруі бар болады. Ол түрлендіру матрицасы берілген түрлендіру матрицасыңың кері матрицасы болады.

№14.Сызықты оператордың меншікті векторлары ж\е меншікті мәндері. Нолдік емес х векторы үшін мынадай Ax=x теңдік орындалатындай қандай да бір нақты саны табылса х векторы А сызықты түрлендіруінің өзіндік векторы деп аталады.саны А түрлендіруінің х векторына сәйкес сипаттамалық саны деп аталады, өзіндік вектор А сызықты түрлендіру нәтижесінде өзіне колинеар векторға түрленетіні көрініп тұр. Ал өзіндік емес векторлар түрлендіруі күрделі болады, сондықтан алгебра мен оның қолдануларында өзіндік векторларды қолдану тиімді және ыңғайлы болады, теңдеуді матрицалық түрде жазсақ: AХ=Х мұндағы Х - х вектордың координаталарынан тұратын бағана вектор. Теңдеуді ашып жазайық:Теңдеулердің оң жағында нолдер болатындай етіп көшіріп жазайық,, матрицалық жазылуы: (A-Е)Х=0. Алынған біртекті теңдеулер жүйесінің 0=(0, 0, …, 0) нолдік шешімі әруақытта бар. Нолдік емес шешімі бар болуы үшін жүйе анықтауышы нолге тең болуы қажетті және жеткілікті:. анықтауыш қатысты n–дәрежелі көпмүше. Осы көпмүшені А сызықты түрлендірудің сипаттамалық көпмүшесі деп, ал 0-дік теңдеуді сипаттамалық теңдеуі деп атайды. Маңызды қасиеттері бар: 1. Сипаттамалық көпмүше базисті таңдап алудан тәуелсіз. 2. Егер А сызықты түрлендіру матрицасы симмиетриялы болса, онда сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері нақты сандар болады.

№15.Функцияның нүктедегі шегі.Тамаша шектер.Мысалдар. Егер алдын ала берілген, мейілінше аз санына саны табылып, шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х₀-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады: . теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз:. интервалды нүктесінің -маңайы дейді. Сол сияқты теңсіздікті ашсақ: . интервалды А нүктесінің -маңайы дейді. функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ жағдайда шегі бар және Осы шекті бірінші тамаша шек деп атайды.Бірінші тамаша шек салдары: 1) , 2) , 3). Мысалдар:

. ж\е .

функциясының жағдайда шегі бар және Осы шекті екінші тамаша шек деп атайды. Мұндағы иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.Екінші тамаша шек салдары:1) , a=e болғанда ;2) , a=e болғанда ; 3)

_{№16. Ақырсыз аз ж\е ақырсыз үлкен функциялар. Ақырсыз аздарды салыстыру.} функциясының жағдайда шегі ноль болса, яғни , онда функциясы жағдайда ақырсыз аз функция деп аталады. “” тілінде былай да айтуға болады: Кез келген үшін саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х-тер үшін теңсіздігі орындалса, функциясы жағдайда ақырсыз аз функция деп аталады.Ақырсыз аз функция қасиеттері. 1.Егер функциясының жағдайда А шегі бар болса, онда функциясын осы А саны мен жағдайда ақырсыз аз болатын функция қосындысы түрінде жазуға болады, яғни . 2.Ақырсыз аз функцияның шенелген функцияға (сонмен қатар, тұрақтыға, басқа ақырсыз азға) көбейтіндісі ақырсыз аз функция болады. 3.Ақырсыз аз функцияның шегі нолден өзге функцияға қатынасы ақырсыз аз функция болады. функциясының жағдайда шегі шексіздік болса, яғни , онда функциясы жағдайда ақырсыз үлкен функция деп аталады. Ақырсыз аз функция мен ақырсыз үлкен функция арасында мынадай байланыс бар: Егер функциясы жағдайда ақырсыз аз болса, функциясы жағдайда ақырсыз үлкен болады. Ақырсыз аз функциялар нолге әртүрлі жылдамдықпен жақындайды. Көптеген жағдайда ақырсыз аздардың нолге ұмтылу жылдамдығын анықтау үшін оларды өзара салыстыру керек болады. Салыстыру үшін олардың қатынасының жағдайдағы шегін қарастырады. және жағдайда ақырсыз аз функциялар және болсын. Онда, егер 1) болса -ға қарағанда жоғары ретті ақырсыз аз деп;2) болса мен бірдей ретті ақырсыз аз деп;3) болса мен эквивалентті ақырсыз аз деп аталады.

№17. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелері. Бірінші ж\е екінші текті үзілістер. функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни , функция нүктесінде үзіліссіз деп аталады. . Сонда функция үзіліссіздігінің анықтамасын былай да айтуға болады: Берілген нүктеде аргументтің ақырсыз аз өсімшесіне функцияның да ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе, яғнифункция нүктесінде үзіліссіз деп аталады. функциясы қандай да бір аралықтың үзіліссіз болуы үшін, ол сол аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болуы керек.Үзіліссіз функция қасиеттері.1. функциясы нүктесінде үзіліссіз, ал функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, күрделі функциясы нүктесінде үзіліссіз болады және . 2.Нүктеде үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы (бөліміндегі функция нолден өзге болғанда) үзіліссіз функция болады. функциясының жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болмаса, яғни , функция нүктесінде үзілісті функция деп, ал нүктені функцияның үзіліс нүктесі деп атайды және , онда деп жазады, ал осы жағдайдағы шекті функцияның сол жақты шегі деп атайды. Дәл осылайша функцияның оң жақты шегі де анықталады. Функцияның сол жақты және оң жақты шектерін біржақты шектер дейді.Үзіліс түрлерін ажыратайық. Функцияның нүктесінде өз-ара тең емес ақырлы біржақты шектері бар болса, нүктесі функцияның І-текті үзіліс нүктесі деп аталады. Кейде оны ақырлы секіріс деп (10а-сурет) атайды. Функцияның нүктесіндегі ақырлы біржақты шектердің ең болмағанда біреуі жоқ болса, нүктесі функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі деп аталады.

№18.Туындының анықтамасы. Функцияның үзіліссіздігі мен дифференциалдануының арасындағы байланыс. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны немесе деп белгілейді: Функцияның туындысын алуды – функцияны дифференциалдау дейді. (а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мына тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х₀ нүктеде дифференциалданса, онда функция х₀ нүктеде үзіліссіз болады. Бірақ осыған кері тұжырым дұрыс бола бермейді. Мысалы, y=|x| функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз. Бірақ оның x=0 нүктедегі туындысы болмайды. Шынында да, егер бар болса, туындыны мына формуламен табар едік:.Ал x=0 нүктеде болғандықтан қатынастың шегі болмайды. Шек болмаса туындысы да жоқ.

№19. Күрделі ж\е кері функцияның туындысы.Мысалдар. f(u(x)) күрделі функция туындысы: .

y=f(x) функциясына кері функция (x=f ^{- 1}(y)) туындысы: ; _{; ; ;:}

_{; ; ; ; ; ; ; ; ;}

_{№20. Функцияның дифференциалы туралы түсінік. Дифференциалдың жуықтап есептеуде қолданылуы.} Функция өсімшесінің сызықты бөлігі функция дифференциалы деп аталады да, dy деп белгіленеді. Сонымен, y=x функциясының дифференциалын табайық: . Демек аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз:Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамен тең болады, яғни . Түрлендірейік, . Осыдан, формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.

№21. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.

№22. Анықталмағандықты ашу. Лопиталь ережесі. f(x) және g(x) функциялары () жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады:. Мыс: .Бұл мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен түріндегі анықталмағандықты немесе түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х² бөлімнің бөліміне түсірдік.

№23. Функцияның экстремумы. Экстремумның жеткілікті шарты. х₀ нүктесінің - маңайы табылып, (х₀- х₀+), осы маңайдағы барлық хх₀ үшін f(x)>f(х₀) теңсіздігі орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х₀) теңсіздік орындалса, х₀ нүктесі f(x) функциясының максимум нүктесі деп аталады. Функцияның минимум және максимум нүктелерін экстремум нүктелері деп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдары дейді. Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында функция туындысы бар болсын (х₀ нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда, 1.егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х₀ нүкте максимум нүктесі болады;2.егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х₀ нүкте минимум нүктесі болады;3.егер х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертпесе, онда х₀ нүкте экстремум нүктесі емес. Экстремумның екінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х₀ нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір - маңайында екі рет дифференциалдансын. Сонымен қатар болса, онда 1.егер болса, онда х₀ нүкте f(x) функциясының максимум нүктесі болады;2.егер болса, онда х₀ нүкте f(x) функциясының минимум нүктесі болады.

№24.Қисықтың дөңестегі, ойыстағы ж\е иілу нүктелері. y=f(x) функция графигі (а,в) интервалының кез келген нүктесінде жүргізілген жанамадан төмен жатса, онда функция дөңес (дөңестігі жоғары қараған) деп, ал жанамадан жоғары жатса, онда функция ойыс (дөңестігі төмен қараған) деп аталады. Функция графигінің дөңес және ойыс бөліктерін бөліп тұратын нүктені функцияның иілу нүктесі деп атайды. Функция дөңестігінің жеткілікті шарты. (а,в) интервалында y=f(x) функциясының екінші ретті туындысы теріс таңбалы болса, функция графигі осы аралықта дөңес, ал екінші туындысы оң таңбалы болса, функция графигі осы аралықта ойыс болады. Иілу нүктесі бар болуының қажетті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының (x₀, f(x₀)) нүктесі иілу нүктесі болса, онда .Екінші туындысы нолге айналатын не болмайтын нүктелер функцияның ІІ-текті күдікті нүктелері деп аталады. Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х₀ нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x₀, f(x₀)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады.

№25.Функцияның графигінің асимптоталары.Зерттеудің жалпы схемасы,функцияның графигін салу.Егер y=f(x) функциясы үшін ж\ шектерінің ең болмағанда біреуі шексіздікке тең болса, онда функция графигінің тік асимптотасы деп аталады. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы деп аталады, егер функцияға тиісті қандай да бір М нүкте координат басынан алыстаған сайын түзуге шексіз жақындаса Көлбеу асимптотаның дербес жағдайы (k=0) горизонталь асимптота болады: y=b. у=kx+b түзуі y=f(x) функция графигінің көлбеу асимптотасы болуы үшін мынадай шектердің бар болуы қажетті және жеткілікті: , .