Общие методические указания

Л абораторные работы выполняются с использованием приложения Simulink/Matlab 6.5 и аналогичных. Для начала работы необходимо загрузить программу Matlab 6.5 (ее ярлык находится на рабочем столе или запустить через меню «Пуск»). Затем на верхней панели появившегося рабочего окна выбрать библиотеку приложения Simulink, нажатием на левую кнопку мыши (Рисунок 1).

Рисунок 1

В библиотеке приведены несколько разделов, такие как источники (Sources), потребители (Sinks), дискретная (Discrete), линейная (Linear), нелинейная (Nonlinear) системы (Рисунок 2).

Рисунок 2

Во всех лабораторных работах в качестве напряжения задания используется источник постоянного напряжения из раздела "Источники" (Sources), осциллограф берется из раздела -"Потребители" (Sinks), усилительный, инерционный, колебательный, интегрирующий, дифференцирующий звенья берутся из раздела "Линейные" (Linear), все необходимые нелинейные элементы можно взять из раздела "Нелинейные" (Nonlinear).

Блоки расположенные в разделах нужно скопировать и вставить на рабочую модель и провести изменения параметров блоков только на этой модели. Создать рабочую модель следует путем «File -New –Model».

Необходимые указания для каждой работы приведены в лабораторных работах в соответствии с программой работы.

1. Лабораторная работа №1

Типовые динамические звенья и исследование их в компьютерной модели

1.1 Цель работы

1.1.1 Изучение математического описания звеньев, временных и частотных характеристик типовых звеньев.

1.1.2 Изучение программы Matlab 5.2 и приобретение навыков моделирования в приложении Simulink/Matlab 5.2.

1.2 Краткое теоретическое введение

Системы автоматического регулирования (САР) представляют собой совокупность элементов, выполняющих определенные функции (измерительные, усилительные, исполнительные и другие) и различающихся по принципу действия, конструктивным формам и физической природе (электрические, тепловые, гидравлические и т.д.). Эти элементы могут иметь одинаковое математическое описание. В общем случае, уравнения динамики являются нелинейными. Однако, динамические свойства большого числа элементов САР с достаточным приближением описываются линейными (или линеаризованными) дифференциальными уравнениями. Элементы, имеющие одинаковое математическое описание (передаточные функции), рассматриваются как динамические звенья определенного типа.

Выделяют следующие типовые динамические звенья:

1. Колебательное звено. Его передаточная функция:

(1.1)

где: ;

2. Апериодическое звено первого порядка (инерционное звено). Его передаточная функция:

(1.2)

1.2.3 Пропорциональное звено (усилительное или безынерционное эвено). Его передаточная функция:

(1.3)

Примерами могут служить тахогенератор, потенциометр, редуктор, усилитель и другие.

4. Интегрирующее звено (астатическое).

(1.4)

Примером звена может служить двигатель, когда выходной величиной является угол поворота его вала, входной величиной является напряжение и при условии, что постоянными времени двигателя можно пренебречь, как, например, в исполнительном двухфазном асинхронном двигателе.

4. Дифференцирующее звено:

а) идеальное - (1.5)

б) реальное - (1.6)

Примером идеального дифференцирующего звена может служить тахогенератор, если входной величиной считать угол поворота вала, на котором он находится, а выходной - напряжение. Примером реального дифференцирующего звена являются стабилизирующие трансформаторы, емкостные дифференцирующие мостовые схемы и др. Дифференцирующие звенья применяются как средства, корректирующие (улучшающие) переходный процесс.

1.3 Временные и частотные характеристики динамических звеньев

Для исследования динамических свойств звеньев широкое применение получили временные и частотные характеристики.

Переходная характеристика звена h(t) представляет собой реакцию на выходе звена, вызванной подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия I(t).

Характеристика h(t) может быть получена экспериментально на реальной установке, на модели звена или определена аналитически с помощью обратного преобразования Лапласа для

при

; (1.7)

(1.8)

На рисунке 1.1 показана переходная характеристика h(t) инерционного звена, построенная по выражению

(1.9)

В данном случае, оригинал функции h(t) определен по изображению с помощью таблиц. В более сложных случаях могут быть использованы теоремы разложения, метод трапеции, ЭВМ.

Р исунок 1.1 Переходная характеристика

Отметим, что по экспериментально полученной характеристике h(t) может быть определен вид звена и его параметры.

Ч астотные характеристики описывают установившиеся вынужденные колебания на выходе звена, вызванные гармоническими воздействиями на входе. Для линейных звеньев при входном гармоническом сигнале выходная величина в установившемся режиме также является гармонической (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 Частотная характеристика

Методы исследования САУ с помощью частотных характеристик (АФХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ) широко используют в инженерной практике. Комплексный коэффициент усиления получается из выражения передаточной функции формальной заменой р на jω и представляет собой при каждом значений ω комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуд выходной и входной гармонических величин, а аргумент - сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной в установившемся режиме. АФХ - это годограф комплексного коэффициента усиления:

(1.10)

Амплитудно-частотная характеристика:

(1.11)

Фазо-частотная характеристика:

(1.12)

здесь Х_1m, Y_1m - амплитудные значения соответственно входной и выходной величин.

Для инерционного звена:

(1.13)

где ; (1.14)

На рисунке 1.3 представлены логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) звена

(1.15)

д ля двух значений Т (Т₂ <Т₁) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ) φ(ω). По оси абсцисс частота ω отложена в логарифмическом масштабе.

Рисунок 1.3 Логарифмические частотные характеристики

С помощью этих характеристик удобно проводить анализ устойчивости систем, влияния параметров, качества переходных процессов и осуществлять синтез корректирующих устройств. Например, на рисунке 3 видно, что звену, имеющей большее значение частоты среза ω_С2, соответствует меньшее время переходного процесса.

1.4 Программа выполнения работы

1. 1. По указанию преподавателя по таблице 1.2 выбрать один из трех вариантов данных. Перечертить схемы набора звеньев 1, 2, 3, 4, 5а, 5б (таблица 1.1).

   2. Экспериментально исследовать колебательное звено при заданных параметрах К, Т, ξ и их вариации (а, б, в) по таблице 1.2. Снять переходную характеристику. Оценить влияние К и ξ на показатели переходного процесса (перерегулирование, колебательность и время).

   3. Экспериментально определить переходную характеристику апериодического звена при заданных К и Т. Оценить значения К и Т по снятой переходной характеристике

   4. Аналогично исследовать звенья 3, 4, 5а, 5б.

1.5 Методические указания к выполнению работы

1.5.1 Общие указания

Для работы с программой Matlab следует нажать на соответствующий ярлык на рабочем столе и на появившемся окне нажать на панель "Simulink". Откроется библиотека всех нужных элементов, необходимых для выполнения лабораторных работ, в том числе и лабораторную работу №1: колебательное звено, инерционное звено, усилительное звено, интегрирующее звено, идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Эти звенья копируются и переносятся на другую модель, которую нужно создать путем: "файл" – создать – "модель" и в эту новую пустую модель следует собрать нужные для эксперимента типовые звенья. В эти звенья следует ввести коэффициенты, постоянные времени двойным щелчком левой кнопки мыши на нужное звено и в появившемся окне ввести нужные параметры:

в колебательном звене - верхняя строка для ввода коэффициента усиления К, нижняя строка для ввода постоянных времени Т и коэффициента ξ;

в инерционном звене - верхняя строка для ввода коэффициента усиления инерционного звена К, нижняя строка для ввода постоянной времени Т (в инерционной звене оператор дифференцирования обозначается через s и его не надо вводить, так как программа учитывает его сама);

в усилительном звене –коэффициент усиления К;

в интегрирующей звене следует вводить К и постоянную времени Т;

идеальное дифференцирующее звено состоит из коэффициента К и последовательно соединенного блока дифференцирования;

в реальное дифференцирующее звено вводится коэффициент К и постоянная времени Т;

Таблица 1.1

На вход этих звеньев нужно установить единичный входной сигнал 1(t) и на выходе нужно установить прибор. Для получения характеристик следует нажать на кнопку "старт"(►), открыть прибор и зарисовать график.

Для изменения параметров звеньев необходимо два раза щелкнуть левой кнопкой мыши на блок, появится окно параметров этого блока, в котором можно производить изменения. После введения числовых данных необходимо подтвердить их, нажав на «Арр1у» в текущем окне задания параметров, а затем закрыть это окно нажатием на панель «Close». Надо учесть, что, введя новые значения в блоке и не подтвердив их нажатием на «Арр1у», а, просто закрыв окно, вы не сохраните новые параметры блока.

Запуск стенда осуществляется путем нажатия на «Старт» ► в верхнем меню или «Сtг1+Т» на клавиатуре.

Таблица 1.2

№ звена	Пара метры	Варианты
		I			II			III
		А	б	в	а	б	в	а	б	в
1	К Т ξ	1 2 0.25	1 2 0.5	2 2 1	2 4 0.4	2 4 0.8	1 4 1	1.5 3 0.2	1.5 3 0.3	3 3 0.75
2	К Т	1 4	1 2	2 2	1 3	2 3	2 2	0.5 2	0.5 1	1 1
3	К	1	2	3	3	2	1	1	3	2
4	К Т=1	0.25	0.5	1	0.5	0.7	1	0.3	0.8	1.5
5а	К	1	1	2	2	2	1	1	2	1
5б	К Т	1 2	1 4	2 4	2 2	2 4	1 4	1 3	2 3	1 1

1.6 Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать название и цель работы, схемы звеньев, результаты эксперимента, полученные в соответствии с программой работы, выводы.

1.7 Контрольные вопросы

1.7.1 Расскажите принцип действия САР.

2. Что называют структурной схемой.

3. Что называют типовым динамическим звеном.

4. Что называют частотной характеристикой.

5. Что называют переходной характеристикой? Покажите ее вид для типовых звеньев.

6. Напишите выражения и покажите вид АФХ звеньев.

7. Напишите выражения и покажите графики АЧХ и ФЧХ всех звеньев.

2 Лабораторная работа №2

Исследование устойчивости замкнутой САР

1. Цель работы:

2.1.1 Изучение методов исследования устойчивости замкнутой САР.

2.1.2 Исследование устойчивости линейной САР на ЭВМ.

2.2 Краткое теоретическое введение

При оценке свойств спроектированной САР прежде всего выясняют ее устойчивость. Понятие устойчивости САР, как и всякой динамической системы, связано с ее поведением после прекращения внешнего воздействия, т.е. с ее свободным движением под влиянии начальных условий. При этом система устойчива, если после прекращения внешнего воздействия она по истечению некоторого времени вращается к тому состоянию равновесия или вынужденного движения, в котором находилась до начала воздействия. Иначе, устойчивость линейной системы - это свойство затухания ее переходных процессов.

Оценка устойчивости есть оценка принципиальной способности осуществлять регулирование (управление), поэтому с оценкой устойчивости и начинают исследование всякой САР.

Отметим, что устойчивость линейных САУ вообще не зависит от внешних воздействий в отличие от нелинейных САУ и определяется параметрами самой системы. Если линейная система устойчива, то это значит, что она устойчива относительно любого установившегося режима и переходная составляющая любого процесса всегда будет сходящейся.

Для устойчивости (асимптотической устойчивости) линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. При наличии хотя бы одного корня с положительной вещественной частью система неустойчива. Говорят, что система находится на границе устойчивости, если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней. При наличии пары чисто мнимых корней в системе имеет место незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой.

На практике устойчивость САР определяют с помощью критериев устойчивости - правила, позволяющего выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Критерий устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим относятся критерии Гурвица и Рауса, а к частотным - критерии Михайлова и Найквиста.

Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости систем (без звеньев запаздывания) 3-го и 4-го порядка, когда известны параметры системы. Кроме того, он позволяет получить аналитические выражения зависимости влияния какого-либо параметра на устойчивость, и, в частности, найти критический коэффициент усиления.

Критерий Рауса используют при определении устойчивости систем высокого порядка.

Критерий Михайлова дает возможность судить об устойчивости системы по годографу, описываемому концом характеристического вектора замкнутой системы.

Отметим, что в принципе уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости.

Наиболее широко используют критерий Найквиста. Причиной этого заключается в следующем:

1. Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего, состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбирать их из условий устойчивости.

2. Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов.

3. Исследовать устойчивость можно по логарифмическим частотным характеристикам, построение которых несложно.

4. Удобно определять запас устойчивости, производить синтез корректирующих устройств.

5. Критерий Найквиста и его форма по логарифмическим частотным характеристикам позволяют наглядно уяснить понятие о структурно неустойчивой системе и о влиянии "чистого" запаздывания на устойчивость САР.

Р исунок 2.1

Структурно неустойчивая система неустойчива при любых значениях параметров и ее можно сделать устойчивой, только изменив структурную схему. Например, система, приведенная к одноконтурной и содержащая одно инерционное и два интегрирующих звена структурно неустойчива.

Рассмотрим вопросы устойчивости САР на примере системы стабилизации скорости двигателя (рисунок 2.1).

В качестве датчика скорости ДС может быть использован тахогенератор или тахометрический мост. В общем случае, входным каскадом преобразователя П служить промежуточный усилитель - регулятор скорости РС.

Cоответствующая структурная схема системы регулирования скорости представлена на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2

Передаточная функция двигателя по управляющему воздействию:

(2.1)

где ; ; ; 2.2)

С учетом этого структурная схема (рисунок 2.3) имеет вид:

Р исунок 2.3

Здесь К_П - общий коэффициент усиления РС и П.

Известно, что устойчивость линейной САР зависит от параметров и их соотношения. Проследим за изменением устойчивости (запасов устойчивости) в зависимости от (К_П К_ОС). Чтобы задать на модели САР диапазон варьирования (К_П К_ОС) надо знать его критическое (предельное) значение, при котором система находится на границе устойчивости.

Пусть К_Д=1; Т=1с; ξ=0,5; Т_П=0,1с.

На рисунке 2.4 показана фазочастотная φ(ω) и ЛАЧХ разомкнутой системы (L₁, L₂, L₃) при значениях (К_П·К_ОС)=2; 5; 10.

ЛФЧХ построена по выражению:

(2.4)

При ω>1/T добавляется "-π".

Для построения асимптотической ЛАЧХ вычисляют или при К_Д=1 и находят частоты сопряжения:

Рисунок 2.4 Логарифмические частотные характеристики

; (2.5)

Видно, что с возрастанием значений (К_П·К_ОС) запасы устойчивости по фазе и по модулю уменьшаются. Отметим, что при проектировании САР рекомендуется выбирать запас по фазе Δφ≥30⁰ по модулю ΔL≥6 дб.

2.3 Программа работы

2.3.1 Повторив порядок работы на Simulink/Matlab (смотри лабораторную работу №1), набрать схему, рисунок 2.5.

2. При К_ос=1; I_с=0 снять переходные процессы относительно задающего (управляющего) воздействия для К_п=2; 5; 8; соответственно. Положить U₃=10В (данные преобразователя, двигателя, датчика скорости взять из таблицы 1.2 в лабораторной работе №1).

3. Снять переходные процессы относительно возмущающего (нагрузки) воздействия при U₃=0; I_с=10 для К_п=2; 5; 8;

4. Пункты 2.3.3, 2.3.4 повторить положив К_п=1 и варьируя К_ос (например К_ос=2;5).

5. Повторить пункт 2.3.3 и посмотреть движение на фазовой плоскости.

3. Методическое указание к выполнению работы

М етодическое указание по использованию программы Matlab взять из предыдущей лабораторной работы. Блок схема набора представлена на рисунке 2.5

Рисунок 2.5

2.5 Требования к отчету по лабораторной работе

Отчет по лабораторной работе должен содержать название и цель работы. Привести функциональную схему, структурные схемы, схему набора, переходные процессы и выводы по работе.

2.6 Контрольные вопросы

2.6.1 Дайте определения:

а) критерия Гурвица;

б) критерия Михайлова;

в) критерия Найквиста;

г) критерия Найквиста через ЛЧХ.

2. Расскажите порядок построения АФХ, асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ.

3. Как по асимптотической ЛАЧХ для минимально фазовой системы написать выражение передаточной функции?

4. Как по асимптотической ЛАЧХ определяют параметры системы: коэффициент усиления и постоянные времени?

5. Сравнительный анализ критериев устойчивости.

6. Понятие о структурно неустойчивой системе.