Лекции по тоэ/ №10 Операторные изображения некоторых функций времени.
Найдем операторные изображения некоторых функций времени, которые встречаются в электротехнике.
1) Изображение постоянной функции f(t)=А:
2) Изображения экспоненциальных функций:
3) Изображения гармонических функций:
5) Изображения 1-ой и 2-ой производной от функции времени:
6) Изображение определенного интеграла от функции:
Для удобства пользования сведем полученные результаты в общую таблицу, которая называется таблицей соответствия.
Лекции по тоэ/ №11 Законы электротехники в операторной форме.
Мгновенные значения тока i(t) и напряжения u(t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравнений:
Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения:
Таким образом, идеальным элементам R, L, C электрической схемы будут соответствовать новые схемные представления этих элементов в операторной схеме (см. табл.).
Здесь R, pL, 1/pC – операторные сопротивления соответственно резистора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z(p) любого участка схемы можно получить из его комплексного сопротивления Z(jω), заменив в выражении множитель jω на оператор p.
Li(0), uC(0)/p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t=0. Направления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i(0) для источника Li(0) и навстречу напряжению uC(0) для источника uC(0)/p.
C учетом полученных соотношений любую электрическую схему для оригиналов функций i(t), u(t) можно заменить соответствующей ей операторной схемой для изображений функций I(p) ,U(p). Например, электрической схеме рис. 64.1 соответствует операторная схема, представленная на рис. 64.2.
Для электрической схемы рис. 64.1 справедливо дифференциальное уравнение, составленное по 2-му закону Кирхгофа:
Для операторной схемы рис. 64.2 справедливо аналогичное уравнение, но в операторной форме:
Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:
Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линейных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для сложных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому методу для электрических схем.
Лекции по тоэ/ №12 Способы составления системы операторных уравнений.
При расчете переходных процессов операторным методом на практике применяется два способа составления системы операторных уравнений.
Сущность 1-го способа состоит в том, что для исходной электрической схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Затем каждое слагаемое в этих уравнениях непосредственно подвергается преобразованию Лапласа и таким образом система дифференциальных уравнений преобразуется в соответствующую ей систему операторных уравнений. Составление операторной схемы при этом не требуется.
По 2-му способу вначале составляется операторная схема цепи. Затем для операторной схемы по одному из методов расчета составляется система операторных уравнений, при этом преобразование Лапласа непосредственно не применяется.
Преимущество 2-го способа состоит в том, что система операторных уравнений для расчетной схемы может быть составлена по наиболее рациональному методу расчета.
Оба способа составления операторных уравнений иллюстрируются ниже на примере электрической схемы рис. 65.1.
По 1-му способу составляем систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для электрической схемы:
Подвергаем преобразованию Лапласа каждое слагаемое в этих уравнениях и таким образом превращаем их в систему операторных уравнений:
По 2-му способу составляется операторная схема замещения (рис. 65.2):
Для операторной схемы рис. 65.2 составляем систему уравнений по одному из методов расчета сложных цепей, например, по методу контурных токов:
или по методу двух узлов:
