Лекции по тоэ/ №3 Начальные условия переходного процесса.

    Начальными условиями называются мгновенные значения отдельных токов и напряжений, а также их первых, вторых и т.д. производных в начале переходного процесса, т.е. в момент коммутации при t=0. Начальные условия делятся на 2 вида: независимые и зависимые.

    К независимым начальным условиям относятся токи в катушках i_L(0) и напряжения на конденсаторах u_C(0). Независимые начальные условия определяются законами коммутации, они не могут измениться скачкообразно и не зависят от вида коммутации. Их значения определяются из расчета схемы цепи в установившемся докоммутационном режиме на момент коммутации t=0.

    Пример. Определить независимые начальные условия i_L(0), u_C(0) в схеме рис. 56.1 при заданных значениях параметров элементов: R1=50 Ом, L=100 мГн, R2=100 Ом, C=50мкФ, а)для постоянной ЭДС e(t)=E=150 В = const; б)для синусоидальной ЭДС e(t) =150sinωt, f=50 Гц.

    а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E расчет схемы производится как для цепи постоянного тока: катушка L закорачивается, ветвь с конденсатором С размыкается, учитываются только резистивные элементы R.

    Независимые начальные условия: i_L(0)=1 A , U_С(0)=100 В.

    б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Е_msinωt расчет схемы производится как для цепи переменного тока в комплексной форме для комплексных амплитуд функций.

    К зависимым начальным условиям относятся значения всех остальных токов и напряжений, а так же значения производных от всех переменных в момент коммутации при t=0. Зависимые начальные условия могут изменяться скачкообразно, их значения зависят от вида и места коммутации.

    Зависимые начальные условия определяются на момент коммутации t=0 из системы дифференциальных уравнений (уравнений Кирхгофа), составленных для схемы в состоянии после коммутации, путем подстановки в них найденных ранее независимых начальных условий.

    Для рассматриваемой схемы рис. 56.1 система дифференциальных уравнений имеет вид:

    а) При постоянной ЭДС источника e(t)=E=const зависимые начальные условия будут равны:

    Для определения начальных условий для вторых производных исходные дифференциальные уравнения дифференцируют почленно по переменной t и подставляют в них найденные на предыдущем этапе значения зависимых начальных условий, и т.д.

    б) При синусоидальной ЭДС источника e(t)=Е_msinωt зависимые начальные условия определяются точно также, как и для цепи с источником постоянной ЭДС.

    Начальные условия используются при расчете переходных процессов любым методом.

Лекции по тоэ/ №4 Классический метод расчета переходных процессов.

    Переходные процессы в любой электрической цепи можно описать системой дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. В математике известно несколько методов решения систем дифференциальных уравнений: классический, операционный, численный и др. Название метода расчета переходных процессов адекватно названию математического метода решения системы дифференциальных уравнений, которыми описывается переходные процессы.

    Исключая из системы дифференциальных уравнений Кирхгофа лишние переменные, получим в результате для искомой функции x(t) неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

    где, х – искомая величина, например i или u;  a_k – постоянные коэффициенты; F(t) – некоторая функция времени, определяемая источником энергии.

    Из курса математики известно, что решение (общий интеграл) линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из суммы двух решений: а) x'(t) - полного решения однородного (без правой части) дифференциального уравнения и б) x"(t) - частного решения неоднородного дифференциального уравнения для t= ∞ :

    x(t)=x'(t)+x"(t)

    Вид частного решения x"(t) для t = ∞ определяется источниками энергии и соответствует значению искомой функции в установившемся послекоммутационном режиме: x"(t)=x_y(t). В электротехнике эта составляющая решения получила название установившейся.

    Полное решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

    где А1, А2,…, Аn – постоянные интегрирования; p1, p2,…, pn – корни характеристического уравнения, которое получают из однородного дифференциального, заменив в нем х→1, dx/dt→p и т.д.:

    Эта составляющая решения не зависит от источников энергии, в электротехнике она получила название свободной: x'(t)=x_св(t).

    Таким образом, решение для искомой функции (тока, напряжения) может быть представлено в принятой в электротехнике форме:

    Физический смысл имеет только полное решение для искомой функции x(t), а ее отдельные составляющие x_y(t) и x_св(t) являются расчетными величинами.

    Метод расчета переходного процесса, заключающийся в решении неоднородного дифференциального уравнения классическим методом математики, получил название классического.

    Расчет переходного процесса классическим методом состоит из следующих составных частей или этапов: а) расчет установившейся составляющей x_y(t); б) составление характеристического уравнения и определение его корней p1,…, pn; в) определение постоянных интегрирования А1, А2,….

    Следует отметить, что расчет переходного процесса классическим методом выполняется не в строгом соответствии с математическим методом решения неоднородного дифференциального уравнения. Физические законы электротехники позволяют существенно упростить это решение.