Лекции по тоэ/ №20 Расчет переходных процессов методом численного интегрирования дифференциальных уравнений на эвм.
Система дифференциальных уравнений, которыми описывается состояние любой электрической цепи, может быть решена методом численного интегрирования на ЭВМ (метод последовательных интервалов или метод Эйлера).
Сущность метода состоит в том, что исследуемый промежуток времени Т (при расчете переходных процессов, это Тп - продолжительность переходного процесса) разбивается на большое число N элементарных отрезков времени Δt=T/N=h, которые называются шагом интегрирования.
В дифференциальных уравнениях дифференциалы функций заменяются их конечными приращениями, а производные функций - отношениями приращений:
На каждом шаге интегрирования решается система дифференциальных уравнений, в результате решения определяются численные значения производных и самих функций. В качестве исходных данных для их определения используются значения этих же функций на предыдущем шаге, а на начальном 1-ом шаге – их значения в момент коммутации при t =0 , т.е. начальные условия. В результате расчета для функций и их производных составляются массивы их значений в исследуемом интервале времени Т, которые после завершения цикла подвергаются соответствующей математической обработке, а именно: строятся графические диаграммы функций, составляются необходимые таблицы, исследуются функции на наличие максимумов и минимумов, устанавливается продолжительность переходного процесса и его характер, и т.д.
Пример. Рассчитать переходный процесс в схеме рис. 73.1 с заданными параметрами элементов: e(t)=Emsin(ωt+α), R1, R2, R3, L1, L2, С.
Путем расчета схемы в установившемся режиме до коммутации определяются независимые начальные условия i1(0), i2(0), uC(0).
По законам Кирхгофа для схемы после коммутации составляется система дифференциальных уравнений:
Выбирается шаг интегрирования h (например, из расчета N=1000 шагов на период Т=0,02 с переменного тока, тогда h=Т/ N =2•10^(-5) с).
Составляется алгоритм вычислений для произвольного к-го шага:
Далее следуют вычисления по тому же алгоритму для (к+1)-го шага и т. д.
В соответствии с составленным алгоритмом на любом языке составляется программа вычислений на ЭВМ, что представляет собой несложную инженерную задачу.
В настоящее время метод численного интегрирования является наиболее универсальным и наиболее простым методом расчета переходных процессов в электрических цепях. Достоинствами метода являются:
1. Метод численного интегрирования одинаково просто может применяться для расчета переходных процессов в электрических цепях любой сложности, содержащих любое число независимых накопителей энергии L и C. В то же время в классическом и операторном методах с увеличением числа независимых накопителей энергии (и соответственно порядка дифференциального уравнения) значительно возрастают математические сложности, что практически не позволяет применять эти методы для решения дифференциальных уравнений выше 2-го порядка.
2. Метод численного интегрирования позволяет сравнительно просто выполнить математический анализ решения для искомой функции и получить выводы, необходимые для инженерной практики, а именно: определить характер и продолжительность переходного процесса, определить максимальные значения функции и т.д.
К недостаткам метода следует отнести необходимость составления индивидуальной расчетной программы для каждой конкретной задачи и решение ее на ЭВМ, что сегодня уже посильно каждому инженеру.