III. Операторы и наблюдаемые

§8. Операторы

 Литература: [8], [3], [1], [7].

Во всех физических уравнениях присутствуют некоторые математические действия, производимые над величинами, характеризующими состояния описываемых объектов. Действия над математическими объектами, а также символы этих действий называют операторами. Аналогично и в уравнениях квантовой механики фигурируют операторы. Они предполагают действия над квантово-механическими векторами состояний или над амплитудами состояний, а не только над функциями и числами.

В квантовой механике за редким исключением символ оператора ставится перед тем математическим объектом, на который направлено действие оператора:  = ; (x) = x. Примеры исключений: * =  ² = и др.

Оператор называют линейным, если для любых ₁ и ₂, а также произвольных комплексных чисел a₁ и a₂ выполняется условие:

(₁ a₁+ ₂ a₂) = ₁ a₁+ ₂ a₂. (8.1)

Здесь и далее записываются соотношения для операторов, действующих на векторы состояний. Аналогичные соотношения и свойства относятся и к операторам, действующим на волновые функции. В этом случае под символом  следует понимать соответствующую функцию . В квантовой механике используются только линейные операторы, поскольку их применение к векторам состояния не нарушает принцип суперпозиции: все полученные векторы, как и исходные, могут быть представлены линейной комбинацией других.

Оператор считают равным нулю, если его действие на любой вектор дает нуль-вектор  = 0. Нуль-вектор определяется равенством:

 + 0 = .

Единичный оператор оставляет без изменения произвольный вектор:  = . Примером единичного оператора может служить выражение =, поскольку в случае полного базисаe_i любой вектор A можно представить в виде: A = . Поэтому равенство=является условием полноты базиса.

Равными называют операторы =, применение которых к произвольному вектору приводит к одинаковым результатам: равенство = должно выполняться для любого .

Аналогично алгебре чисел и функций построена и алгебра операторов.

Под суммой операторов и понимают оператор +, если для любого имеет место равенство (+) =  + . Подобно этому для произведения операторов должно выполняться соотношение () = (). Сумма операторов коммутативна, а произведение, вообще говоря, нет:  . Если же операторы коммутируют, то для них – = . Оператор [] = – называют коммутатором. Если коммутатор операторов равен нулю, то эти операторы коммутируют.

Все определения и соотношения для операторов , действующих в cket-пространстве, переносятся и на операторы ⁺, действующие в сопряженном пространстве. Если  = 1, то ⁺= 1. Оператор ⁺ называют оператором, сопряженным оператору . Для сопряженного оператора справедливо равенство ⁺ = *. (8.2)

Можно показать, что

(+)⁺ = ⁺ + ⁺ и что ()⁺ = ⁺⁺. (8.3)

Оператор , для которого выполняется соотношение

 = * , или  = ⁺, (8.4)

называют самосопряженным, или эрмитовым. Если поменять обкладки эрмитова оператора, то получается комплексно сопряженная величина. Последнее равенство кратко записывают в виде = ⁺. Не следует при этом забывать, что операторы и ⁺ действуют в разных пространствах.

Сумма эрмитовых и произведение эрмитовых коммутирующих операторов являются эрмитовыми операторами.

При применении оператора к вектору состояния может получиться тот же вектор, умноженный на некоторое число:

 =  F. (8.5)

Число F, удовлетворяющее равенству (8.5), в котором  – отличный от нуля вектор состояния, называется собственным значением оператора , соответствующим собственному вектору , а этот вектор – собственным вектором, соответствующим данному собственному значению. Если в формуле вместо вектора стоит волновая функция , то ее называют собственной функцией оператора , соответствующей собственному значению F.

Бывает так, что одному и тому же собственному значению F соответствует несколько линейно не зависимых векторов или функций. Тогда это значение называют вырожденным, а число соответствующих состояний – кратностью вырождения. Линейная комбинация векторов (или функций), соответствующих собственному значению F, также является собственным вектором (функцией) оператора для того же собственного значения F.

В квантовой механике используются самосопряженные операторы благодаря их свойству, выражаемому следующей теоремой. Собственные значения самосопряженных операторов действительны, а их собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Ограничимся доказательством в отсутствии вырождения. Применим определение (8.5) к собственному значению F_i , а сопряженное с (8.5) выражение – к F_j: i = i F_i, j⁺ = F_j*j. (8.6)

Умножив первое равенство слева на j, а второе – справа на i, получим после вычитания и учета самосопряженности оператора:

(F_i – F_j*) ji = ji – j⁺i = 0. (8.7)

Если i = j, то из (8.7) следует F_i = F_j*, а для i  j равно нулю скалярное произведение ji, то есть векторы j и i ортогональны.

На основании этой теоремы можно утверждать, что множество собственных векторов самосопряженного оператора образует ортонормированный полный базис.

? Контрольные вопросы

1. Что такое оператор? Приведите примеры операторов.

2. Дайте определение линейного оператора.

3. Какие операторы называют нулевыми, единичными, равными?

4. Дайте определение суммы и произведения операторов.

5. Что такое коммутатор?

6. Расскажите о сопряженном операторе.

7. Дайте определение самосопряженного оператора.

8. К

   

   акими свойствами обладают собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора?

Задания

Д. 8.1. Теорема о собственных значениях и собственных функциях самосопряженных операторов.

8.1. Докажите, что если [] =, то [²] = 2 .

8.2. Докажите, что .

8.3. Докажите соотношение (8.1).

8.4. Докажите соотношения (8.2).

8.5. Докажите, что сумма самосопряженных и произведение самосопряженных коммутирующих операторов являются самосопряженными операторами.

8.6. Докажите, что линейная комбинация векторов, соответствующих собственному значению F, также является собственным вектором оператора для того же собственного значения F.