§23. Задача о движении двух частиц.

 Литература: [1], [8].

Задача о системе двух частиц относится, например, к атому водорода, мезоатому, позитронию. Как и в классической механике, она сводится к задаче об одной частице.

На рисунке 23.1 изображены две частицы. Их массыm₁ и m₂, а радиус-векторы ₁ и ₂. Величина =₂ – ₁ (23.1)

определяет положение второй частицы относительно первой. С – центр масс системы. Его радиус-вектор = . (23.2)

Гамильтониан рассматриваемой системы

= ++U(r)

посредством замены переменных (23.1) и (23.2) можно представить в виде суммы независимых частей:

=() + (). (23.3)

Отсюда следует, что волновая функция (₁, ₂) системы равна произведению собственных функций этих частей:

(₁, ₂) = () (). (23.4)

Собственная функция () гамильтониана() описывает движение частицы массой (m₁ + m₂), которая находится в центре масс С.

Второе слагаемое в формуле (23.3) имеет вид

() =+U(), (23.5)

где  = m₁ m₂ / (m₁ + m₂). (23.6)

Собственная функция () этого гамильтониана характеризует движение-точки, то есть частицы массой  (10.6) и радиус-вектором (10.1), относительно центра масс С;-точка находится в поле, потенциальная функция U() которого описывает взаимодействие рассматриваемых частиц.

Таким образом, задача сводится к решению стационарного уравнения Шредингера для -точки, находящейся в центральном поле:

()() =E (). (23.7)

Центральная симметрия обуславливает использование сферических координат r, , . В этих координатах гамильтониан (23.5) можно представить следующим образом:

() = –++U(r), (23.8)

где выражается формулой (22.3), то есть является оператором квадрата момента импульса.

Благодаря (23.8) решение уравнения (23.7) можно искать в виде

() =R(r) _{l m} (, ), (23.9)

где угловая часть волновой функции _{l m} (, ) является собственной функцией оператора . Она определяется соотношением (22.5) и соответствует собственным значениям (22.4).

Учтя (22.4) при подстановке (23.9) и (23.8) в (23.7), получим уравнение для радиальной части R(r) волновой функции:

r R(r) + (E – U (r) – ) R(r) = 0. (23.10)

Уравнение (23.10) определяет также и энергетический спектр. Видно, что энергия E не может зависеть от магнитного квантового числа m, но может зависеть от числа l.

? Контрольные вопросы

1. Как осуществляется разделение переменных при решении задачи о системе двух частиц? К каким более простым задачам она сводится?

2. Что такое -точка? Какой она имеет смысл для атома водорода?

3. Что такое угловая и что такое радиальная части волновой функции? Какой смысл имеют содержащиеся в них квантовые числа?

4. Какую информацию об энергетическом спектре содержит в себе уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции?



Задания

1. Получите соотношение (23.3).

2. Получите выражение (23.8), используя формулу для оператора ² в сферической системе координат:

²=+ (23.11)

23.3. Получите уравнение (23.10).