§19. Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме

 Литература: [1], [2], [7], [8].

Проанализируем движение частицы в прямоугольной потенциальной яме, изображенной на рисунке 19.1.

В каждой из областей I, II, III (рис.19.1) реализуется свободное движение. Так что можно использовать формулы (18.6) и (18.7).

В области I, где U = , для обеспечения конечности -функции следует положить A = 0.

Тогда ₁ = B exp ( x) = 0. (19.1)

В области II

₂ = A₂ exp (i k₂ x) + B₂ exp (–i k₂ x), (19.2)

где k₂ =. (19.3)

В области III ₃ = A₃ exp(– x), (19.4)

где  =. (19.5)

Из полученных решений для отдельных областей нужно «сшить» единую -функцию, удовлетворяющую стандартным условиям и имеющую непрерывную производную везде, кроме точки x = 0.

Условие сшивания в точке x = 0 дает A₂ = – B₂ .

Условия сшивания в точке x = a с учетом последнего равенства принимают вид: A₂ 2 i sin (k₂ a) = A₃ exp (– a), (19.6)

A₂ 2 i cos (k₂ a) = – A₃ exp (– a). (19.7)

При отличных от нуля A₂ и A₃ соотношения (19.6) и (19.7) эквивалентны равенству tg (k₂ a) = – k₂ / . (19.8)

Оно имеет место лишь при определенных значениях E. Именно эти значения и составляют энергетический спектр.

Уравнение (19.8) можно решить, например, графическим методом или численно на компьютере. Анализ решения приводит к следующим заключениям:

• минимально возможное значение энергии (энергия основного состояния) E₀ > – U₀ в полном соответствии с соотношением неопределенностей Гейзенберга;

• число возможных значений энергии конечно и растет с ростом параметра U₀ a²;

• при условии решений не существует, то есть в случае достаточноузкой и мелкой ямы финитное движение невозможно.

Для бесконечно глубокой потенциальной ямы (U₀  – ) соотношение (19.8) дает: E + U₀  E_n = (n + 1)² , (19.9)

где n –– квантовое число (n = 0, 1, 2,…).

Волновая функция в этом случае при 0  a x имеет вид:

 = . (19.10)

Вне указанной области она равна нулю.

Движение микрочастицы в потенциальной яме качественно отличается от движения классической частицы:

• энергетический спектр микрочастицы дискретен;

• уровень минимально возможной энергии выше дна потенциальной ямы;

• микрочастицу можно обнаружить вне ямы вблизи ее края, если яма здесь имеет конечную глубину;

• внутри ямы есть точки (узлы волновой функции), недоступные для микрочастицы.

При n   различия в поведении микрочастиц и классических частиц исчезают. В этом проявляется принцип соответствия.

? Контрольные вопросы

1. Какие конкретные системы моделирует задача о прямоугольной потенциальной яме?

2. Какие значения принимает потенциальная функция в различных областях ямы, и какой вид для них имеет волновая функция?

3. Какие свойства волновой функции используются при нахождении энергетического спектра микрочастицы в прямоугольной потенциальной яме?

4. Расскажите об энергетическом спектре микрочастицы в прямоугольной потенциальной яме. Почему энергетический спектр электронов в металле называют квазинепрерывным, и почему его дискретность оказывается существенной?

5. Сравните поведение микрообъекта и классической частицы в потенциальной яме.



Задания

1. Для потенциальной ямы, изображенной на рисунке 19.2, нарисуйте графики волновых функций микрочастиц, обладающих энергиями E₁ и E₂.

2. Решите уравнение Шредингера для микрочастицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и найдите энергетический спектр.

3. 0, если 0  x  a, 0  y  b, 0  z  c.

   , если x < 0, x > a, y < 0, y > b, z <0, z > c.

   Н айдите волновую функцию и энергетический спектр частицы, находящейся в потенциальном поле, определяемом следующим образом:

4. На рисунках 19.3 и 19.4 изображены графики действительной части волновой функции электрона в одномерной прямоугольной потенциальной, показанной на рис. 19.1. Чем принципиально отличаются состояния с указанными-функциями? Что можно сказать об энергии этих состояний? Почему различаются расстояние между узлам (рис. 19.4) в яме и вне ямы? Что означает различие амплитуды колебаний -функции (рис. 19.4) в яме и вне ямы?